基于遺傳算法的供水管網需求乘數因子校核

毛潤康 杜坤 周明 陳攀 雷雨晴 丁榕藝 楊佳莉

基金項目：國家自然科學基金項目（51608242）;云南省應用基礎研究青年項目（2017FD094）

作者簡介：毛潤康（1995-），男，昆明理工大學建筑工程學院碩士研究生，研究方向為市政工程;杜坤（1986-），男，博士，昆明理工大學建筑工程學院講師，研究方向為市政工程。本文通訊作者：杜坤。

摘 要：水力模型已廣泛應用于給水管網設計、分析與運行中。在所有水力模型中，需水量是導致模型輸出最不確定的參數之一。因用水情況不確定，使得管網中的節點需水量變得異常復雜。在大多數實際管網中，用于校核節點需水量的監測設備數量有限，且小于未知量個數，使得節點需水量校核作為欠定問題，令節點需水量校準產生較大誤差，并且傳統遺傳算法校核節點需水量的方法是假定所有節點的需求乘數因子一致，這也導致校核后的模型無法接近真實運行情況，因此提出在欠定條件下用遺傳算法解決需求乘數因子的校核問題。通過對一個實際案例多次運行并取平均值作為結果進行驗證，結果表明，遺傳算法的校核結果不僅能夠與被測位置的實際值相擬合，而且可以得到非測量位置的管道流量和節點水頭，其中校核后的節點水頭和管道流量誤差較小，平均誤差分別為1.78%、4.05%。該方法相比于傳統校核方法具有更高精度，且更能反映出管網真實運行情況，同時還避免了傳統校核方法中因遺傳算法產生局部最優解而導致誤差偏大的問題，對于大型管網模型校核也具有一定參考價值。

關鍵詞：遺傳算法;校核;需求乘數因子校核;欠定問題

DOI：10. 11907/rjdk. 191608 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

中圖分類號：TP301文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2019）007-0060-05

Calibration of Water Demand Multipliers in Water

Distribution Systems Using Genetic Algorithms

MAO Run-kang， DU Kun， ZHOU Ming， CHEN Pan， LEI Yu-qing， DING Rong-yi， YANG Jia-li

（Faculty of Civil Engineering and Mechanics， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）

Abstract：Hydraulic models have been widely used for design， analysis， and operation of water distribution systems. As with all hydraulic models， water demands are one of the main parameters that cause the most uncertainty to the model outputs. However， estimation of the demand parameters is usually complicated due to the stochastic behavior of the water consumptions. This is an underdetermined system where the number of measurements is limited and less than the number of unknows，so the calibration of water demand will produce a large error，and the traditional genetic algorithm to calibrate the water demand of nodes is to assume that the demand multiplier factors of all nodes are the same， which leads to the problem that the calibration of model can not be close to the real operation. This paper presents an approach to calibration of the demand multiplier factors under an ill-posed condition where the number of measurements is less than the number of parameter variables. The problem is solved by using a genetic algorithm （GA）. A practical case was run multiple times was taken and the average to validate that not only is the GA able to match the calibrated values at measured locations， but by using multiple runs of the GA model， the flow rates and nodal heads at nonmeasured locations can be estimated. The error of node head and pipeline flow is small after check， and their average error is 1.78% and 4.05%， respectively. Compared with the traditional optimized method， this method has higher accuracy and can reflect the real operation of the pipe network. At the same time， it also avoids the problem of large error caused by the local optimal solution produced by genetic algorithm in the traditional optimized method. It also has a certain reference for the calibration of large pipe network model.

