非連續屏障對Rayleigh波寬頻散射三維快速邊界元模擬

劉中憲， 符瞻遠， 苗 雨， 王治坤， 李昌俊

(1. 天津城建大學 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室， 天津 300384；2. 華中科技大學 土木與力學學院， 武漢 430074; 3. 天津市地震工程研究所， 天津 300384)

近年來，隨著城市基礎設施建設快速發展，公路交通、建筑施工、工業和爆破等活動帶來的振動、噪聲等問題越發引起公眾關注。實際工程中常采用連續屏障或非連續屏障進行隔振設計。非連續屏障相對施工方便，造價低，隔振效果好。目前，國內外對 非連續屏障隔振效果的計算分析多采用二維模型[1-4]，而三維隔振方面的研究還相對較少。三維模擬方面：張富有等[5-7]采用有限元法模擬了三維群樁隔震效應，并進行了實測數據驗證。Kattis等[8]采用頻域邊界元法計算了單排圓形和方形樁屏障的三維隔振問題；Tsai等[9]研究了單排混凝土實心樁等對豎向簡諧振動荷載的隔振效果；高廣運等[10]采用邊界元法分析了成層地基中排樁隔振效果；陸建飛等[11]采用波數域邊界元方法研究了低頻下聯結式排樁的隔振效果；徐滿清[12]根據虛擬樁法求解了飽和土體中雙排樁對交通荷載的隔振問題。谷音等[13]通過考慮場地條件的不同、軟夾層位置的改變、不同頻率Rayleigh波的輸入以及樁長對Rayleigh 波傳播與場地地震反應的影響。不同數值方法中，相比域離散型方法，邊界元法 (Boundary Element Method, BEM) 具有降低問題求解維數、無高頻頻散、自動滿足無限遠輻射條件等優勢，因此比較適合地基振動隔振問題三維計算分析。

需注意的是，對于高頻波入射下三維群樁隔振模擬，單元離散數和計算自由度將急劇增加，而傳統IBEM(Indirect Boundary Element Method)邊界方程稠密矩陣特性嚴重影響了其對大規模高頻問題的求解效率。文獻[14]根據高階泰勒展開，采用FMM-IBEM(Fast Multipole IBEM)求解了全空間三維孔洞周圍彈性波的散射問題，發現該方法可大幅度降低計算量和存儲量，但對基本解的泰勒展開僅適用于低頻問題。因此本文嘗試結合平面波展開，首次將FMM-IBEM方法拓展到三維群樁寬頻隔振問題求解，進而分析單排樁凈距、排樁樁長、場地波速、排樁排數以及多排樁之間的凈距等因素對隔振效果的影響規律，為實際工程群樁隔振設計提供部分理論依據。

1 計算模型

如圖1所示，彈性半空間土體中埋置單排或多排群樁，假設土體和群樁的介質均為彈性、均勻和各向同性，考慮有振源激發的Rayleigh波從左側入射。土體介質中，設剪切模量、密度、泊松比分別為μ1、ρ1和ν1。樁體中相應介質材料參數為μ2、ρ2和ν2。

(a) 剖面圖

(b) 平面圖

2 間接邊界元法(IBEM)

以半空間單排樁對Rayleigh波的散射為例，簡要介紹傳統間接邊界元法的計算原理與步驟。計算模型如圖 1所示。穩態波傳播的運動方程可表示為

(1)

σij=2μεij+λeδij

(2)

式中：i、j=1,2,3 分別對應于x、y、z方向(下文同)；σij為彈性介質中應力分量；εij為應變分量；e為體積應變；δij為Kronecker常數。

由單層位勢理論，三維空間域內的散射波場位移和牽引力可以表達為某連續面S上的積分

(3)

(4)

式中：φj(y)為邊界單元上施加的虛擬均布荷載密度；非積分項cφj(ξ)為對ξ趨于x時積分奇異性的特殊處理；取c=±0.5，符號由法向量方向而定，下面定義球面波位勢函數

(5)

為簡化書寫，上式中時間因子eiωt已略去(下文同)。其中q為縱波或剪切波波數；r=|x-y|，x和y分別為場點和源點。則全空間中簡諧集中荷載產生的位移與牽引力格林函數可表達為

Gij(x,y)=

(6)

(7)

式中：ni為場點x處邊界單元單位法向量與i軸正方向夾角余弦。

在半空間域

(8)

在群樁內部

(9)

(10)

(11)

根據式(3)，散射波場的位移為

(12)

(13)

