數字工具支持下數學建模的研究綜述

錢月鳳

(蘇州大學數學科學學院 215006)

近年來，由于信息技術的迅猛發展，數字工具在數學課堂中的使用逐漸廣泛；尤其在數學建模的背景下，數字工具變得越來越重要．正如Drijvers所述，數字工具的引入“開啟了無法進入的新視野，并提供了探索數學情境的機會”[1]．文獻中存在一個普遍的假設：在建模活動中使用的數學模型不僅受到學生數學知識和能力的影響，而且還受到可用的數字工具所提供的可能性的影響．比較而言，我國在有關利用數字工具進行數學建模的研究方面缺乏經驗，而國外一些研究者已做出了一定的探索．下面主要從數字工具的內涵與價值、數字工具支持下的數學建模過程以及國外的相關實證研究三方面介紹數字工具支持下數學建模的相關研究，為我國在這一方面的未來研究提供方向．

1 數字工具的內涵與價值

關于數字工具的內涵，可從狹義和廣義兩方面進行闡述．狹義而言，數字工具(digital tools)指的是可以用某種特定的方式來支持學習過程的數字媒體，如計算機、平板電腦或手持設備．Borba等人認為，數字工具可以像任何其他學習工具(如幾何直角尺或計算器)一樣，用于回答問題、在互聯網上進行調查、交流或準備教學材料[2]．廣義而言，數字工具的概念已不僅僅局限于特定的設備，還包括在數學課堂中具體使用數字工具的方式．

關于數字工具的價值，目前學術界普遍贊同的觀點是，數字工具可以支持學生的學習過程和教師的教學行為，即數字工具具有教育價值．例如，數字工具支持構建多種不同的表征，可同時生成相互聯系的多元表征，在課堂上可以實現可視化的目的；當執行數值計算、求解方程或處理離散模型或函數模型時，可通過數字工具的圖像表征功能來處理；在發現數學關系方面，數字工具在實驗工作和執行調查時尤為重要．

特別說明一下，本文主要以數字工具的形式來討論技術．盡管數字工具為解決實際問題提供了更大的機會，但對使用者也提出了更高的技術要求．

2 數字工具支持下的數學建模過程

關于數學建模的內涵，目前學術界已基本達成共識．大多數學者認為，數學建模就是從實際問題出發，經過抽象、簡化，歸結為數學問題，然后建立數學模型，求出結果并解釋實際問題，若不符合實際，再重新修改模型，直到得到符合實際問題的模型；數學建模的過程實際上是一個可以重復多次的循環，即建模循環(Modelling Cycles)．

一些研究者結合數字工具在數學建模中的應用，從理論角度描述了數字工具支持下的數學建模循環．

Geiger認為，數字工具幾乎適用于建模循環中的所有環節，并建立了技術支持下的數學建模循環模型[3](見圖1)．

圖1 技術促進數學建模的改編模型

Confrey和Maloney也概述了一個包括數字工具的建模模型[4](見圖2)，他們同樣認為數字工具整體上是適合學習的．

圖2 建模模型

圖3是Blum和Leiβ的七步建模循環[5]，顯示了在建模過程中應用數字工具的幾種可能性(見斜體)；這些數字工具的可能用途與數學建模子能力(如簡化、數學化、數學操作、解釋和驗證等)相對應．

圖3 建模中數字工具的可能能力

在建模循環的所有步驟中，Galbraith和Stillman認為，從實際模型簡化為數學模型進而得到數學結果的步驟中，數字工具所發揮的作用最為明顯[6]．如果我們更詳細地研究建模循環中利用數字工具進行數學操作的步驟，我們就會發現，只有當數學表達式被翻譯成數字工具所理解的語言時，我們才能應用數字工具；而數字工具產生的結果必須再一次被重新翻譯成數學語言，才能得到一個數學結果．這樣的翻譯過程可由一個拓展的建模循環[5](見圖4)來表示：在實際世界和數學世界的旁邊，增添了一個技術世界．

早期，我國學者張思明也強調，利用數字工具(如計算機工具)并結合數學方法求解數學模型，是建模循環中一個重要的步驟[7](見圖5)．

圖4 拓展的建模循環(Siller和Greefrath，2010)

圖5 數學建模的過程(張思明)