Key Words：genetic algorithms; calibration; calibration of water demand multipliers; underdetermined problem

0 引言

供水系統（WDS）作為城市基礎設施不可缺少的組成部分，每天都要容納大量的水量，以確保提供穩定用水。供水管網隨著人口增長而變得更加復雜，因此需要加強管理。在現有管網中確定管段流量和節點水頭是優化WDS的必要步驟，該任務可以通過使用傳感器等測量設備完成。然而，傳感器只能捕獲系統中某些節點位置的狀態。因此，如何利用有限個數的設備校核整個WDS模型需要作進一步研究。

WDS模型校核是指對節點需水量和管段粗糙系數取值進行調整，使模型預測節點水壓和管段流量的模擬數據與實測數據在一定誤差精度范圍內相匹配的過程。Ormsbee&Lingireddy很好地解決了管網校核問題[1]，其提出一個七步校準過程，包括：①模型預定用途確定;②模型參數確定;③校核數據收集;④模型結果評價;⑤模型宏觀校正;⑥敏感性分析;⑦模型微觀校正。

Savic等[2]對管網校核進行了完整的文獻綜述，管網校核可以作如下分類：狀態（瞬態/靜態）、計算方法（迭代/顯式/隱式）或優化方法（傳統/改進）。

針對管網節點流量校核，吳學偉等[3]將節點水壓作為已知參數對節點流量進行計算，但由于驗證的管網是實驗室的小型管網，因此對大型管網還需作進一步研究;王榮和[4]提出可以用遺傳算法校核模型的節點流量與管段粗糙系數;陳宇輝[5]研究了遺傳算法、模擬退火算法、自適應遺傳算法在求解目標函數時的應用效果;鄭飛飛等[6]提出一種基于非交叉抖動爬行突變的遺傳算法（CMBGA）校核管網，該算法沒有交叉操作，只有變異操作，并通過兩個案例得到驗證，因而相比傳統算法在結果上得到了很大改善，且需要調整的參數較少;劉佳明等[7]針對標準遺傳算法收斂速度慢，且容易陷入局部最優解的問題，對遺傳算法進行改進，提高了算法速度與精度;Yu等[8]提出一種基于貪婪算法的抽樣設計法校核水力模型，該方法以現有傳感器為基礎，在每個優化仿真步驟中依次添加一個新傳感器，從而盡可能使校核中的不確定性最小化，并取得了較好的效率和精度。

管網模型的不確定性是由多種因素引起的，如管道粗糙度、節點需水量或閥門狀態等。由于管道粗糙系數和節點需水量對管網不確定性的影響較大，因此其通常用于靜態校核。然而，粗糙度系數通常只在長期內變化。例如，Haddad等[9]考慮了該參數的年度變化。因此，節點需水量是短期內影響管網模型不確定性的主要參數（例如每小時、每天）。

在許多文獻中，研究人員采用不同方法對需水量估算進行研究，例如擴展卡爾曼濾波、跟蹤狀態校核和卡爾曼濾波、遺傳算法和粒子濾波。但這些模型是建立在給定框架基礎上的，在該框架中，測量位置是預先確定的，校準數量小于測量點數量。只有少數文獻直接討論了過欠定系統，如比例需求法與奇異值分解（SVD）法。

在以往研究中，當測量數量小于校核參數變量數量時，對供水系統節點需水量的校核是一個非線性欠定問題。通過QR分解、SVD、牛頓—拉夫森方法中的Moore-Penrose偽逆矩陣等局部線性化方法，可以得到問題局部解。但是由于解的不唯一性，計算結果不僅離實際解差距很遠，甚至在某些節點上會產生負值。顯然，如果測量設備數據被認為是唯一的已知輸入，那么尋找可靠的需水量校準方法仍然是水力研究人員面臨的挑戰。

鑒于此，本文提出一種校核欠定系統需水量乘數因子的方法，即測量數量小于需求參數變量數量。EPANET工具包用于求解管網方程組，遺傳算法（GAS）用于尋找已知測量輸入與其模擬值之間的最優解。將遺傳算法多次運行后的平均值作為校核后的最優解，通過對管網不同情景進行測試以對管網可靠性進行評估。此外，本研究還探討了使用Piller抽樣設計技術選擇最佳測量位置，以提高校準模型的精確性[10]，然后將該方法應用于實際案例研究，最后得出結論并給出相關建議。

1 GA校準模型

該模型將隱式技術應用于穩態水力模擬，將校核過程描述為一個優化問題。目標函數是使模型中模擬值與其相應實測值之間的差值最小化。決策變量是“決策變量”章節描述的節點需求乘數因子（DMFs）。

