一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋分析

楊 娟, 李 星， 周躍亭

(1.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，銀川 750002；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，銀川 750021；3.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092 )

1984年準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)是近年來凝聚態(tài)物理的一大突破。準(zhǔn)晶作為一類新型材料，與傳統(tǒng)材料相比，由于其獨特的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出與眾不同的一些性能，在眾多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。由于準(zhǔn)晶中相位子場的存在,導(dǎo)致準(zhǔn)晶壓電性能比傳統(tǒng)晶體要復(fù)雜得多。目前，含缺陷準(zhǔn)晶材料的斷裂問題研究已取得了大量的重要成果[1-4]。壓電準(zhǔn)晶材料是一種特殊的壓電材料,正是由于準(zhǔn)晶材料具有壓電效應(yīng)這種特殊性能，與一般的壓電材料相比,允許有五次或高于六次的旋轉(zhuǎn)對稱操作。所以, 壓電準(zhǔn)晶材料比普通的壓電材料有著良好的應(yīng)用前景。對于壓電效應(yīng)下的準(zhǔn)晶斷裂問題在近幾年才有研究，目前壓電準(zhǔn)晶材料的方程已經(jīng)初步建立[5],文獻(xiàn)[6]指出,三維準(zhǔn)晶和部分擁有中心對稱的二維準(zhǔn)晶是沒有壓電效應(yīng)的,因此研究主要放在了一維壓電準(zhǔn)晶材料上。在實際的工程應(yīng)用中，材料破壞的形式多種多樣，實際的結(jié)構(gòu)也千變?nèi)f化。一般而言，材料開孔現(xiàn)象非常常見，比如機(jī)械結(jié)構(gòu)中的螺栓孔，飛機(jī)蒙皮中的鉚釘孔等。在復(fù)雜的加載環(huán)境下，含孔洞的結(jié)構(gòu)不可避免的會出現(xiàn)應(yīng)力集中，在孔邊誘發(fā)裂紋，從而導(dǎo)致材料的斷裂破壞。因此，研究孔邊裂紋問題具有重要的理論意義和工程價值。文獻(xiàn)[7]采用Green函數(shù)法研究界面上含圓孔邊界徑向有限長度裂紋的兩半無限壓電材料對SH波的散射和裂紋尖端動應(yīng)力強度因子問題。文獻(xiàn)[8]采用“鏡像”和“剖分-契合”等方法,對SH波作用下半空間孔邊界面裂紋的動應(yīng)力問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]采用 Green 函數(shù)法對壓電材料中多個孔邊徑向裂紋的相互作用問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[10]采用數(shù)字激光動態(tài)焦散線實驗系統(tǒng)，研究爆炸荷載作用下空孔缺陷對裂紋擴(kuò)展行為的作用關(guān)系，以及裂紋擴(kuò)展行為的規(guī)律。

近幾年,關(guān)于一維壓電準(zhǔn)晶材料彈性與斷裂力學(xué)研究成果已經(jīng)涌現(xiàn)了不少[11-20]。從上述文獻(xiàn)中可以看出，涉及準(zhǔn)晶材料斷裂力學(xué)研究問題時，缺乏數(shù)值算例。因為只有通過數(shù)值分析， 解決準(zhǔn)晶材料本質(zhì)的物理問題，比如聲子-相位子場的耦合、電場耦合、相位子場的出現(xiàn)對裂紋的影響等等，這樣才對研究準(zhǔn)晶材料有意義，并有別于其他的材料。論文作者曾借助于保角映射在滲透型邊界條件和非滲透型邊界條件下研究了一維六方準(zhǔn)晶中圓孔邊單裂紋和三條不對稱裂紋的電彈問題，通過數(shù)值分析探討了裂紋長度、半徑、耦合系數(shù)、聲子場載荷、以及相位子場載荷和電載荷對應(yīng)力強度因子和電位移強度因子的影響[21-22]，在此基礎(chǔ)上，Yang等[23]考慮部分滲透電邊界條件，基于Stroh公式，研究了壓電效應(yīng)下一維六方準(zhǔn)晶材料中具有不對稱共線裂紋的橢圓孔邊反平面斷裂問題，給出裂紋尖端場強度因子和能量釋放率的解析表達(dá)式，通過數(shù)值算例分析了幾何參數(shù)、耦合系數(shù)、以及相位子場載荷和機(jī)電載荷對材料斷裂特性的影響規(guī)律。但值得注意的是，上述工作論文作者僅是針對圓孔邊單裂紋和三條不對稱裂紋以及不對稱共線裂紋的橢圓孔邊情況。而實際工程中多個裂紋的模型是普遍存在的，再者材料科學(xué)家和工程師們已經(jīng)開始通過微結(jié)構(gòu)工程設(shè)計、研制各種復(fù)合材料，在計算機(jī)輔助復(fù)合材料設(shè)計中，通常設(shè)計具有周期分布微結(jié)構(gòu)的材料，而且現(xiàn)代材料制造技術(shù)已有能力實現(xiàn)精確周期分布。同時在研究大量缺陷相互作用時，將缺陷抽象為周期有序排列是一個實用、有效的力學(xué)模型。因此，對于周期型裂紋模型的研究也是有重要的實際工程意義的。除此之外，據(jù)論文作者所知，并無其他文獻(xiàn)對一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋問題進(jìn)行過研究。

