基于度量角度整體把握數的運算教學

董文彬

摘? ?要：文章嘗試跳出教材的編排順序，將小學數學中的運算、度量兩大核心內容聯系起來，在厘清認識的前提下，基于對“單位”的認識，系統論述了小學階段數學學習中如何從度量的角度整體把握數的運算教學，闡明度量的基本思想在數的運算教學中的價值體現，以及對實際教學的思考與啟示，以期能夠從整體上理解數學課程理念、掌握數學課程目標、認識數學課程內容、設計教學內容主線，最終幫助教師從整體上把握小學數學課程教學。

關鍵詞：度量;數的運算;單位運作;整體把握;教學研究

中圖分類號：G623.5? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1671-0568（2019）22-0014-04

在小學數學課程中，有些學習內容因為承載著數學中永恒不變的核心本質思想而一直備受關注，比如運算、度量等。但長期以來，不少教師因為慣性的思維認知將這些核心內容的教學割裂開來，認為運算就是運算，更多的是“數與代數”領域的內容，度量就是度量，更多的是“圖形與幾何”領域的內容。其實，這些看似“天各一方”的核心內容之間是有天然聯系的，有時我們要跳出教材的編排順序，跳出教與學的方式，去思考這些核心內容之間存在的本質聯系，打通這些相通的必然的聯系，才能從整體上理解數學課程理念、掌握數學課程目標、認識數學課程內容、設計教學內容主線，最終從整體上把握小學數學課程教學。

一、厘清認識

在從度量的視角整體審視運算教學的前期，我們主要思考以下兩個問題：

1. 什么是度量？一提到“度量”，我們立刻會想到有關它的很多核心本質與永恒不變的東西，如兩個核心要素（度量單位、單位的個數即度量值）、三條基本性質（運動不變性、合同性、有限可加性）、度量的本質是比，等等。度量總體上分為可直接度量和不可直接度量兩部分，可直接度量包含工具度量、公式度量和轉化度量。貨幣單位、質量單位、時間單位、長度單位、面積單位和體積單位等這些基本的度量單位的認識和建立可通過工具度量，角度、周長、面積和體積等這些度量值的獲取可通過公式計算來度量，這是度量教學的核心部分，多集中在“圖形與幾何”“數與代數”兩個領域內（主要在前者）。有一些度量則不能通過工具或公式計算獲取，而需把不規則的物體轉化為規則的物體來度量，如用“水測法”度量一個土豆的體積，在等量替換中保證兩個量的守恒，這樣的度量我們可稱之為轉化度量，因一般通過實驗進行，暫可納入“綜合與實踐”領域。而有一些量是不可直接度量的，需要通過兩個可以直接度量的量的比值來間接運作刻畫，比如速度可通過路程與時間的比值來刻畫，密度可通過質量與體積的比值來刻畫等。

2. 度量與運算教學共通的核心主線是什么？吳正憲老師說過，小學數學中關于“單位”這件事無論怎么重視都不為過。度量內容的教學深刻體現了這一點，度量教學的核心是讓學生經歷單位的產生和發展過程、單位的累加過程（數出度量單位的個數），建立和形成單位的觀念，積累度量的學習活動經驗。而在數與運算教學中，建立計數單位的概念，感悟數及數的運算就是單位個數的運作變換過程（累加或遞減）是教學的關鍵。由此可見，無論是度量教學還是運算教學，其核心的東西都是“單位”，其本質都是“單位的運作和轉換”，度量中的實際量（包含生活中的量、物理量、幾何量）的單位，運算中的計數單位，“單位”成為核心詞貫穿于這兩大核心內容教學的主線。如此，我們能否從度量的角度來幫助學生認識數與運算呢？能否從度量方面幫助學生體會“單位化”的思想，進一步理解數的運算的核心本質呢？

二、度量的基本思想在數的運算教學中的價值體現

數的運算主要是指加、減、乘、除四個維度的數學運算，同時又可劃分為整數、小數和分數三種不同數類的運算。那么，度量的思想在數的運算中是如何體現的呢？

1. 從度量的角度認識加減法。

（1）整數加減法運算。如“8+6”，如圖1所示，在這條簡單的數尺上，數與格（點）一一對應，往右表示累加，得到“8+6”唯一結果的操作就是基于這種“一一對應”，數出計數單位的過程，從8開始，以“1”為單位，連續累加6次，就得到14這個結果。這個運算的過程就是度量單位（計數單位）累加的過程。同樣，運算“8+6”，如圖2，10格為1檔，從8開始，以“1”為單位，先累加2次到“10”，遇“10”停頓，再累加4次，進入下一檔，孕伏“滿十進一”，產生新的度量單位（計數單位）“十”。