2 目標函數

本文采用最小二乘法求解目標函數，該方法是將測量位置上管道流量和節點水頭的測量值與模擬值之間的平方差之和最小化[11]。

[MinF=i=1nwHH0i-Hi2+j=1mwqQ0j-Qj2]? ? （1）

式中，n為水壓監測點數，i為第i個水壓監測點，wH、wq為水壓與流量值的權重系數，[H0i、Hi]為第i點的壓力監測值與模型值，[Q0j、Qj]為第j管道的流量監測值與模型值。

管道流量、節點水頭和節點需水量均與時間有關。然而，在短時間內，如30min或1h，可以被認為是恒定的，因此在公式（1）中沒有明確給出時間依賴符號。測量值是從現場測量設備中獲得的，或者可以通過運行諸如EPANET等水力模擬工具包生成這些值。加權因子wH、wq可以用監測值的平方倒數進行計算[12]。

3 決策變量

在WDS模型中，每個節點的需水量是通過將每個時間t上的基本需水量與其相應的DMF相乘進行計算的。

[Dk，t=D0，k×fk，t]? ? ? ? ? ? ?（2）

D0，k為第K節點基本需水量，使用季度/年度用水帳單信息，fk，t為第K節點在T時刻的需水量乘數因子。

優化問題的決策變量是在每個時刻節點需水量的需求乘數因子fk，t，其范圍如下：

[fminkfk，tfmaxk]? ? ? ? ? ? （3）

其中[fmink]必須大于零，[fmaxk]是根據峰值需求因素的典型值進行選擇的[13]，本文中[fmaxk]取1.5。

表1給出了一次求解6個需求乘數因子的GA（即染色體）案例。它們是從0～1.50的范圍內選取的，增量步長為0.02（值隨機產生）。每個需求乘數因子有一個浮點數編碼，從0～75不等。通過使用這些編碼信息，將遺傳算法產生的染色體解碼成一組需求乘數因子，并乘以基本需求得到的實際需水量，即可用于水力模擬過程。

表1 需求校核問題的GA染色體及解碼實例

4 校核精度要求

校核后的模型必須達到一定精度，模型精度是由實際測量值與模擬值差值進行衡量的。評價管網模型是否符合實際，國內和國際上都沒有出臺相應技術標準或行業標準。但是一些研究機構根據多年的科研和工程經驗，給出了相應建議值，僅供參考。英國水研究中心（WRC）校核標準包括以下幾部分[14]：

（1）流量監測點：當主干管流量大于總用水量的10%時，誤差取測量值的±5%;否則，誤差取測量值的±10%。

（2）壓力監測點：85%的監測點壓力偏差在±0.5m 或? ? ±5%的整個系統最大水頭損失;95%的監測點壓力偏差在 ±0.75m 或±7.5%的整個系統最大水頭損失;100%的監測點壓力偏差在±2m或±15%的整個系統最大水頭損失。

（3）分界線：模擬計算得到的管網壓力分界線應與實際情況相吻合。

（4）供水趨勢：模擬計算得到的供水趨勢應與實際情況相吻合。

（5）壓力分布：模擬計算得到的各節點水壓分布情況應與實際情況相吻合，計算得到的高壓區和低壓區等應與實際情況相吻合。

根據國內供水管網專家趙洪賓教授[15]提出的符合中國實際情況的管網水力模型校核精度建議值：①計算出的各水源出廠供水量、供水壓力與實測記錄相吻合;②計算出的各壓力監測點水壓與實測記錄吻合程度：100%監測點的壓力實測值與計算值之差≤±40 kPa，80%監測點的壓力實測值與計算值之差≤±20 kPa，50%監測點的壓力實測值與計算值之差≤±10 kPa;③對于管段流量占管網總供水量1%以上的管段，誤差<±5%，對于管段流量占管網總供水量0.5%以上的管段，誤差<±10%;④計算得到的各節點水壓分布情況應與實際情況相吻合，計算得到的低壓區應與實際情況相吻合。