問題邊界條件為：樁頂面S2與半空間地表面S1應力為零，樁體-土交界面S0牽引力和位移連續。

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(4)代入式(14)和式(15)可得：

0，x∈S2

(18)

(19)

將式(16)和式(17)代入式(12)和式(13)可得

(20)

(21)

求解問題時需要離散群樁表面和自由地表面，并在每個單元上施加虛擬均布荷載，單元上覆蓋的斜面圓盤中心位置為xm，虛擬荷載中心設為yn。設群樁外部半空間地表、群樁上表面的總單元數分別為N1和N2，群樁與半空間交界面上的單元數為N0，則式(18)～式(21)可分別離散為

(22)

(23)

(24)

(25)

當樁的數量較多時，采用常規的高斯消元法，方程組求解運算量和存儲量都是巨大的。下面考慮結合廣義極小余量法(Generalized Minimal Residual Method, GMRES) 及快速多極子展開技術，突破常規邊界元法求解大規模問題計算瓶頸。

3 快速多極子間接邊界元法原理

在常規 IBEM 中，即使采用 GMRES 迭代法求解，其計算量仍達到O(N2)，使得算法難以處理大規模問題。快速多極子邊界元法(FMM-IBEM)以樹結構結構取代常規 IBEM 非稀疏滿陣矩陣，從而大大提高了計算效率。

根據平面波展開理論[16]，核函數多極展開為

(26)

(27)

(28)

(29)

多極展開和多極傳遞：從源點y開始，將源點的信息傳遞到葉子細胞上，稱之為多極展開。核函數多極展開截斷數p根據經驗公式[17]得到

p=kD+c0log(kD+π)

(30)

式中，D為樹結構中正方體外接圓直徑，c0為精度控制參數。

如果展開點從點y0移動到附近新的一點yc，則可以通過由子細胞到父細胞的多極傳遞M2M轉換得到源點矩M=(y,yc)為

(31)

上式即為多極展開系數傳遞式。進而可從葉子細胞開始，逐層上行計算得到上層各結點的多極展開系數。

多極向局部傳遞、局部傳遞等可參考文獻[18]中相應步驟。

4 計算效率與內存需求

為了驗證本文方法的計算效率和內存需求，圖2給出了Rayleigh波入射下，考慮算例離散點數變化，FMM-IBEM與常規IBEM兩種方法在計算量和存儲量方面的差異對比情況。首先對土體中波場頻率進行無量綱化處理：ηR=ωb/2πcr，b為樁體邊長。

(a) CPU運行時間對比

(b) 內存需求對比

通過以上對比可以看出：隨自由度增大，傳統IBEM計算時間呈O(N3)增長，存儲量呈O(N2)增長，而FM-IBEM的計算時間和內存隨自由度增大幾乎呈O(N)增長。當計算自由度規模達到25 500時，傳統方法計算時間達到78 964 s，內存達到30.0 G，而采用FMM-IBEM，計算時間只需要18 320 s，內存只需要6.0G，由此凸顯出FMM-IBEM在計算量和存儲量方面的巨大優勢，從而為實現群樁寬頻隔振問題的快速高效求解奠定了堅實基礎。

5 精度驗證

針對半空間群樁對面波的隔離效應，本文應用快速多極子間接邊界元法求解群樁前后無量綱位移幅值同文獻[18]結果比較，方樁邊長b*=0.2，橫波波速比rc=0.2，樁泊松比vb=0.2，土泊松比vs=0.2，長度系數l*=1.0。如圖3所示，可以看出，本文計算方法所得結果與直接邊界元方法求解結果吻合較好，從一方面證明了方法與程序的正確性與精度。

6 數值算例

為便于分析，本文均以混凝土方樁為例，樁體材料各參數如下：方樁邊長b，樁間凈距為s，體系長度l和樁的深度H，排樁與排樁間距d，樁數NS，以瑞利波波長λR對各參數進行歸一化：x*=x/λR，y*=y/λR，b*=b/λR，s*=s/λR，h*=h/λR，d*=d/λR。具體計算參數見表1。考慮土體剛度變化，參考高廣運等和劉中憲等文章參數，半空間域剪切波速分別取220 m/s，285 m/s，400 m/s，1 000 m/s(經計算采用軟土情況相關結論同樣成立)。當考慮其他因素變化時，土體波速不變，取值為400 m/s，即表1中“域(3)”的半空間模型。