本文借助于力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，運用復(fù)變函數(shù)方法和解析函數(shù)理論，對一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋反平面斷裂問題進(jìn)行了分析研究。獲得電不可導(dǎo)通邊界條件和電可導(dǎo)通邊界條件下裂紋尖端應(yīng)力強度因子，電位移強度因子和能量釋放率。通過數(shù)值算例分析裂紋數(shù)、幾何參數(shù)、耦合參數(shù)、聲子場應(yīng)力、相位子場應(yīng)力和電載荷對材料斷裂特性的影響規(guī)律。

1 一維六方壓電準(zhǔn)晶基本理論

由文獻(xiàn)[24]知，對于其準(zhǔn)周期方向為沿x3軸并且周期平面為(x1,x2)面的一維六方壓電準(zhǔn)晶體的反平面彈性問題的最終控制方程為

(1)

式中：u3和v分別為聲子場和相位子場的位移；φ為電勢。由復(fù)變函數(shù)理論可知[25]，u3,v和φ可表示為三個解析函數(shù)的實部或虛部，不妨設(shè)

u3=Reφ1(z),v=Reφ2(z),φ=Reφ3(z)

(2)

式中：φi(z)(i=1,2,3)為任意三個解析函數(shù)。所以一維六方壓電準(zhǔn)晶的彈性平衡問題最終歸結(jié)為在適當(dāng)邊界條件下求解式(2)。為了簡便，下文中都有φi來表示φi(z)。

2 一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋問題的解析解

2.1 力學(xué)模型

如圖1所示，在一維六方壓電準(zhǔn)晶體中含一半徑為R的圓孔，沿孔壁均勻分布著k(k=1,2,3，…)個長度為L的周期徑向裂紋。假設(shè)x3軸方向為準(zhǔn)周期方向，且裂紋穿透準(zhǔn)周期方向，垂直于準(zhǔn)周期方向的平面為坐標(biāo)平面x1-x2。準(zhǔn)晶體在無窮遠(yuǎn)處受沿聲子場與相位子場邊界的縱向剪應(yīng)力以及面內(nèi)電載荷的作用。

圖1 一維六方壓電準(zhǔn)晶中具有個周期裂紋的圓孔邊(An的坐標(biāo)為n=0,1,2,…,k-1)Fig.1 k periodic radial cracks emanating from a circular hole in 1D hexagonal piezoelectric quasicrystalsn=0,1,2,…,k-1)

2.2 場強度因子

2.2.1 電不可導(dǎo)通邊界條件

線彈性理論表明，僅對應(yīng)力集中而言，此問題可以轉(zhuǎn)化為在無窮遠(yuǎn)處不受外應(yīng)力，僅在圓孔邊及其所帶裂紋的表面上受縱向剪切力和電載荷作用σ32=-τ1,H2=-τ2,D2=-D0，并考慮電不可導(dǎo)通邊界條件, 則該問題的電力學(xué)邊界條件可表示為

(3)

式中：N為具有k(k=1,2,3,…)個周期徑向裂紋的圓孔邊的邊界；σ32和H2分別為聲子場和相位子場;D2為電位移。

對于電不可導(dǎo)通邊界條件， 有

(4)

