基于函數(shù)cot(xα)變換的傅立葉級數(shù)在大壩變形數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

王江榮，王慶嶺

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學院信息處理與控制工程學院，甘肅 蘭州 730060)

大壩在建設(shè)期和運營期都會因地質(zhì)構(gòu)造、周圍環(huán)境、氣溫變化、施工技術(shù)、壩體自重及水力作用等發(fā)生變形，科學、合理地預(yù)測大壩變形對確保大壩安全具有重要意義。受監(jiān)測條件的影響，大壩的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)列往往含噪聲且具有波動性大、規(guī)律性和平穩(wěn)性較差的特點，針對這類變形監(jiān)測數(shù)據(jù)列建模，已有研究分別采用了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解技術(shù)[1]和B樣條函數(shù)[2]，這兩種建模方法均取得了理想的預(yù)測效果，但也存在建模過程復(fù)雜等問題。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，提出了一種基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模方法，利用該建模方法得到的大壩變形預(yù)測模型具有很強的數(shù)據(jù)適應(yīng)能力和外推能力，只需少量級數(shù)項就能達到理想的預(yù)測效果，對于其中的模型系數(shù)及相關(guān)參數(shù)可采用遺傳算法估算。實證分析表明利用該建模方法所建立的大壩變形預(yù)測模型具有很高的預(yù)測精度，可應(yīng)用于工程實踐。

1 函數(shù)cot(x2)變換及傅立葉級數(shù)建模流程

1.1 函數(shù)cot(x2)變換

1.2 傅里葉級數(shù)

若函數(shù)f(t)在閉區(qū)間[-l,l]上連續(xù)或僅有有限個第一類間斷點，則函數(shù)f(t)可利用傅立葉級數(shù)來表示[5]，即：

(1)

1.3 基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模流程

本文提出的基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模流程，詳見圖1。

圖1 基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模流程

2 工程實例應(yīng)用與分析

某大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)[7](觀測時間間隔相同)見表 1，本文利用前32期的大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)建模，利用后4期即第33、34、35、36期的大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型進行檢驗。

表1 某大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)

某大壩前32期的切向位移原始監(jiān)測數(shù)據(jù)點分布，見圖2。

圖2 某大壩前32期的切向位移原始監(jiān)測數(shù)據(jù)點分布

由圖2可見，因受工程地質(zhì)構(gòu)造、土壤物理性質(zhì)、大氣溫度、水文、建筑物承受荷載、建筑物內(nèi)部結(jié)構(gòu)、所用材料及施工質(zhì)量等隨機性因素的影響[8-10]，該大壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)列的波動性較大，呈現(xiàn)部落或族狀，光滑度及規(guī)律性均較差，因大壩變形是一個漸變的過程，所以描述這類數(shù)據(jù)點的函數(shù)通常是連續(xù)的或存在第一類間斷點，故可利用傅立葉級數(shù)來逼近這類數(shù)據(jù)點。需要指出的是，數(shù)據(jù)的光滑度越高，利用傅立葉級數(shù)逼近的效果就越好，故將原始監(jiān)測數(shù)據(jù)列作函數(shù)cot(x2)變換，以提高數(shù)據(jù)列的光滑度，具體過程如下：

(1) 對大壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)列進行標準化處理：對該大壩前32期切向位移原始監(jiān)測數(shù)據(jù)做如下標準化處理：

(2)

(3)

式中:t為監(jiān)測次數(shù)(次)，且t=1,2,…,32，以下相同。

本文采用遺傳算法對模型系數(shù)及相關(guān)參數(shù)進行估算。定義目標函數(shù)(適應(yīng)度函數(shù))如下：

(4)

設(shè)n=3，打開Matlab遺傳算法工具箱GAOT界面GUI[11]，在Fitness function中輸入@finess(目標函數(shù)的Matlab程序名，程序在此略)，在Number of Variables中輸入8，在下邊界lower中輸入-2*ones(1,8)，在上邊界Upper中輸入2*ones(1,8)，執(zhí)行Start命令，經(jīng)79次迭代(迭代過程見圖3)，輸出的目標函數(shù)最優(yōu)值為0.000 598 781，輸出的模型系數(shù)及相關(guān)參數(shù)值如下：

圖3 適應(yīng)度函數(shù)變化曲線

從傅立葉級數(shù)提取的模型為

S3(t)=0.698 8-0.225 2cos0.073 7t-0.445 2sin0.073 7t-0.208 5cos0.147 4t+0.264 9sin0.147 4t+0.133 4cos0.221 1t+0.012 1sin0.221 1t