5 GA過程與算子

本研究實現的遺傳算法校核是用MATLAB編寫的，該算法流程如圖2所示。隨機生成染色體的初始群體，并將其解碼為對應每個節點的DMF值，給管網每個節點分配DMF中的一個值，然后調用EPANET模擬管網的穩態水力學。通過計算目標函數，得到校核后測量點的管道流量和水頭（Qj，Hi），并與實際測量值進行比較。應用目標函數的逆（1/（F+1）表達式，以避免F為零時的不確定形式）定義GA每個成員的適應度函數。這是衡量每個成員質量的標準，用來決定每個成員的生存機會。

通過應用遺傳算法的選擇、交叉與變異，產生繼承前幾代特征的新一代，然后反復校核過程，直到達到標準后停止。

對于選擇算子，Goldberg &Deb [16]的一項研究建議使用錦標賽選擇算子，因為其具有更好的收斂性。此外，Goldberg還提出概率相對較高的兩點交叉算子（Pc=0.6～1.0）與突變概率為Pm≈1/編碼長度[17]的位變異算子，以提高GA模型性能。因此，在本文研究中將競賽選擇、兩點交叉、位變異等方法應用于遺傳算法模型校核。

圖1 需求乘數因子遺傳算法校核流程

6 測量地點選擇

校準模型的準確性不僅取決于現場測量數量，還取決于測量位置。Nhu&Angu等[18]使用遺傳算法對管網進行校核，發現在相同管網上如果測量點位置不同，得到的結果也有所不同。許多研究人員利用各種數學和統計方法研究了最優測量位置問題，例如Yu、Powell、Vítkovsk、Berry、Propato以及Krause等在校準模型中采用抽樣設計（SD）方法選擇測量地點。Piller使用SD方法將狀態向量估計中測量誤差的影響降到最低;Bush&Uber提出3種基于D-最優性準則的SD方法[19]：最大和法、加權和法和最大最小法，這3種方法都是以雅可比矩陣為基礎的;Kapelan等[20]發現在SD模型中使用遺傳算法可以得到最優的壓力測量位置，其中第一個模型被描述為一個單目標，第二個模型被描述為一個多目標優化問題。

在本文中，Pliier提出的基于貪婪算法的SD方法被運用于校核需水量乘數因子模型中，用于尋找最佳測量位置。測量位置對校核結果的影響通過評價遺傳算法模型收斂性確定。

7 SD方法

管網中的水力穩態能夠解決節點連續性方程與管道能量方程的非線性問題，節點水頭和管道流量敏感度對節點需水量的影響可表示為：

[AT？q？θ+GD=0ns，ndD？q？θ-A？h？θ=0np，nd]? ? ?（4）

其中，A、AT為未知節點水頭的影響矩陣及其轉置矩陣，其能反映出節點及管道情況;q、h為管道流量與節點水頭向量;GD為分配后的節點需求矩陣。在本文中，節點需水量的聚合不用考慮。因此，GD為節點基本需水量的對角矩陣，D為管道信息的對角矩陣，其中對角元素是各管道水頭損失方程的導數，公式（4）的結果是管道流量和節點水壓與節點需水量相關的雅克比矩陣。

[？q？θ=-D-1AATD-1A-1GD？h？θ=-ATD-1A-1GD]? （5）

由于未知需求參數f0需要估計，Piller提出的基于貪婪算法的SD方法能使測量誤差對狀態向量估計的影響最小化，并迭代地選擇測量位置（S矩陣）。測量位置的選擇矩陣S已被確定，因此ST0矩陣是滿秩矩陣，而且其偽逆矩陣[（ST0）*∞]的值中具有最小值。矩陣T0=E1J0E2表示雅克比矩陣的平衡矩陣，在公式中E1表示左乘對角矩陣以表示節點與管道測量精度，E2表示右乘與參數變量變化對應的矩陣，J0= J（yf0）表示公式（5）中在f0處計算的雅克比矩陣。本文中由于只有需水量參數需要校核，因此E1 表示單位矩陣，即所有測量都具有相同精度，E2如公式（6）所示。