將邊界條件式(3)代入式(4)，可得

(5)

引入保角變換[26]

(6)

對式(6)兩端關(guān)于ζ求導(dǎo)，得

(7)

這里有

(8)

從式(7)，可得

(9)

其中，

A=-8(1+ε)e4nπi[-3+ε+(1+ε)cos(2nπ)]sin2(nπ);

[2ki(ε-1)cos(nπ)+(ε-7)sin(nπ)+(1+ε)sin(3nπ)]。又由式(8)有

(10)

(11)

式中：K為無量綱場強度因子，其表達(dá)式為

(12)

特別地，當(dāng)n=0時,有式(12)得電不可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊k個周期裂紋在(A0,0,0)處聲子場與相位子場應(yīng)力強度因子及電位移強度因子分別為

(13)

式中：K*為無量綱場強度因子，為

(14)

2.2.2 電可導(dǎo)通邊界條件

考慮電可導(dǎo)通裂紋，則邊界條件為

(x1,x2)∈N∶σ32=-τ1,H32=-τ2,φ=C(常數(shù))

(15)

對于電可導(dǎo)通邊界條件， 有

(16)

所有的應(yīng)力與電位移均由φi(i=1,2,3)表示, 只要解出φi, 便可以確定應(yīng)力場和電位移場。

將邊界條件式(15)代入式(16)，可得

(17)

在電可導(dǎo)通邊界條件下，由Fan的研究得一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊k個周期裂紋在(An,0,0)(n=0,1,2,…,k-1)處聲子場與相位子場應(yīng)力強度因子及電位移強度因子分別為

(18)

特別地，當(dāng)n=0時,有式(18)得電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊k個周期裂紋在(A0,0,0)處聲子場與相位子場應(yīng)力強度因子及電位移強度因子分別為

(19)

2.3 能量釋放率

當(dāng)不考慮電載荷作用時，由式(13)得一維六方彈性準(zhǔn)晶中圓孔邊k個周期裂紋在(A0，0，0)處聲子場和相位子場應(yīng)力強度因子分別為

(20)

此時，一維六方彈性準(zhǔn)晶中圓孔邊k個周期裂紋在(A0,0,0)處的能量釋放率為

(21)

當(dāng)不考慮相位子場作用時，由式(13)和式(19)分別得到在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下各向同性壓電材料中圓孔邊k個周期裂紋在(A0,0,0)處應(yīng)力強度因子和電位移強度因子分別為與文獻(xiàn)[28]中的結(jié)果完全一致。此時，在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，各向同性壓電材料中圓孔邊k個周期裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率分別為

(22)

(23)

(24)

(25)

2.4 結(jié)果與討論

(1) 當(dāng)k=1時，由式(13)和式(19)分別得

(26)

(27)

式(26)和式(27)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊單裂紋在處的場強度因子，與Yang等研究的結(jié)果完全一致。

(2)當(dāng)k=2時，由式(13)和式(19)分別得

(28)

(29)

式(28)和式(29)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊對稱共線裂紋在(A0,0,0)處的場強度因子。

(3)當(dāng)k=3時,由式(13)和式(19)分別得

(30)

(31)

式中：K**為無量綱場強度因子，其表達(dá)式為

(32)

特別地，當(dāng)不考慮電場作用時，一維六方彈性準(zhǔn)晶中圓孔邊均勻分布的三個徑向裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率為

(33)

當(dāng)不考慮相位子場作用時，在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，各向同性壓電材料中圓孔邊均勻分布的三個徑向裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率分別為

(34)

(35)

(4)當(dāng)k=4時,由式(13)和式(19)分別得

(36)

(37)

式(36)和式(37)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊對稱共線四裂紋在(A0,0,0)處的場強度因子。

(5)當(dāng)R→0時，由式(13)和式(19)分別得

(38)

(39)

式中:K***為無量綱場強度因子，其表達(dá)式為

(40)

式(38)和式(39)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中星形裂紋(即k個共點的周期裂紋)在(A0,0,0)處的場強度因子。僅考慮聲子場，式(40)所得結(jié)果與文獻(xiàn)[29]一致。

特別地，當(dāng)不考慮電場作用時，一維六方彈性準(zhǔn)晶中星形裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率為

(41)