(a) 本文結果

(b) 文獻結果

表1 計算參數

如圖1所示，設Rayleigh波水平入射，下文采用Wood等[20]提出的振幅衰減系數ARF來衡量屏障的隔振效果，ARF定義為設置屏障后屏蔽區內的豎向振幅與無屏障時的豎向振幅之比。非連續屏障起到的是一個整體的隔振作用，為了闡明這種由多根樁所形成的整體作用，本文首先分析了影響單排樁隔振效果的參數，如樁間距s*，樁長h*，場地波速比γc。然后本文討論了排樁排數與多排樁之間的排樁凈距對Rayleigh波隔振效果的影響。

6.1 單排樁屏障對Rayleigh波的隔振效應

6.1.1 樁間距s*對隔振效果的影響

取單排實心混凝土方樁作為非連續屏障，樁土波速比取5.0，樁數NS=8，b*=0.1，h*=1.0，振動產生的頻率分別選用40 Hz和80 Hz。計算得到了不同樁間距下，不同頻率的Rayleigh波入射時實心方樁樁后ARF等值線圖。為了更為直觀地觀察隔振效果隨樁距變化的規律，通過觀察樁距變化時，ARF值超過某一百分比的區域占總圖示范圍的面積變化，這一比例越大，隔振效果越好。

(a) s*=0.05

(b) s*=0.10

(c) s*=0.30

(a) s*=0.05

(b) s*=0.10

(c) s*=0.30

由圖4和圖5可知，單排樁通過不同樁間距的組合確實能形成屏障，并且與文獻[21]中連續屏障一樣，屏障前有放大，屏障后ARF減小。從圖4(a)～圖4(c)可知，當f=40 Hz，樁后ARF≤0.63的區域面積約占圖示范圍比例約為25%、30%、10%，由圖5(a)～圖5(c)可知，當f=80 Hz，樁后ARF≤0.68的區域面積約占圖示范圍比例約為20%、35%、35%，隨著樁間距的增大，隔振效果反而不是特別明顯，且樁前放大效應減弱，過小的樁間距導致非連續屏障范圍減小，而過大的樁間距會直接影響屏障的隔振效果，因此在實際工程中不宜采用過大的樁間距，建議s*取值為0.1～0.2。

從圖4(b)和圖5(b)可知，當s*=0.10，頻率f=40 Hz時，樁后ARF=0.63的區域面積約占圖示范圍比例約為30%，當s*=0.10，頻率f=80 Hz時，樁后ARF=0.68的區域面積約占圖示范圍比例約為35%。相同樁間距下，隨著頻率的增加，隔振效果也在增加。非連續屏障對于高頻比低頻隔振效果更好。

6.1.2 樁長h*對隔振效果的影響

如圖6～圖7所示，取單排實心混凝土方樁為非連續屏障，樁土波速比取5.0，NS=8，b*=0.1，s*=0.1，rc=5，樁長h*分別為0.5、1.0(圖4(b)、5(b)已給出)、1.5、2.0，計算得到了不同樁長下的ARF值。

(a) h*=0.5

(b) h*=1.5

(c) h*=2.0

圖6 不同樁長下的ARF等值線圖(f=40 Hz)

Fig.6 Contours of amplitude attenuation coefficientARFfor row of piles with different pile of length

(a) h*=0.5

(b) h*=1.5

(c) h*=2.0

從圖6～圖7可知，隨著樁長的逐漸增加，屏障的隔離效果也在增加。當f=40 Hz時，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為0%、37%、65%、65%；當f=80 Hz，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為0%、50%、70%、70%，無論是低頻還是高頻，當h*=0.5時，非連續屏障雖然也有一定的隔振效果，但是效果略差；當h*>1(即樁長大于一倍的Rayleigh波長)隔振效果雖有所上升，但樁長的增加對隔振的影響不大，這主要是由Rayleigh的特性決定的。

當h*=1.0，頻率f=40 Hz時，樁后ARF≤0.68的區域面積約占圖示范圍比例約為37%，當h*=1.0，頻率f=80 Hz時，樁后ARF≤0.68的區域面積約占圖示范圍比例約為50%。相同樁長下，隨著頻率的增加，隔振效果也在增加。

6.1.3 場地波速對隔振效果的影響

取單排實心混凝土方樁作為非連續屏障，樁數NS=8，b*=0.1，h*=1.0，s*=0.1。按表1中四種波速變化，樁土波速比值約為rc=2、5(圖4(b)、5(b)已給出)、7、9。計算得到了不同場地波速條件下，不同頻率Rayleigh波入射時實心方樁非連續屏障后土體位移ARF值(見圖8～圖9)。

