混合偏最小二乘回歸和粒子群優化直接進給軸加速度飽和性能的優化方法

林獻坤 張立明

1.上海理工大學機械工程學院，上海，2000932.上海理工大學蘇州精密制造技術研究院，蘇州，320507

0 引言

直線電機是一種將電能直接轉換成直線運動機械能，不需要中間轉換機構的傳動裝置，它具有定位精度高、傳動效率高、推力大和加速度大等優點，已廣泛應用于精密數控機床加工中[1]。在高加速進給的條件下，由直線電機驅動的進給軸能夠在短行程內產生較高的進給速度，提高了加工效率；高切削速度使得切削過程中的發熱量更小，降低能耗，又可使工件輪廓誤差更小，提高加工精度[2]。加速度飽和性能評價指標是指在一定行程范圍和加速度最高值限定范圍內使進給過程速度的時間積分值(即驅動過程最高加速度絕對值)持續的時間，該性能參數也是衡量是否能保持高速度進給過程的重要指標。由于直線電機特殊的機械結構、端部效應、推力波紋以及摩擦阻力等諸多因素的存在，影響到進給驅動過程的加速度，加速度飽和性能對于提高加工效率和加工質量具有重要意義[3-4]。

直接進給軸加速度的抗擾動能力是其驅動性能的重要因素，并且驅動性能受到電機推力波動與包括摩擦力在內的擾動力等諸多因素的影響，國內外專家學者對此做了較多的研究。TAVANA等[5]提出了一種基于麥克斯韋方程組的分析方法，利用遺傳算法對影響電機推力的參數進行了優化；HAN等[6]通過加入加速度反饋環節，分析了伺服系統的抗擾動性和加速度閉環的穩定性；GUO等[7]提出具有反饋輸入環節的擾動觀測器模型，對負載擾動進行了深入分析；賴國庭等[8]通過加速度的前饋控制策略，對永磁伺服電機的驅動性能進行了研究；ITAGAKI等[9]通過構建非線性摩擦遲滯特性的模型，采用線性虛擬摩擦的方法，對進給軸摩擦的補償進行了研究；向紅標等[10]提出一種基于LuGre模型的自適應摩擦補償方法，對伺服系統的摩擦干擾進行了研究。上述對直接進給軸驅動性能的研究，都是基于建立精確的電機模型，在電機模型的基礎上通過設計控制器或觀測器等開展的。但在實際工程中，建立精確的電機模型往往難以實現；影響進給軸驅動性能的非線性因素眾多又相互作用，對一些擾動的實時觀測較為困難，要提高直接進給軸驅動性能有一定的局限性。

由于對進給軸各種擾動因素的控制，都與伺服參數的配置環節有關，因此，將擾動看作系統內在固有特性，利用試驗方法獲得系統的輸入與輸出，建立數學模型，進行伺服參數優化的方法，已成為提高驅動性能的熱點研究方向[11]。LEE等[12]提出用神經網絡、支持向量機等方法提高直接進給軸的驅動性能。陳東寧等[13]提出一種細菌群覓食優化算法，對伺服系統的控制參數進行了深入研究。俞亞新等[14]提出一種模糊變系數PID控制器，利用模糊控制原理在線調整PID控制器的比例、積分及微分增益。林獻坤等[15]通過分析數控系統中應用伯德圖優化伺服參數存在的問題，給出了一種基于動剛度評價的直接進給軸伺服參數優化方法。

本文以自構建的直線電機驅動進給軸為研究對象，通過分析進給軸加速度飽和性能的影響因素，對其加速度飽和性能的優化方法進行了研究。

1 加速度飽和性能的影響因素分析

永磁直線伺服電機的動力學方程：

(1)

式中，Fe為電機推力；m為動子及負載的總質量；x為運動位移；t為運動時間；Fc為摩擦力；ΔF為非線性因素攝動引起的擾動力。

由式(1)可知，直接進給軸加速度與電機推力有著直接的關系。永磁同步直線電機在d-q坐標軸下的電壓方程：

(2)