關于數字工具支持下的數學建模過程，我們可以做出這樣的假設：在數學建模循環的各個環節均可能使用數字工具；在求解數學模型得到數學結果的過程中，利用數字工具的可能性最大．

3 相關實證研究

我國幾乎沒有與數字工具支持下的數學建模有關的實證研究，因此這里主要介紹國外的相關實證研究．

3.1 最初的元研究

對于數字工具是否促進能力發展這一問題，有幾個最初的元研究值得關注．

2002年，Burrill等人為了研究中學數學中的手持繪圖技術，建立了包含五個研究問題的綜合研究框架(見表1)，對43項研究進行了元分析，其中有11項研究將使用手持繪圖技術的學生和未使用手持繪圖技術的學生進行比較，結果發現手持繪圖技術的使用對學生的學習表現具有積極的影響[8]．

表1 有關手持繪圖技術的綜合研究框架

續表

2003年，Ellington對54項研究進行了元分析，結果表明，教學中計算器的使用促進了學生操作技能和問題解決技能的發展；使用計算器的學生對數學表現出更加積極的態度[9]．2006年，Ellington對42項研究進行了元分析，結果發現，當計算器被用于教學時，學生對于數學概念的理解得到了增強[10]．而問題解決技能和概念性理解恰恰對于成功地進行數學建模十分重要．

Burrill等人和Ellington的元研究均表明了數字工具(如手持繪圖工具、計算器)對學生的學習產生了積極的影響，肯定了數字工具對于學生能力發展的作用．

3.2 更具體的研究

除了以上數字工具與能力發展方面的元研究，很多更細致的研究為數字工具支持下的數學建模研究提供了更具體的研究視角．

3.2.1定性研究

在更具體的研究視角下，一些定性研究致力于研究數學建模中數字工具的可能用途．

Doerr和Zangor針對兩個初高年級班中的學生，對處理建模任務的課堂進行了觀察，并分析了課堂中學生使用圖形計算器的方式.研究發現，數字工具被用于計算、收集數據、可視化和檢查工作[11]．因此，該研究證實了圖3建模循環中數字工具的一些能力，如調查、可視化、計算和控制．

Greefrath和Siller針對四對10年級學生，觀察了他們利用動態幾何軟件GeoGebra進行建模的過程，發現學生主要在情境模型到數學結果的步驟間利用數字工具，并將建模循環中GeoGebra的所有可能用途(見斜體)概括在圖6[12]．

圖6 有關建模循環中數字工具用途的定性研究結果

3.2.2定量研究

盡管以上提及的定性研究對學生的建模過程和數字工具的使用產生了更深入的了解，但定量方法為評價數字工具對學生成就的影響提供了機會．

在德國的一項定量研究中，針對177名學生，將一個利用動態幾何軟件學習的實驗組與一個沒有計算機幫助的對照組進行了比較，并測量了動態幾何軟件的使用對幾何成就的影響，結果發現對照組的表現明顯優于實驗組[13]．由此可見，數字工具的使用不一定促進學生的幾何成就．

2014年，Chan和Leung發表了一篇元分析文章，對2001年至2013年發表的國際定量研究進行了梳理，發現共有9項研究分析了動態幾何軟件對學生數學成就的影響；Chan和Leung還將DGS組(Dynamic Geometry Software，簡稱DGS)和對照組進行了比較，發現DGS組的數學成就更高[14]．

然而，以上提及的定量研究，均是將一般的數學成就或幾何成就作為因變量，并沒有將數學建模能力或數學建模表現作為測量的主要參數．

下面介紹德國的一項最新定量對照研究，該研究特別調查了學生“數學化”這一建模子能力．Gilbert Greefrath等人主要利用測試、問卷調查、觀察、訪談等研究方法，在對幾何建模任務進行干預的四堂課期間，將一個使用數字工具進行建模的實驗組與一個使用紙和筆完成同樣任務的對照組進行了比較，結果發現兩組的數學成就沒有顯著差異，但實驗組在數學化部分比紙筆組稍差；另外，他們還研究了“與程序相關的自我效能感”(program-related self-efficacy)和“對計算機的態度”這兩個因素對學生“數學化”的影響，通過統計手段分析數據，結果發現，“與程序相關的自我效能感”而不是“對所使用軟件的態度”，是對“數學化”能力增長的一個重要預測因素[15]．由此可見，高計算機自我效能感的學生在數學建模過程中所表現出的“數學化”能力越強．

