一道“計(jì)質(zhì)量的繩子”試題引發(fā)的思考

方全波

(重慶第八中學(xué)校,重慶 400030)

在一次自主招生培訓(xùn)中,遇到了如下一道物理試題,該試題是一道常規(guī)試題,對(duì)于高三且有一定競賽基礎(chǔ)的優(yōu)秀學(xué)生來說輕易而舉．那如何把試題處理得更有意義,讓學(xué)生有意想不到的收獲,顯得格外重要．

圖1

試題呈現(xiàn).如圖1所示,一個(gè)半徑為R的1/4光滑球面放置在水平桌面上．球面上放置一光滑均勻繩子,其A端固定在球面的頂點(diǎn),B端恰與桌面不接觸,單位長度的質(zhì)量為λ．試求繩子A端受到的拉力．

1 常規(guī)解法

1.1 微元法求解

因?yàn)樵撛囶}中的繩子是計(jì)質(zhì)量的,且與以前處理的滑塊問題等有所不同,繩子是彎在球面上的,學(xué)生很容易想到微元法．有如下的2種解法.

(1) 功能關(guān)系解題.

設(shè)想這樣一個(gè)虛擬過程,繩子受到A點(diǎn)的F拉力使繩子緩慢向上移動(dòng)一個(gè)小距離Δl．

拉力F做功為WF=FΔl，繩子所受重力做功為WG=-λΔlgR.因?yàn)榍蛎婀饣?且繩子緩慢向上移動(dòng),繩子的動(dòng)能沒有變化,所以滿足FΔl=λΔlgR，

圖2

得F=λgR.

(2) 平衡法.

如圖2所示,對(duì)繩子微元后,每一小微元Δθ對(duì)應(yīng)的繩子的合力都應(yīng)該為0．則

因?yàn)棣う取?，所以

ΔF=F1-F2=λRΔθgsinθ,

對(duì)此式積分得

1.2 整體法求解

(1) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解.

因?yàn)槔K子整體靜止,所以可以認(rèn)為繩子繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),合力矩為0．由分析可知，球面對(duì)繩子的支持力的力矩為0．則

圖3

也可以先求出整條繩子的質(zhì)心．建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系．

(2) 三力共點(diǎn)且平衡求解.

圖4

2 割補(bǔ)法

此題中的繩子一端固定在A端,一端恰在B端與桌面不接觸,首尾不相連．借助以前學(xué)的割補(bǔ)法,要是在AB兩端再加上一段相同材料的繩子,讓其形成閉合繩子會(huì)不會(huì)對(duì)解題有所幫助呢．

圖5

如圖5所示為補(bǔ)償后形成閉合繩子后的示意圖,由機(jī)械能守恒知,開始該閉合繩子能夠靜止,后面一定也靜止．因?yàn)橘|(zhì)量均勻,所以O(shè)B下方的繩子對(duì)O、B兩點(diǎn)的拉力F1大小相同,左右兩邊的繩子對(duì)A點(diǎn)的拉力F大小也相同．這樣就把求右側(cè)彎曲繩子對(duì)A拉力的問題,轉(zhuǎn)化為左側(cè)直線繩子對(duì)A拉力的求解問題．則F=λgR+F1．要使題目中的AB段繩子處于靜止?fàn)顟B(tài),只需要在A處施加一個(gè)大小為F=λgR的拉力即可．顯然簡化了運(yùn)算．

3 類比“水壓” 法

圖6

在用割補(bǔ)法解決這個(gè)問題時(shí),我們發(fā)現(xiàn)要使AO段豎直繩子和AB段圓弧繩子分別靜止,對(duì)A點(diǎn)其施加的沿繩方向拉力大小應(yīng)相同．如果構(gòu)造的封閉繩子左側(cè)不是豎直的,那又是什么情況呢?

如圖6所示,若構(gòu)建的封閉繩子左側(cè)放在光滑的斜面AC上時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)CB段下方的繩子對(duì)C、B兩點(diǎn)的拉力大小相等;左右兩邊的繩子對(duì)A點(diǎn)的拉力大小也相同,那么AC段繩子與AB段繩子對(duì)A點(diǎn)的拉力大小也是相同．通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn):AC段可以為任意形狀的光滑面,只要C、O、B3點(diǎn)在同一條直線上,AC段繩子與AB段繩子對(duì)A點(diǎn)的拉力大小都是相同．也就是說要使相同材料的繩子靜止在圖示等高的光滑面上(如圖7),對(duì)繩子頂點(diǎn)施加的沿繩子方向拉力的大小都應(yīng)該相同F(xiàn)=λgh．

圖7

圖8

之所以在頂點(diǎn)需要拉力是因?yàn)楸绢}考慮了繩子的重力,從而使繩子發(fā)生形變,繩子內(nèi)部出現(xiàn)了彈力．水的壓力本質(zhì)也是因?yàn)樗闹亓?導(dǎo)致水的內(nèi)部出現(xiàn)彈力．不同的地方在于本題中的繩子是被拉長的,而一般情況下水是因受重力被擠壓的．我們可以把此題中的繩子想象用如圖8所示容器裝的單位長度的質(zhì)量為λ的水,就變成了求水對(duì)A處的壓力了．此題就可以直接得出結(jié)果F=λgR．

在學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段,試題所起到的作用是不同的．在學(xué)習(xí)新知識(shí)的階段,試題的最大作用體現(xiàn)在對(duì)剛學(xué)知識(shí)的反饋上;在提高階段,對(duì)試題的處理上不能就題講題了,我們需要盡可能的啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路及用不同的方法去解決該問題．本文從常規(guī)的解題思路,引申到割補(bǔ)法、進(jìn)而找到類比“水壓”的方法,從而使試題的廣度和深度被挖出來.這樣才能起到事半功倍的效果.通過這樣的處理,學(xué)生才能找到知識(shí)與知識(shí)、試題與試題、方法與方法之間的聯(lián)系,最終形成發(fā)散性的思維,提高學(xué)生處理問題的能力．