式中，ud和uq為動子端d軸和q軸的電壓分量；Rs為永磁同步直線電機動子繞組的電阻值；ψd和ψq為d、q軸動子感鏈；ω為直線電機平移速度折算成的旋轉電機角速度。

磁鏈方程：

(3)

式中，Ld和Lq分別為電機d軸和q軸電感；id和iq分別為d軸和q軸動子電流；ψf為定子永磁體產生的勵磁磁鏈。

由此可得電機推力：

(4)

當永磁直線電機進行矢量控制時,即要求動子電流矢量與定子永磁體磁場在空間正交。如果id=0，電機推力Fe與iq成正比，即

(5)

式中，Kf為電機推力系數。

所以，式(1)可轉換為

(6)

直線電機伺服控制系統是由3層閉環結構組成，從內而外分別為電流環、速度環和位置環。電流環用來抑制電流干擾信號，提高系統的快速性和穩定性，且電流環給定i是速度環的輸出信號；速度環采用PI調節器，用來消除力矩擾動和速度波動，提高系統抗負載擾動能力，且速度環給定u是位置環的輸出信號；位置環采用P調節器，用來提高系統靜態精度和動態跟蹤能力，保證伺服系統的精度和穩定，位置環給定是運動指令x*。結合式(6)可得圖1所示的直線電機伺服加速度控制框圖。圖中，KPs為位置環比例增益；KPv為速度環比例增益；KIv為速度環積分增益；KPi為電流環比例增益；KIi為電流環積分增益；Ke為反電勢常數。

從圖1可以看出，在特定系統的前提下，電機推力系數Kf、動子及負載的總質量m以及控制環節1/s皆是固定不變的，電流環參數在直線電機和功率模塊選定之后通常保持不變，在研究中，不對

圖1 直線電機伺服驅動控制原理圖Fig.1 Control block diagram of linear motor servo acceleration

該環節進行優化，而伺服參數Ks、KPv、KIv是可以調節變動的，與加速度之間存在著緊密的聯系。

2 加速度飽和性能建模

2.1 偏最小二乘回歸建模的應用

偏最小二乘回歸方法是建立在X(自變量)與Y(因變量)矩陣基礎上的雙線性模型，可以看作是由外部關系(即獨立的X塊和Y塊)和內部關系(即兩塊間的關系)構成。本文以伺服參數位置比例增益Ks、速度比例增益KPv以及速度積分KIv為自變量，運動時間t和速度最大超調量σ為因變量，通過分析自變量和因變量各自的潛變量，建立自變量與因變量的線性回歸模型。

記E0為自變量集合X的標準化矩陣，有

(7)

i=1,2,…,nj=1,2,3

記F0為自變量集合Y的標準化矩陣，有

(8)

i=1,2,…,nj=1,2

偏最小二乘回歸分析建模時，先要從兩組變量分別提取第一對成分為t1和u1，t1是自變量X的線性組合：t1=w11Ks+w12KPv+w13KIv,u1是因變量Y的線性組合：t1=v11t+v12σ，同時需滿足以下要求：①t1和u1各自盡可能多地提取所在變量組的變異信息；②t1和u1的相關程度達到最大。綜合起來，即要求第一對成分t1和u1的協方差Cov(t1,u1)最大：

(9)

(10)

式中，α1為自變量X的3×1階回歸系數向量；β1為因變量Y的1×1階回歸系數向量；E1和F1為回歸方程的殘差矩陣。

以殘差陣E1和F1代替E0和F0重復以上步驟得到第二個主成分t2及相應的殘差矩陣E2和F2，如此循環直到第r個主成分滿足精度要求。最后可實現E0和F0在t1,t2,…,tr上的回歸：

(11)

t=a11Ks+a12KPv+a13KIv

(12)

σ=a21Ks+a22KPv+a23KIv

(13)

