絕對值的“奧秘”

文 俞琴賢

“絕對值”是初中數(shù)學(xué)中的一個重要概念，是比較有理數(shù)大小和進行有理數(shù)運算的基礎(chǔ)。求絕對值是解與絕對值相關(guān)問題的關(guān)鍵，也是大多數(shù)同學(xué)的學(xué)習(xí)難點。求絕對值的“秘訣”有哪些呢？我們一起來了解。

一、直接求絕對值

例 1已知 3＜x＜5，化簡代數(shù)式

【解析】結(jié)合已知條件，先判斷每一個絕對值符號里的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)或0，再根據(jù)求一個數(shù)的絕對值的方法去掉絕對值符號。

解：因為當(dāng)3＜x＜5時，x-3＞0，x-5＜0，所以︱x-3︱+︱x-5︱=（x-3）-（x-5）=2。

二、分類討論求絕對值

當(dāng)已知條件中，無法判斷絕對值符號里式子的正負(fù)性時，要用分類討論。

1.絕對值中涉及多個字母時，要考慮各個字母取值的所有情形。

例2求式子的值。

【解析】根據(jù)a、b符號的所有可能情況，去掉絕對值符號是解答本題的關(guān)鍵。

解：由題意知，a≠0，b≠0，所以分4種情況討論：

（1）當(dāng)a＞0，b＞0時，原式=1+1+1=3；（2）當(dāng)a＞0，b＜0時，原式=1-1-1=-1；（3）當(dāng)a＜0，b＞0時，原式=-1+1-1=-1；（4）當(dāng)a＜0，b＜0時，原式=-1-1+1=-1。

綜上：原式的值為3或-1。

2.某個字母與多個絕對值相關(guān)時，要用“零點分段”討論法。

“零點”是指使式子等于0的未知數(shù)的值。如代數(shù)式|x-4|的零點就是方程x-4=0的解，即x=4。一般來說，一個題目中有幾個不相同的絕對值，就有幾個式子，對應(yīng)就有幾個零點，如代數(shù)式|中有兩個不同的絕對值，對應(yīng)有兩個零點，即x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

“分段”是指將題目中所求出的所有零點在數(shù)軸上標(biāo)出，將數(shù)軸分成若干小段。如有兩個零點時，在數(shù)軸上標(biāo)出后，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)軸被這兩個點分成了3段。一般來說，有n個不相同的零點，就把數(shù)軸分成（n+1）段。

例3化簡代數(shù)式

【解析】第一步：由題意得原式的零點為x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

第二步：將求得的所有零點在數(shù)軸上標(biāo)出來，如圖1所示，數(shù)軸被分成3段：

（1）x＜-2；（2）-2≤x≤4；（3）x＞4。

圖1

第三步：在分出的每一段線段內(nèi)，討論絕對值符號里式子的正負(fù)性，然后去掉絕對值符號，求出絕對值。

解：（1）當(dāng)x＜-2時，原式=-（x+2）-（x-4）=-2x+2；（2）當(dāng)-2≤x≤4時，原式=（x+2）-（x-4）=6；（3）當(dāng)x＞4時，原式=（x+2）+（x-4）=2x-2。

三、巧用絕對值的幾何意義求絕對值

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，在解絕對值相關(guān)問題時，同學(xué)們可借助數(shù)軸，利用絕對值的幾何意義巧解絕對值。解題時要做到“腦中有圖，心中有數(shù)，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢互補”。

例4閱讀下列材料：

|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點之間的距離。則|a-b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)b的點之間的距離。例如，的幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)1的點之間的距離；|a+2|的幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)-2的點之間的距離。

請利用絕對值的幾何意義求：

【解析】如圖2表示數(shù)軸上x到-2的距離與x到5的距離之和。當(dāng)-2≤x≤5時，表示數(shù)軸上-2到5之間的距離，該距離為7。

圖2

變式1求代數(shù)式的最小值。

【解析】如圖2，當(dāng)-2≤x≤5時，|x+2+|；如圖3，當(dāng)x＜-2時7；如圖4，當(dāng)x＞5時所以的最小值為7。

圖3

圖4

變式2請你嘗試解決以下問題：

【解析】利用絕對值的幾何意義，探究奇數(shù)個絕對值的和與偶數(shù)個絕對值的和的最小值規(guī)律。

參考答案：2；4；1019090。

變式3（1）若||x=3，求x的值。

【解析】同樣利用絕對值的幾何意義解答。

參考答案：3或-3；5或-3；-3或4。