(5)

從模型式(3)的決定系數(shù)、殘差分析來看，當n=1，2時，模型的擬合效果不及n=3的情形；當n>3時，模型的擬合效果未得到顯著改善。依據(jù)模型結(jié)構(gòu)力求簡單、運算量盡可能小、精確度盡可能高的原則，選擇n=3的模型為大壩變形最終的預(yù)測模型。需要指出的是，利用模型式(5)計算出的擬合預(yù)測值還需要按下式進行數(shù)據(jù)還原:

(6)

該大壩前32期變形監(jiān)測的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)與模型擬合曲線，見圖4。

圖4 某大壩前32期變形監(jiān)測的原始數(shù)據(jù)與模型擬合曲線

作為對比，本文給出了未經(jīng)光滑處理的該大壩前32期變形監(jiān)測原始數(shù)據(jù)的傅立葉級數(shù)模型：

y=51.15+0.467 9cos0.178 2t+0.578 4sin0.178 2t+0.487 8cos0.356 4t-0.755 7sin0.356 4t+0.182 7cos0.534 6t-0.231 8sin0.534 6t

(7)

本文利用模型式(5)、(6)以及模型式(7)對該大壩后4次變形進行預(yù)測，并將其預(yù)測結(jié)果與文獻[2]的預(yù)測結(jié)果進行了對比，詳見表2和表3。

表3 大壩變形預(yù)測模型的精度比較

注：絕對誤差=|預(yù)測值-實際值|；相對誤差=|(預(yù)測值-實際值)÷實際值|×%。

由表3可知，本文建立的基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)(Fourier)大壩變形預(yù)測模型(簡稱cot(x2)-Fourier模型)的預(yù)測精度(最大絕對誤差不超過0.087 4，平均相對誤差僅為0.099 5%)明顯高于另兩種預(yù)測模型。究其原因分析認為：大壩變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)呈現(xiàn)離散斷裂狀、波動性大、規(guī)律性差等特點，對這類數(shù)據(jù)列不適合采用參數(shù)回歸模型(需要事先設(shè)定)來表征，而適合采用非參數(shù)回歸模型(基函數(shù)的代數(shù)和)來逼近實際變形曲線(盡管未知)，而傅立葉級數(shù)能任意逼近在區(qū)間[-l,l]上的連續(xù)函數(shù)(或僅有第一類間斷點的函數(shù))，故本文選用傅立葉級數(shù)建模；另外，數(shù)據(jù)的光滑程度直接關(guān)系著傅立葉級數(shù)模型的逼近效果，所以在建模前應(yīng)對建模數(shù)據(jù)進行平滑處理，本文通過函數(shù)cot(x2)變換提高了大壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)的光滑度，從而提高了預(yù)測模型的預(yù)測精度，實例應(yīng)用也證明了這一點。

3 結(jié) 論

受監(jiān)測條件、地形地貌、地質(zhì)構(gòu)造、周圍環(huán)境和氣候環(huán)境等因素的影響，大壩變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)離散斷裂狀、非光滑性、規(guī)律性差等特點，對這類數(shù)據(jù)列如果采用事先設(shè)定的變形曲線模型進行擬合預(yù)測，常常會發(fā)生因設(shè)定不當而出現(xiàn)較大偏差的現(xiàn)象，而傅立葉級數(shù)能夠逼近任意連續(xù)函數(shù)(或僅有限個第一類間斷點)，利用傅立葉級數(shù)建模可以有效地避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。大壩變形或其他建筑物變形均為時間的未知連續(xù)函數(shù)(可能存在第一類間斷點)，非常適合利用傅立葉級數(shù)逼近該變形函數(shù)，但因數(shù)據(jù)的光滑度對傅立葉級數(shù)逼近效果有較大的影響，所以在建模前應(yīng)對大壩變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進行平滑處理。函數(shù)cot(xα)變換是一種被理論證明能提高數(shù)據(jù)光滑度的方法，基于函數(shù)cot(xα)變換的傅立葉級數(shù)模型法具很強的數(shù)據(jù)表達能力，對建筑物后期變形的預(yù)測具有較高的精度，而且利用傅立葉級數(shù)建模只需少量級數(shù)項就能取得理想的預(yù)測效果，這種優(yōu)點有利于工程實踐。