2.2 變量提取的收斂評判

在應用偏最小二乘回歸的方法對加速度飽和性能進行建模的過程中，并不需要選用全部的成分t1,t2,…,tr(r=rank(X))進行回歸建模。事實上，如果后續的成分已經不能為解釋F0提供更有意義的信息，采用過多的成分只會破壞對加速度飽和性能統計趨勢的認識，引導錯誤的預測結論；僅用前l個成分t1,t2,…,tl(l

(14)

j=1,2

式中，P(h)是提取成分數為h時回歸模型的擬合誤差平方和；S(h-1)是提取成分數為h-1時因變量的變異平方和；yij是因變量原始數據；yij(h-1)是以全部樣本點為基礎，并取h-1個成分建模后第i個樣本點的擬合值；y(i)j(h)是刪除第i個樣本點后，并取h個成分建模的第i個樣本點的擬合值。

3 加速度飽和性能的優化

3.1 優化引擎

在高精密數控機床加工中，伺服控制系統不僅需要有快速的響應特性，還要有良好的穩態精度。其中，速度的超調量是影響系統穩態精度和跟蹤性能的關鍵因素。過大的速度超調量，使得系統的振蕩性能變差，影響了工件的加工精度、表面粗糙度以及機床的定位精度；長期的振蕩抖動還會造成機械聯接裝置的磨損，進而損壞機床，嚴重時會釀成生產事故。因此，對于加速度飽和性能的優化，速度超調量的抑制是需要考慮的重要約束條件。

粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法能夠快速有效地解決工程中的可靠性優化問題，它不但具有全局尋優能力，而且通過調整參數也具備較強的局部尋優能力，能夠不依賴于初值的選取和不用考慮目標函數是否可微，尤其在多維空間內非線性有約束的優化問題中取得了良好的效果。本文利用粒子群算法，以運動時間t關于伺服參數的數學模型為適應度函數，在速度最大超調量σ的約束下辨識優化參數。粒子群算法首先初始化得到一組隨機解，以這組隨機解為基礎，通過迭代搜索最優解。由式(12)、式(13)中存在3個自變量(Ks，KPv，KIv)可知，本文通過粒子群算法優化的問題是在三維空間內搜索，即d=3。假設有m個粒子，粒子i位置可表示為Xi=(Xi1,Xi2,Xi3)；粒子i的速度為vi=(vi1,vi2,vi3)；每個粒子都有一個由優化目標函數(式(12))決定的適應值，粒子i個體經歷過的最好位置為bpi=(pi1,pi2,pi3)；種群經歷過的最好位置為bgi=(g1,g2,g3)。粒子就是根據這兩個極值來不斷更新自己的速度和位置：

(15)

(16)

根據隨機權重法，本文的慣性系數λ在搜索過程中按照下式變化：

(17)

式中，N(0,1)表示服從標準正態分布的隨機數；rand(0,1)表示在0到1之間產生的隨機數。

3.2 優化方法

本文對于加速度飽和性能優化方法的研究，包含加速度飽和性能的建模和優化參數的辨識兩個部分，建模和計算流程如圖2所示。

首先，在一定位移條件下，通過位移采集系統獲取不同伺服參數時運動時間t和速度最大超調量σ的數據。將伺服參數序列(自變量)與運動時間t、速度最大超調量σ數據(因變量)建立統計樣本庫，應用偏最小二乘回歸方法，通過提取潛變量和交叉有效性分析得到回歸系數，構建運動時間t和速度最大超調量σ關于位置比例Ks、速度環比例增益KPv以及速度環積分增益KIv的數學模型。然后，以運動時間t關于伺服參數(Ks，KPv，KIv)的數學模型為適應度函數，設定速度最大超調量σ不大于5 mm/s為優化條件，通過粒子群優化算法進行優化參數的辨識。

圖2 建模和計算流程圖Fig.2 Flow chart of modeling and calculating

4 試驗研究

4.1 試驗平臺的建立

為了驗證本文給出的直接進給軸加速度飽和性能優化方法的可行性，建立了圖3所示的試驗系統，該系統以有鐵芯-無冷卻的直接進給機構為試驗平臺，最大推力為5 000 N，最大速度可達1 000 mm/s，工作臺行程為337 mm。應用GTS-400-PV運動控制卡和EDD-3020-T0S驅動器，構成該試驗平臺的伺服控制系統，應用MCV-500激光多普勒位移測量儀、IPC1-400高頻數據采集卡組成位移采集系統。伺服控制系統、位移采集系統與安裝有集成開發環境和位移采集軟件的計算機，構成了完整的試驗測試系統。