當(dāng)缺失相位子場時，在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，各向同性壓電材料中星形裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率分別為

(42)

(43)

3 數(shù)值算例和分析

圖2顯示了在不同的裂紋長度L/R下，無量綱場強度因子K*隨裂紋數(shù)k的變化關(guān)系。k=3時對應(yīng)的無量綱場強度因子是最大的，k=2,4時對應(yīng)的無量綱場強度因子相等，且大于k=1時對應(yīng)的無量綱場強度因子。這就說明，圓孔邊均勻分布三裂紋的材料最危險；含圓孔邊對稱共線裂紋或?qū)ΨQ四裂紋的材料比含圓孔邊單裂紋的材料危險。另外，當(dāng)k>5時對應(yīng)的無量綱場強度因子小于k=1所對應(yīng)的無量綱場強度因子。還可以看出，隨著裂紋數(shù)量(k≥3)的增加，無量綱場強度因子進(jìn)一步減小。說明，在材料中包含具有多個裂紋(k≥3)的圓孔, 增加裂紋的數(shù)量可以提高這種材料的可靠性。特別，裂紋的數(shù)量趨于無窮時，無量綱場強度因子趨于零，這是因為具有多條裂紋圓孔的邊界被認(rèn)為是一個新的圓孔，并且大于原來的圓孔。此外，L/R越大，K*也越大。

圖2 對不同L/R,K*隨k的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.2 Variations of K* with k for different L/R

圖3給出了k=1,2,3,4時，無量綱場強度因子K*隨裂紋長度L/R的變化關(guān)系(R=0.05)。隨著裂紋長度的增加，無量綱場強度因子逐漸增大，并且最終趨于某個常數(shù)。另外，在裂紋長度一定的情況下，k=3時對應(yīng)的無量綱場強度因子最大，k=2,4時對應(yīng)的無量綱場強度因子相等，且大于k=1時對應(yīng)的無量綱場強度因子,與圖2中得到的結(jié)論一致。

圖3 對k=1,2,3,4,K*隨L/R的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.3 Variations of K* with k for k=1,2,3,4

圖4給出了k=1,2,3,4時,無量綱場強度因子K*隨半徑R的變化關(guān)系(L/R=0.05)。隨著半徑的增加，無量綱場強度因子逐漸增大。并且在半徑大小一定的情況下，k=3時對應(yīng)的無量綱場強度因子最大，k=2,4時對應(yīng)的無量綱場強度因子相等，且大于k=1時對應(yīng)的無量綱場強度因子，與圖2中得到的數(shù)值結(jié)果一致。

圖5給出了在不同半徑R下，無量綱場強度因子K**隨裂紋長度L/R的變化關(guān)系。當(dāng)半徑大小固定時，無量綱場強度因子隨裂紋長度的增大而增大，但增加越來越緩慢。此外，半徑越大，無量綱場強度因子也越大，這表明，通過調(diào)整圓半徑可以消除裂紋尖端附近的應(yīng)力集中。

圖4 對k=1,2,3,4,K*隨R的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.4 Variations of K* with R for k=1,2,3,4

圖5 對不同R,K**隨L/R的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.5 Variations of K** with L/R for different R

圖6給出了在不同的裂紋長度L下，裂紋數(shù)k對無量綱場強度因子K***的變化關(guān)系。k=3時對應(yīng)的無量綱場強度因子最大，k=2,4時對應(yīng)的無量綱場強度因子相等，且大于k=1時對應(yīng)的無量綱場強度因子。這就說明，具有共點的均勻分布三裂紋的材料最危險；具有共點的對稱共線裂紋或?qū)ΨQ四裂紋的材料比具有單裂紋的材料危險。另外，當(dāng)k>13時所對應(yīng)無量綱場強度因子小于k=1所對應(yīng)的無量綱場強度因子。還可以看出，隨著裂紋數(shù)(k≥3)的增加，無量綱場強度因子進(jìn)一步減小。說明，在材料中包含具有多個共點的裂紋(k>3), 增加裂紋的數(shù)量可以提高這種材料的可靠性。特別，裂紋數(shù)趨于無窮時，無量綱場強度因子趨于零。此外，L越大，K***也越大。