4 反思與展望

從2003年“數學建模”正式進入高中數學課程標準，已近15年．回顧我國近15年來數學建模中數字工具的相關研究，可以發現我國現有研究中的不足；針對不足，提出建議，為我國這一方面的未來研究提供方向和思路．

4.1 我國的相關研究

相關理論研究中，除了張思明提出的數學建模過程(圖4)，羅奇等人結合國內外問題求解相關理論，構建了數學建模過程的系統模式，刻畫了網絡環境下數學建模過程的外顯求解行為和內隱認知活動[16]，也指出了計算機具有模擬實驗、處理模型并優化模型等功能．然而，該模式是羅奇等人根據指導大學生建模的成功經驗而構建的，其合理性是否適用于一般的數學建模過程，仍需進一步檢驗．

教材研究方面，吳道春聚焦于函數模型，將三個版本教材中的信息技術進行比較，發現蘇教版主要用到EXCEL和計算器，北師大版主要運用的是圖形計算器，人教A版主要用到計算機和圖形計算器；他強調，現代計算機技術的發展賦予了建模新的要求，即把模型翻譯成計算機能夠識別的程序或利用數學建模軟件進行模型的求解與計算[17]．

課程與教學方面，上海市高中曾做過將數學與計算機信息科學知識進行整合的教學嘗試，開設了《數學建模與算法實現》課程[18]．近年，上海市某中學數學教研組開展了一系列的圖形計算器支撐下的高中數學建模，利用8個實例說明了圖形計算器具有以下建模功能：繪圖、數列與遞歸、程序模擬[19]．

所有相關研究中，最多的是案例研究，即結合具體實例，介紹數字工具在數學建模中的應用．例如，施洪亮提供了一則基于圖形計算器的“特拉法爾加海戰”建模案例，利用圖形計算器模擬了戰斗進程，借助其編程、擬合等功能求解了戰斗損耗系數、初始戰艦數、戰斗編組情況等[20]；曾志勇和周靈從建構主義學習理論、認知工具理論和多元智能理論分析了數字工具對教與學的重要性，并利用三個應用實例(函數模型、不等式模型和線性規劃模型)解釋了TI手持技術在初中數學建模活動中的應用[21]等．

4.2 反思

首先，我國有關利用數字工具進行數學建模的研究質量和數量有待提高．由文獻可知，我國以案例研究為主，其中大部分文獻都在介紹數字工具在數學建模中的應用，采用實證的研究方法探索數學建模中數字工具的用途、數字工具的使用對數學建模能力的影響等研究相當罕見．

其次，我國缺乏在利用數字工具進行數學建模這一方面長期研究且擁有一定影響力的領軍人物．

再次，有關數字工具支持下數學建模的研究內容關注程度太淺，很少有研究從理論層面描述數字工具在建模循環中的應用．

4.3 建議與展望

針對以上不足，對數學建模研究者提出以下建議：

第一，加強與數字工具支持下的數學建模有關的實證研究．由于我國這一方面的相關論文文獻數量太少，具有真正說服力并值得推廣的研究成果并不多見．因此，未來應強化實證研究，通過調查、測試等方法拿出數據并用真實的數據來解釋和證明自己的研究結論．

第二，重視數字工具在建模循環中的理論研究．至今，我國相關研究中還沒有研究能全面地描述使用數字工具的數學建模過程．而數字工具在數學建模的不同階段都可能被使用，因此很有必要從理論角度建立使用數學工具的建模循環理論框架．

第三，加強與一線教師的合作研究，形成與“數字工具支持下的數學建模”有關的專業研究團隊．

汲取國外研究經驗，提出以下未來研究問題：

①建模時使用或不使用數字工具，是否會影響學生的數學建模表現？建模時使用數字工具的學生獲得了哪些在沒有數字工具幫助時的知識或技能？

②計算機自我效能感與數學建模能力之間有關系嗎？計算機自我效能感與實際建模過程之間的相互作用是什么樣的？

③學生對數字工具的態度是否影響其數學建模能力的發展？

④教師或學生在數學建模過程中如何使用數字工具(如一個動態幾何軟件GeoGebra)？