1.數據采集計算機 2.上位機 3.端子板 4.激光發射裝置 5.激光反射標靶 6.歐姆龍EE-SX-67限位開關圖3 試驗平臺布置Fig.3 Experimental platform layout

位移采集系統采用雙通道雙頻激光干涉儀進行在線精密測量，2個激光干涉儀發射器平行置于導軌兩側，發射器對應的反射鏡固定在滑臺上，并隨滑臺一起運動。激光通過反射鏡反射后，在嵌于激光頭內的探測器中形成干涉光束，進而實現對直接進給軸的位移測量。

圖4 試驗平臺伺服控制系統框圖Fig.4 Servo control system block diagram of experimental platform

試驗平臺控制系統的驅動控制原理如圖4所示，通過開發環境編寫的控制程序在上位機運行后，上位機便將程序指令通過PCI總線發送給運動控制器。運動控制器在接收指令后完成相應的實時運動規劃，并將運動信號發送給驅動器，伺服驅動器控制直接進給軸的運動。同時通過編碼器測量實際的位移量并反饋給運動控制器，運動控制器將理論值與實際值相比較，通過差值信號調節電機運動誤差，構成了全閉環式的伺服系統，實現了高精密電機驅動控制。

4.2 試驗方案的設置

在設定位移一定的條件下，運動時間t的大小是直接進給軸加速度飽和性能的重要表現形式，運動時間t包含兩部分，即加速時間和勻速時間。當加速度飽和性能越強時，到達目標速度的時間越短；開始勻速運動的時間節點越早，運動時間t越短。試驗中，進給軸在位置模式下進行位置規劃運動，設置進給軸的目標距離為100 mm，目標速度為0.5 m/s，目標加速度為0.4g。通過位移數據采集軟件設置高頻采集模塊的采樣率為5 000 Hz，采集時間為2 s，由位移的起始和結束對應的采樣點可以得到運動時間t的數據樣本。同時，每隔兩個間隔采樣點，對采集到的位移數據進行平均時間值處理，由此得到運動速度的數據樣本。

本文應用正交試驗設計方法，對自變量伺服參數進行選定，從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，該試驗設計方法具備“均勻分散，齊整可比”的特點。借助于SPSS統計工具，設計出三因素六水平正交表，其中，水平因子的取值情況見表1。

表1 正交試驗水平因子分布情況Tab.1 Distribution of horizontal factors

4.3 試驗結果與分析

經過上述試驗，可以得到不同伺服參數下運動時間t和速度超調量σ的樣本數據庫，應用偏最小二乘回歸方法，構建運動時間t和速度最大超調量σ關于位置環比例增益Ks、速度環比例增益KPv以及速度環積分KIv的關系模型，可得

t=(3.058 8×102)+(1.633 7×10-2)Ks+
(4.214 3×10-1)KPv-6.946 4×103)KIv

(18)

σ=(1.110 7×102)-(9.596 1×10-2)Ks-
(2.081 9×101)KPv-(8.217 4×104)KIv

(19)

以式(18)為適應度函數，在速度超調量不大于5 mm/s的約束下，通過粒子群算法，辨識優化參數，最終通過PSO算法優化得到的解為：Ks=793.62，KPv=1.15，KIv=6×10-5。該優化解對應的適應度值為3.189×102。