[E2=diag（f0）]? ? ? ? ? （6）

當節點或管道被選擇作為測量位置時，其值為1，否則為0，文獻[7]中對該方法進行了詳細解釋。

8 案例

用該案例測試上述方法在更大管網中的性能，該管網水力模型由EPANET提供，包括26個管道、27個節點、2個儲水池及3個泵站。假設管網中最多可安裝3種測量設備，此外假定泵的流量已知，管網如圖4所示。

圖2 案例管網

基于貪婪算法的測量位置選擇模型發現，對于這種管網，管道中的管道流量比節點水頭更加敏感，則在管道5、12和22處設置3個流量測量點，如圖1所示。該遺傳算法的校核模型具有以下特點：①決策變量為22個，對應于管網的22個需求乘數因子;②決策變量選擇范圍為0～1.5;③選取群體大小N = 500、交叉概率Pc = 0.8、變異概率Pm = 0.0 4和代數大小N = 1 000作為遺傳算法參數;④為評價決策變量增量的影響，分別考察了[Δθ]=0.000 5、0.005、0.02和0.1的不同增量。

在Intel Corei5（2.9GHz）的計算機上運行100次GA模型，總運行時間約為16.3h，每一次運行約10min。表2總結了不同增長步長對模型的影響。對于決策變量4個不同的增長步長，誤差大致相等。由此也可得出一個結論，即遺傳算法校核模型對決策變量增長步長不敏感。

表2 不同增長步長引起的誤差

圖3-圖5給出了在決策變量增長步長為0.02時的結果，分別為節點水頭、節點需水量、管道流量。圖的下部表示水壓、需水量、流量真實值和模擬值，圖的上部表示真實值與模擬值誤差，另外圖中部分節點編號被省略。

圖3 平均校準需水量（運行GA? ? ?圖4 平均校準節點水壓（運行GA100次）與管網實際需水量比較? ? ? ? ?100次）與管網實際水壓比較

將節點需水量分成3組，分別為：0～30L/s、30L/s～60L/s、60L/s以上。圖3顯示出：在需水量較小的第一組中，校核后的誤差很大，為0.67%～61.33%;在第二組中，誤差為14.33%～38.89%;第三組中，誤差為0.53%～9.69%。

如圖4所示，實際水頭大的誤差反而小，校核前后各節點水頭誤差均小于2.5%。其中在節點15處的實際水頭為44.66，校核后的水頭為45.69，誤差為2.31%。在節點2處的實際水頭為115.84，校核后的水頭為116.83，誤差為0.85%，平均誤差為1.78。

相應地，由圖5可以看出，校核后高流量的管段誤差比低流量的誤差小，最大誤差出現在編號為24的管道，實際流量為8L/s，校核流量為10.4%，對應誤差為30%。管網中管道流量校核后的平均誤差為4.05%。其中管段5、12、22為測量點（已知）。

圖5 平均校準管道流量（運行GA 100次）與管網實際流量比較

一般通過比較監測點的實測值與模型計算值是否吻合衡量模型校核準確度。由圖4、圖5可以看出，管道流量和節點水頭誤差均滿足誤差要求，與實測值較吻合，說明校核后節點的需求乘數因子更符合實際情況。

9 結語

傳統遺傳算法校核節點需求量會出現局部最優解，從而導致模擬值與實際值出現較大偏差，而且由于該傳統方法是假定節點需求乘數因子一致，從而導致校核結果不能反映實際情況。為解決上述問題，本文提出用遺傳算法校核需求乘數因子，將遺傳算法運行多次并取平均值作為校核結果，避免了單次運行出現局部最優解而影響結果，并通過校核需求乘數因子使管網中的節點情況更接近真實情況，使得校核結果更加真實可靠。

本方法雖在案例中取得了較好效果，為了更好地加以運用，未來研究工作還需要尋找更先進的方法校核節點需水量，并減少計算時間。此外，由于測量數據中存在誤差而導致校核模型不準確的問題也需要重視。最后，解決管網漏損問題對于校核結果的可靠性也十分重要。

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