照此，借助于數軸并沿著數軸往右，可以1個1個地數，也可以10個10個地數，還可以100個100個地數……在這樣不斷地以計數單位累加中，就會產生“一”“十”“百”……更大的新的計數單位，在度量單位的不斷累加運算中，方便和滿足了數量級擴展后大數加減法的開展。

因為減法與加法是互為逆運算的關系，因此從度量的角度認識減法就不難理解。如“239-118”，如圖3所示，在這條數線上，往左表示“遞減”，從239開始，先以“百”為單位遞減1次，再以“十”為單位遞減1次，再以“一”為單位遞減8次，即得到“239-118”的結果（度量值）121。在運算的過程中，先減幾個百，再減幾個十、幾個一，這正是一種度量思想的體現，從計數單位運作變換的角度幫助學生直觀理解數的內部結構，進而理解運算的意義。

（2）小數加減法運算。由于小數和整數運算的核心本質是天然相通的，都是十進位值制，因此，從度量的角度理解小數加減法運算順理成章。

從圖4不難看出，無論是元角分單位、方格紙直觀模型，還是豎式的不同運算表征方式，其運算的本質都是相同計數單位（度量單位）的累加或遞減（數出度量單位的個數）的運作過程，只不過從整數到小數，度量單位、數量級向微觀擴充。這也說明，從度量的角度去認識和理解加減法，小數加減法與整數加減法是一脈相承的。

（3）分數加減法運算。分數加減法的意義同整數、小數加減法的意義是一樣的，分數加減法、特別是同分母分數加減法的運算也是相同度量單位（分數單位）的累加或減少，即相同度量單位的運作，這里不再贅述，但異分母分數加減法需要特殊說明。

異分母分數加減法是小學數學中加減法運算的高級階段，它與整數、小數加減法運算有異也有同。“同”體現在：只有度量單位（計數單位或分數單位）相同后，度量單位的個數才能運作（累加或減少）;“異”體現在：整數、小數因十進位值制都有明確的度量單位，而對于兩個異分母分數來說，它們的度量單位取決于它們各自的分母，它們在進行加減法運算時首先需要一個對二者來說都能獲取度量值的一個新的度量單位，即新的分數單位的產生。因此，通分的目的也就非常明確了，實際上就是在尋找一個新的分數單位，這個新的單位就像一把通用的“尺子”，以此為“標準”來度量兩個異分母分數，把度量的結果進行運作（累加或減少），就是兩個異分母分數的和或差。

2. 從度量的角度認識乘除法。

（1）整數乘除法。如圖5，這是乘法中“幾個幾”意義的運算內容。結合數尺模型與算式表征，解決“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4個3是多少”。其中的4表示跳了幾次，3表示每次跳幾個，可以看作是以“3”為單位，度量了4次的結果。

如圖6，這是除法中“包含除”意義的運算內容。解決“20元可以買幾輛玩具車”就是求“20里面有幾個5”。其運算的過程，即在數線上以20作為起點，按照一定的“步伐”回到原點的過程。這個過程可看作以“5”為單位去度量數20，正好度量數了4次。說到底，其本質還是對度量單位的運作，即對計數單位的處理。

（2）小數乘除法。小數乘法運算包括小數乘整數和小數乘小數。例如，運算“0.2×4”，以“0.2”為單位（圖7中2個小條）去度量并數出4次，0.2連續累加4次，算式表征為0.2×4=0.2+0.2+0.2+0.2，即獲得運算的結果0.8。同樣借助方格紙運算0.02×4，可以“0.02”為單位（圖8中2個小塊）去度量并數出4次，0.02連續累加4次，算式表征為0.02×4=0.02+0.02+0.02+0.02，即獲得運算的結果0.08。