為了驗證應用偏最小二乘回歸建立的運動時間t和速度超調量σ的數學模型的預測精度，隨機選取200組樣本，進行了模型的預測性能測試，設置預測數據與試驗所得數據的差值為預測偏差值，通過統計分析，得到圖5所示的模型預測效果圖。從圖中可見，運動時間t的偏差均值為0.20 ms，預測偏差值可控制在±1 mm/s以內，最大偏差為0.80 ms；速度最大超調量σ的偏差均值為0.21 mm/s，預測偏差值可控制在±1 mm/s以內，最大偏差為0.92 mm/s；且運動時間t和速度最大超調量σ的標準差分別為0.15 ms和0.18 mm/s，都比較小，由此可見，運動時間t和速度最大超調量σ的模型精度較高。

圖5 模型預測效果圖Fig.5 Prediction performance of PLS model

為了驗證通過PSO算法辨識得到的優化參數的有效性，隨機選取200組試驗參數進行比較，其中一組為優化辨識得到的伺服參數，試驗條件皆與樣本建立時所采用的試驗條件相同。將最終得到的運動時間t和速度最大超調量σ的數據進行對比，得到如圖6所示的運動時間與速度最大超調量試驗結果對比圖。

圖6 運動時間與速度最大超調量對比圖Fig.6 Comparison of motion time and velocity overshoot

圖6為運動時間t與速度最大超調量σ的試驗結果對比圖。P點和Q點分別表示優化參數下運動時間t和速度最大超調量σ的試驗結果。

從圖6中運動時間t和速度最大超調量σ的總體趨勢可以看出，運動時間t較大時，對應的速度最大超調量σ較小；速度最大超調量σ較大時，運動時間t較小；該結果是與系統的快速響應特性和振蕩性能之間成負相關的事實相吻合的。以優化得到的試驗序列位置P和速度最大超調為基準，對圖6中表示的試驗結果分4種情況討論：①高于P運動時間的虛線區域；②低于P運動時間的虛線區域；③超過速度最大超調可行分界線(σ=5 mm/s)的區域；④低于速度最大超調可行分界線的區域。由圖6可知，小于P點運動時間的點，其對應的速度最大超調量都高于該分界線，不滿足優化條件，但P點試驗的超調量滿足條件，且達到最小值。

為了統一量綱和更直觀地體現優化伺服參數的效果，對不滿足優化條件的運動時間值進行懲罰，在數據處理環節中，引入綜合考慮運動時間t及速度最大超調量σ的評價因子ξ：

(20)

式中，C1為懲罰常數，C1=0.05；Et為運動時間t的均值；C2為調節常數，C2=0.5，根據運動時間t的下界對評價因子ξ進行調節；σ0值取5 mm/s。

當σ>σ0時，ξ=C1；σ<σ0時，ξ值越小，表示直接進給軸的加速度飽和性能越好，由此可得圖7所示的評價因子效果圖。

圖7 評價因子效果圖Fig.7 Evaluation factor rendering

圖7中，W點表示優化參數的綜合試驗結果。由圖7可以看出，與其他滿足優化條件的試驗數據相比，W點對應的ξ值最小，表現出最好的加速度飽和性能。將圖中W點的值(4.6×10-3)與樣本組的平均驅動性能指標(1.45×10-2)進行比較可得，優化伺服參數的加速度飽和性能比樣本組的平均加速度飽和性能指標高68%。綜上可知，本文提出的直接進給軸加速度飽和性能優化方法是可行的，能有效提高直接進給軸的加速度驅動性能。

5 結論

本文對直接進給軸加速度飽和性能的優化方法進行了研究，分析了伺服加速度的影響因素，在直接進給軸試驗臺上開展加速度飽和性能測試研究，通過偏最小二乘回歸方法建立運動時間和速度最大超調量關于伺服參數的模型，運用粒子群算法辨識加速度飽和性能優化的伺服參數。通過對比模型預測結果和試驗結果，直接進給軸加速度飽和性能模型能夠準確地預測加速度飽和性能。在自構建的直接進給軸試驗平臺上進行隨機試驗驗證，結果表明：混合優化結果得到的伺服參數具有較好的加速度飽和性能，不但滿足速度超調量的要求，而且比樣本組的平均驅動性能指標高出68%，說明混合偏最小二乘回歸與粒子群優化的直接進給軸加速度飽和性能優化方法是可行的。