(a) rc=2

(b) rc=7

(c) rc=9

(a) rc=2

(b) rc=7

(c) rc=9

從圖8～圖9可知，隨著樁-土波速比的增大(即場地土越軟)，實心方樁屏障對Rayleigh波的隔振效果越好。當f=40 Hz時，四種波速比值情況ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為0、25%、40%、45%；而當f=80 Hz時，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例分別約為0、40%、55%、60%。因此無論是對于低頻還是高頻來說，當Rayleigh波入射時，隨著樁-土波速比的增大，隔振效果也在提升，但當波速比超過7.0之后，增大樁基剛度對隔振效果提高不大。

6.2 多排樁屏障對Rayleigh波的隔振效應

取混凝土實心樁b*=0.1，h*=1.0，s*=0.1，d*=0.1，單排樁NS=8，雙排樁NS=17，三排樁NS=25，按照梅花形均勻布置，如圖11、圖12所示。其中雙排樁對應圖10中三排樁僅保留前兩排時的情況。

6.2.1 排樁排數對隔振效果的影響

和連續屏障相比，非連續屏障的隔振效果主要取決于排樁的排數，從圖11、圖12可知：當頻率為40 Hz時，ARF≤0.65的面積約占圖示范圍比例約為15%、20%、60%；當頻率為80 Hz時，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為40%、50%、60%，且對于高頻入射時，多排樁隔振效果明顯增加，隔振效果從30%逐漸增加到60%。因此對于Rayleigh波來說，隨著樁排數的增加，非連續屏障的隔振效果也在提升且效果明顯。

(a) 剖面圖

(b) 平面圖

(a) 單排樁

(b) 兩排樁

(c) 三排樁

(a) 單排樁

(b) 兩排樁

(c) 三排樁

6.2.2 多排樁排距d*對隔振效果的影響

取混凝土實心樁b*=0.1，s*=0.1，h*=1.0，NS=25，d*=0.10，0.15，0.25，0.30。按照梅花形均勻布置，通過計算得到了不同排樁間距、不同頻率下多排樁ARF值，如圖13、圖14所示。

(a) d*=0.10

(b) d*=0.15

(c) d*=0.30

(a) d*=0.10

(b) d*=0.15

(c) d*=0.30

從圖13～圖14可知,在正常工程參數范圍內，排樁間距變化對非連續屏障的隔振影響較小，圖13和圖14(a)～圖14(c)中當頻率為40 Hz時，隨著排樁間距d*的變化，ARF≤0.65占總圖示范圍比例約為60%、60%、60%；當頻率為80 Hz時，隨著排樁間距d*的變化，ARF≤0.65占總圖示范圍比例約為50%、48%、40%，屏障面積減小，但對多排樁隔振來說多排樁間距d*對于隔振效果影響較小，與文獻[22]中結論(4)一致。

對于不同頻率下，當f=40 Hz時，ARF為0.65占總圖示范圍比例大約為60%、60%、60%；當f=80 Hz時，ARF為0.65占總圖示范圍比例約為65%、65%、65%，對于高頻時，當ARF為0.4時面積由占總圖示范圍的50%減小到45%，但ARF為0.65的面積已超過65%，因此多排樁隔振中最佳隔振位置應取1～ 2個波長之間。

7 結 論

采用快速多極間接邊界元法求解了三維群樁屏障寬頻隔振問題。在計算效率驗證基礎上，討論了 Rayleigh波入射下重要參數對群樁隔振效果的影響。寬頻模擬結果表明：

(1) FMM-IBEM方法突破了傳統邊界元法在求解群樁寬頻隔振問題時的計算瓶頸，大幅度降低了CPU運算時間和存儲量，尤其對大規模多排群樁隔振計算性能提升更為顯著。

(2) 對于單排樁，樁間距是主要影響因素，過大的樁間距會使Rayleigh波的能量透射過去；當樁長超過一倍的Rayleigh波波長時，樁長對于隔離效果基本沒有影響，因此當用單排樁隔振時，采用適當樁間距能達到和連續屏障相同的效果。另外，對本算例，當樁-土波速比超過7.0時，提升樁的剛度對隔振效果提升不大。

(3) 對于多排樁，排樁間距對隔離效果影響較小，但為了不顯著影響隔振效果，不應取過大的排樁間距。

(4) 當低頻波入射時采用多排樁設計比單排樁隔振效果好。另外，Rayleigh波入射下場地土越軟隔離效果就越好。

最后需要指出的是，本文研究的彈性三維半空間下群樁對Rayleigh波的隔振效果，還可以推廣到飽和半空間和層狀地基中，為實際工程中的建設施工提供理論依據。