由此可見，小數乘整數的運算其本質還是小數計數單位的累加，即度量單位的運作。而小數乘小數的運算遇到了與前述異分母分數加減法類似的問題，即尋找新的度量標準，產生新的計數單位。如運算“0.3×0.2”，顯然用0.1作單位去度量已行不通，這就需要尋找一個新的度量單位，而這個單位是相對隱性化的，可借助于操作方格紙直觀模型來實現。如圖9所示，在方格紙上分一分，畫一畫，先表示出0.3，即把“1”平均分成10份，取其中3份，0.2×0.3就是0.3的2/10，即把0.3再平均分成10份，取其中的2份。這時，新的計數單位0.01就產生了，用這個新的計數單位0.01作為標準去度量運算的結果，需要數6次，算式表征為0.01×6=0.06。由此可見，從度量的角度看，小數乘小數的運算核心，即新的更小的度量單位的產生、數度量單位的個數。說到底，度量單位的轉換與運作依然是小數乘小數運算的本質。

如何從度量的角度理解小數除法的運算呢？如“買3袋牛奶花了10.2元，每袋牛奶多少元？”如圖10，借助人民幣實物模型先表示出10.2，然后動手分，邊分邊用式子記錄分的過程。在分的過程中會遇到問題：先分完9個1元，剩下1個1元和2角沒法直接平均分成3份怎么辦？所以把“元”轉化成“角”之后再分（1元=10角，10角+2角=12角，12÷3=4角），最后獲得運算結果（3元+4角=3.4元）。同樣，如圖11，借助方格紙模型表示出10.2，先分完9個1（9÷3=3），剩下1個1和2個0.1沒法直接平均分成3份，所以把“1”轉化成“0.1”之后再分（1=10個0.1，10個0.1+2個0.1=12個0.1，“12個0.1”÷3=4個0.1），最后獲得運算結果（3+4個0.1=3.4）。

通過以上兩個過程，從實物模型走向直觀模型，從“計量”走向“計數”，體會小數除法與整數除法在算理方面的內在本質聯系，即都是轉化平均分計數單位的過程，當高一級的單位不夠分時，需轉化為低一級的計數單位繼續分，最終獲得運算結果。不難看出，小數除法的本質從度量的角度看，是計數單位的“逐級細分”過程，即新的更小的度量單位的產生，數度量單位的個數，即平均分的份數——除數。

（3）分數乘除法。分數乘法包括分數乘整數和分數乘分數，分數乘整數的運算與小數乘小數的運算意義相同，本質相通，只不過這里的度量單位由計數單位變成了分數單位。同樣，分數乘分數的運算核心也是尋找新的度量單位（新的分數單位）的產生，這里均不再贅述。

三、從度量的角度整體把握數的運算教學的意義

1. 從度量到運算，對數學核心思想承襲的深度重視。從度量到運算，“單位”與“單位的個數即度量值”是貫穿兩大內容共通的核心要素和教學主線。可以說，雖然領域不同，但運算教學是對度量教學中“度量思想”的深度承襲。從度量的角度認識數與運算，不僅是對數與運算意義本質的深度認知與理解，更是對度量思想的深度再認識。從度量的角度認識數與運算，就要緊緊抓住“單位”這個核心知識，形成“牽一發而動全身”的效果，才能從整體上把握數學學科中最本質的知識和問題，把握小學數學課程核心內容的教學。

2. 從抽象到直觀，對幾何直觀模型選用的不可或缺。在數與運算教學中，建立計數單位的概念，感悟數及數的運算就是單位個數的運作變換過程（累加或遞減）是教學的關鍵。而“計數單位”的數學概念是抽象的，“單位個數的運作”的數學過程更是抽象的，我們需要幫助學生找到適合的理解方式，變抽象為直觀。因此，從度量的角度整體把握數與運算的教學，自始至終離不開幾何直觀模型的支撐。小棒、計數器、小方塊、數線（數尺、數軸）、方格紙、點子圖等都是小學階段重要的幾何直觀模型，它們能將抽象的數與運算變得簡明、直觀、可操作，但在實際教學中需適時、適當選用。

3. 從計量走向計數，對數與運算意義的本質回歸。從度量的角度認識數與運算是深度學習的一種價值體現，其本質既是對計數單位、數位、十進位值制、整數、小數、分數等核心概念的認識，又是對加、減、乘、除四則運算意義的豐富認識與理解，而計數單位（分數中有分數單位）、十進位值制等核心概念恰恰是理解數與運算意義及算理最核心的內容，而從度量的角度去認識數與運算正是對數與運算意義的本質回歸。在實際教學中，因數與運算的概念的高度抽象性，所以除了幾何直觀模型的必要支撐外，還應幫助學生在解決簡單的實際問題中從計量走向計數，讓他們更深層次地從度量的角度認識和理解數與運算的學習。