安培力與洛倫茲力的非完全等效關系

龔渝涵

摘 要：分析了洛倫茲力和安培力的量化關系，在此基礎上對力的產生機理進行了分析；就安培力與洛倫茲力的相互關系，從功能關系與參考系兩方面進行討論，通過宏觀角度與微觀角度結合，從而得出對于在磁場中運動的通電物體，其中粒子所受洛倫茲力的合力與物體所受的安培力雖然在數量上相當，由于產生機理不完全一致，兩種力不完全等效的結論。

關鍵詞：安培力；洛倫茲力；功；功能關系；參考系

通電導體在磁場中運動，宏觀上受到了安培力，探究其產生原理，則需要考慮導體中呈整體運動的電子受到磁場的作用而形成的合力，這種合力并不直接作用于導體本身，而是作用在微觀態的單個電子上，因而并不是安培力的直接來源，在電子整體定向運動之前，更加無法描述其整體的合力究竟是朝向哪個方向。有必要對安培力和洛倫茲力做出必要的分析，并且從受力的物理意義上進行區分。

文獻[1]～[10]對認識兩種力做出了多角度的解釋，主要從力的機理給出了說明，但沒有在力與機理之間的聯系做出解釋。

本文從功能關系和參考系轉換兩個角度，通過討論對同一模型的幾種不同的維度的思考，從而分析安培力與洛倫茲力的關系，先從數量上進行推導，說明兩種力之間存在的某種聯系，進而通過分析受力對象等因素，從而得到安培力與洛倫茲力不完全等效的結論。

我們知道安培力是通電導體或者電流在磁場中受到的力，而洛倫茲力是運動電荷在磁場中受到的力，且單位時間內通過導體任意截面的電量叫做電流。當導體置于磁場中且不通電時，電子無序運動，單個電子受洛倫茲力，但不存在對導體整體的安培力，從能量的角度來看，由于外部沒有電能輸入，對導體而言也沒有動能和勢能的增加，整個系統是能量守恒的，對電子而言，受洛倫茲力在任何時刻都與運動方向垂直，因此也處處不做功。

當導體置于磁場中且通電時，電子有序定向運動，為了方便分析洛倫茲力與安培力的大小關系，現考慮以下模型：以金屬通電導體中的電子為例，假設一根長為L，橫截面積為S的通電金屬直導體在磁場強度為B的勻強磁場中運動，其中單位體積有n個自由電子。

所以得出對于同一金屬通電導體其所受的安培力在數值上等于其中電子所受的洛倫茲力的總和。以上的推導過程從力的大小上給出了一種解釋，即洛倫茲力確實存在某種和安培力的相關關系，這正反應了安培力是洛倫茲力的宏觀表現。但還不能說明兩者可以直接等價。

該結論看起來似乎是正確的，但仔細分析，就會發現有以下矛盾：其一，安培力的效果是改變或維持導體的運動狀態，而洛倫茲力的效果是為粒子做勻速圓周運動提供向心力。其二，安培力做功，而洛倫茲力不做功。綜上所述，可以認為安培力不是洛倫茲力的宏觀表現。既不符合力的矢量性原則，也不符合功的基本原理，即二者雖然數量上相關，但機理上則有所不同，現從不同角度分析安培力與洛倫茲力的關系。

1 從功能關系的角度分析

當導體靜止時，安培力垂直于電流與磁場，且電流方向是導體內電子運動方向的反方向，對單個電子進行分析，由左手定則可知，此時洛倫茲力的方向也與電流和磁場垂直，所以導體中所有粒子所受洛倫茲力矢量和的方向與安培力方向相同。且物體靜止時，無論經過多久，安培力與洛倫茲力均不做功。且這時物體中所有運動的電子均受洛倫茲力，所以可將洛倫茲力的總和的作用對象視為該導體。在此情況下導體中所有粒子所受的洛倫茲力的矢量和與安培力大小相等，方向相同，作用對象相同，因此此時安培力就是導體中所有粒子所受洛倫茲力的矢量和。綜上所述當導體靜止時，其所受安培力就是其所受洛倫茲力的宏觀表現。當導體非靜止時，安培力的效果是在通電導體在磁場中運動時提供一定加速度，方向不與速度方向垂直，會改變物體的動量，會對物體做功，使物體的動能改變，而無論在什么情況下洛倫茲力始終與粒子運動方向垂直，即洛倫茲力不對物體做功。

且通電導體在磁場中運動的時候，電子相對于磁場的速度是電子在導體中運動的速度和導體相對于磁場運動的速度的合速度。由此可見，安培力的速度方向是垂直導體的，而洛倫茲力的方向是與電子相對于磁場的速度方向垂直的。力是矢量，其方向不同，所以力不相同，因此我們可以得到在導體運動時導體受到的安培力與導體中粒子所受洛倫茲力的矢量和，并不是完全等效的。

從功能關系的角度，我們可以得出結論，在導體靜止時，一個通電導體所受安培力是其中粒子所受洛倫茲力的宏觀表現；在導體運動時，一個通電導體所受安培力與其中全部粒子所受的洛倫茲力不完全等效。

2 從參考系的角度分析

安培力為什么會在導體運動時，不再是洛倫茲力的宏觀表現。對此現象的一種解釋如下：當導體不再靜止的時候，此時電子所受洛倫茲力不與安培力垂直，所以此時電子會受到一個平衡洛倫茲力在導體方向上的分力使其相對于導體做勻速運動，且電子在導體中時，因受到了導體對它的束縛，其所受的洛倫茲力并不能使電子做勻速圓周運動，所以此時洛倫茲力和電子所受的束縛力的合力就體現為使電子在導體運動的方向上的分運動與導體運動狀態相同。即此時安培力就是電子所受的所有力的矢量和的宏觀表現。即安培力確實與電子受到的洛倫茲力有關，從力的大小而言也能夠相當，但洛倫茲力并沒有直接矢量合成為安培力，這就形成了力的大小相等，力的來源不同的看似矛盾的物理現象。

3 結論

分析了洛倫茲力和安培力的量化關系，在此基礎上對力的產生機理進行了分析；就安培力與洛倫茲力的相互關系，從功能關系與參考系兩方面進行討論，通過宏觀角度與微觀角度結合，從而得出對于在磁場中運動的通電物體，其中粒子所受洛倫茲力的合力與物體所受的安培力雖然在數量上相當，由于產生機理不完全一致，兩種力不完全等效的結論。通過上文的分析得出安培力與洛倫茲力的關系如下：①在導體靜止時，安培力與其中電子所受洛倫茲力的矢量和等效，即安培力在此情況下，是洛倫茲力的宏觀表現；②在導體運動時，若以磁場為參考系，此時安培力不是洛倫茲力的宏觀表現；若以導體為參考系，此時安培力是洛倫茲力在垂直導體方向上的分力的宏觀表現。

安培力與洛倫茲力相等在物理過程上是有條件的，即在回路中通電，導體內的電荷定向運動，此時兩種力的量度相等。

電流相對磁場的運動，根據矢量合成的原則，是由電流相對導體的運動，加上導體對觀察者參考系的相對運動而合成，則電流相對參考系的方向和導體所在直線的方向不同，因此安培力可以形成與導體運動方向的某個運動夾角，則安培力所做的功是力與運動方向的乘積的某個分量。

以上的各個關系是一個整體，能夠解釋洛倫茲力與安培力的相關關系。

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