圖6 對不同L,K***隨k的變化(星形裂紋)Fig.6 Variations of K*** with k for different L

圖7給出了在聲子場和相位子場共同作用下，不同的耦合系數(shù)R3對能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖中可以看出，耦合系數(shù)R3越大，能量釋放率也越大，但隨著裂紋數(shù)的不斷增加，耦合系數(shù)對能量釋放率的影響越來越小。所以，在工程實際中通過調(diào)整耦合系數(shù)可以降低裂紋尖端的集中。

圖7 對不同R3,G/Gr隨k的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.7 Variations of G/Grwith k for different R3

圖8顯示了在不同的聲子場和相位子場作用下，不同的裂紋長度L/R對能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖可以看到，相位子場應(yīng)力τ2越大，能量釋放率也越大。結(jié)果表明,在給定的聲子場載荷下，相位子場載荷總是促進(jìn)裂紋擴(kuò)展。另外，裂紋長度越大，能量釋放率也越大。結(jié)果顯示，裂紋長度變得越長越容易造成材料破壞，因此在實際應(yīng)用中可以通過檢測裂紋長度的變化來預(yù)防因為裂紋擴(kuò)展而造成的工件失效。

圖8 對不同τ2和L/R,G/Gr隨k變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.8 Variations of G/Grwith k for different τ2

從圖7和圖8中可以注意到，裂紋數(shù)對能量釋放率的影響規(guī)律情形與圖2中裂紋數(shù)對無量綱場強度因子的影響規(guī)律情形相似。

圖9和圖10分別給出了不同的耦合系數(shù)R3對能量釋放率G/Gr隨裂紋長度L/R和相位子場載荷τ2的變化關(guān)系。從圖9和圖10可以看出, 耦合系數(shù)R3越大，能量釋放率G/Gr也越大。另外，能量釋放率隨著裂紋長度的增大而增大，隨著相位子場載荷的的增大也增大。因此適當(dāng)調(diào)節(jié)相位子場載荷可以抑制材料的性質(zhì)變化和裂紋擴(kuò)展。

圖9 對不同R3,G/Gr隨L/R變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.9 Variations of G/Gr with L/R for different R3

圖10 對不同R3,G/Gr隨τ2變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.10 Variations of G/Gr with τ2 for different R3

圖11給出了在不同的聲子場和相位子場作用下，能量釋放率G/Gr隨半徑R的變化關(guān)系。從圖中可以看出，能量釋放率隨著半徑的增大而呈線性增加。但聲子場載荷τ1越大，能量釋放率反而越小，但總的來看聲子場載荷對能量釋放率的影響很小，因此在實際工程中可以適當(dāng)控制聲子場載荷有利于提高材料的抗斷裂能力。

圖11 對不同τ1,G/Gr隨R變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.11 Variations of G/Gr with R for different τ1

圖12給出了在聲子場和相位子場共同作用下，不同的耦合系數(shù)R3對能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖12中可以看出，耦合系數(shù)越大，能量釋放率也越大。但隨著裂紋數(shù)的不斷增加，耦合系數(shù)對能量釋放率的影響越來越小。所以，在工程實際中通過調(diào)整耦合系數(shù)可以降低裂紋尖端的集中。

圖12 對不同R3,G/Gr隨k變化(星形裂紋)Fig.12 Variations of G/Gr with k for different R3

圖13顯示了在不同的聲子場和相位子場作用下，不同的裂紋長度L對能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖中可以注意到，相位子場應(yīng)力τ2越大，能量釋放率也越大。另外，裂紋長度越大，能量釋放率也越大。但隨著裂紋數(shù)的不斷增加，相位子場和裂紋長度對能量釋放率的影響都越來越小。

從圖12和圖13中可以注意到，裂紋數(shù)對能量釋放率的影響趨勢與圖6中裂紋數(shù)對無量綱場強度因子的影響趨勢相似。

圖14給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化關(guān)系(τ1=2 MPa,D0=6×10-3C/m2,R=0.01,L/R=0.005)。從圖14中可以看出，裂紋數(shù)在兩種邊界條件下對能量釋放率的影響規(guī)律情形相似，且能量釋放率隨裂紋數(shù)的變化趨勢與圖2中無量綱場強度因子隨裂紋數(shù)量的變化趨勢相似。

圖14 G/Gr隨k的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.14 Variations of G/Grwith k

圖15給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨半徑R的變化關(guān)系(τ1=6 MPa,D0=2×10-3C/m2,L/R=0.05)。從圖15中可以看出，半徑在兩種邊界條件下對能量釋放率的影響規(guī)律情形相似。即能量釋放率隨著半徑的增加而正比例增加，表明半徑總是促進(jìn)裂紋增長。

圖15 G/Gr隨R的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.15 Variations of G/Grwith R

圖16給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，在力電載荷給定下能量釋放率G/Gr隨裂紋長度L/R的變化關(guān)系(τ1=6 MPa,D0=2×10-3C/m2,R=0.05)。可以看出，裂紋長度在兩種邊界條件下對能量釋放率的影響規(guī)律情形相似，即隨著裂紋長度的增加，能量釋放率在增加，表明裂紋長度的增加容易促進(jìn)裂紋擴(kuò)展。

圖16 G/Gr隨L/R的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.16 Variations of G/Gr with L/R

圖17給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨機(jī)械載荷τ1的變化關(guān)系(R=0.01,L/R=0.005,D0=2×10-3C/m2)。可見，機(jī)械載荷在兩種邊界條件下對能量釋放率的影響規(guī)律情形相似。當(dāng)裂紋的幾何參數(shù)固定時，在一定的電載荷下，能量釋放率隨機(jī)械載荷的增加而增加。說明，機(jī)械載荷始終促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展。

圖17 G/Gr隨τ1的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.17 Variations of G/Grwith τ1

圖18給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨電載荷D0的變化關(guān)系(R=0.01,L/R=0.005,τ1=6 MPa)。從圖中可以看出，在電可導(dǎo)通邊界條件下，電載荷對能量釋放率沒有影響，裂紋的能量釋放率僅依賴于機(jī)械載荷。在電不可導(dǎo)通邊界條件下，當(dāng)裂紋的幾何參數(shù)固定時，在一定的機(jī)械載荷下，能量釋放率隨著負(fù)電場量值大小的增加而減少。相比之下，隨著正電場從零開始增加，能量釋放率逐漸增加，并在D0≈2.2×10-3C/m2時達(dá)到高峰，然后隨著正電場的進(jìn)一步增加，能量釋放率不斷減小。結(jié)果表明,對于電不可導(dǎo)通裂紋,在給定的機(jī)械載荷下，負(fù)電場總是阻礙裂紋擴(kuò)展，而正的電場可以促進(jìn)或阻滯裂紋擴(kuò)展，這取決于電載荷的大小、方向和作用方式。

圖18 G/Gr隨D0的變化(圓孔邊均布三裂紋) Fig.18 Variations of G/Grwith D0

圖19給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化關(guān)系(τ1=2 MPa,D0=6×10-3C/m2,L=0.005)。從圖中可以看出，裂紋數(shù)在兩種邊界條件下對能量釋放率的影響規(guī)律情形相似，且能量釋放率隨裂紋數(shù)的變化趨勢與圖3中無量綱場強度隨裂紋數(shù)量的變化趨勢相似。

圖19 G/Gr隨k的變化(星性裂紋)Fig.19 Variations of G/Grwith k

從圖14～圖19中還可以看出，電可導(dǎo)通邊界條件下能量釋放率的值比電不可導(dǎo)通邊界條件下能量釋放率的值略大一些。

上述算例中得到的數(shù)值結(jié)果與Guo等研究中的數(shù)值結(jié)果相吻合。

4 結(jié) 論

本文運用復(fù)變函數(shù)方法和解析函數(shù)理論，對一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋反平面斷裂問題進(jìn)行了分析研究，導(dǎo)出了電不可導(dǎo)通邊界條件和電可導(dǎo)通邊界條件下裂紋尖端場強度因子和能量釋放率的解析表達(dá)式。在缺失相位子場或電場時，所得結(jié)果和已有結(jié)果做了對比分析。通過數(shù)值算例分析了裂紋數(shù)、幾何參數(shù)、耦合參數(shù)、以及相位子場載荷和機(jī)電載荷對材料斷裂特性的影響規(guī)律。本研究為壓電準(zhǔn)晶元件的優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析提供理論基礎(chǔ)，并豐富該領(lǐng)域斷裂力學(xué)的研究內(nèi)容。