淺談主成分分析方法的建筑結構設計方案評估模型

劉兆玉

摘要：為了客觀而準確地評價建筑結構設計方案，本文采用主成分分析方法詳細探討了建筑結構設計方案的評價問題，井運用MATLAB函數給出了主成分分析方法下建筑結構設計方案評估模型，開辟了一種建筑結構設計方案評估的新視角。

關鍵詞：建筑結構設計，方案定量分析，主成分分析

建筑結構方案設計是結構設計中最富有創造性的階段，需要建筑師和結構工程師的豐富經驗和密切合作，具有強烈的軟科學決策特點。結構方案設計的過程包括方案生成、方案評估和方案決策三個階段。其中，方案評估主要是對設計產生的方案產生的方案進行分析和評價，從而最終設計方案的決策提供依據和支持。可見方案評估在建筑結構方案設計過程中處于十分重要的地位，因此迫切要求選擇合理的評估方法對設計方案進行科學全面的分析和評估，以作出正確的判斷。基于此，本文將主成分分析方法應用于建筑結構設計方案評估中，建立一種簡單的可直接利用現有計算機軟件MATLAB進行數據處理的評估模型。

1.MATLAB中主成分分析方法介紹

principal component analysis（PCA） 主成分分析法是一種數學變換的方法， 它把給定的一組相關變量通過線性變換轉成另一組不相關的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數學變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變量的方差次大，并且和第一變量不相關，稱為第二主成分。依次類推，I個變量就有I個主成分。

其中Li為p維正交化向量（Li*Li=1），Zi之間互不相關且按照方差由大到小排列，則稱Zi為X的第I個主成分。設X的協方差矩陣為Σ，則Σ必為半正定對稱矩陣，求特征值λi（按從大到小排序）及其特征向量，可以證明，λi所對應的正交化特征向量，即為第I個主成分Zi所對應的系數向量Li，而Zi的方差貢獻率定義為λi/Σλj，通常要求提取的主成分的數量k滿足Σλk/Σλj>0.85。

進行主成分分析后，還可以根據需要進一步利用K-L變換（霍特林變換）對原數據進行投影變換，達到降維的目的。

PCA的基本原理就是將一個矩陣中的樣本數據投影到一個新的空間中去。對于一個矩陣來說，將其對角化即產生特征根及特征向量的過程，也是將其在標準正交基上投影的過程，而特征值對應的即為該特征向量方向上的投影長度，因此該方向上攜帶的原有數據的信息越多。

1.1主成分分析方法介紹主成分分析方法是統計學中一種對于多元問題的數據處理方法，這種方法的的就是要對多元數據進行最佳綜合簡化，也就是說要在力保數據信息丟失最小原則下，對高維變量進行降維處理。另外，每個變量在不同程度下反映了問題的某些信息，在很多情形下，變量與變量之間有一定的相關性，也就是變量所反映信息有重疊，而且變量太多在某種程度上又增加了分析的復雜性，主成分分析法剔除信息重疊，簡化分析過程1。該方法的核心就是通過主成分分析、選擇S個主分量F，F一，F，以每個主分量F.的方差貢獻率h;作為權數，構造綜合評價函數：F=h1Fl+h2F2+…+hmF其中Fi（i=l，2，…，s）為第i個主成分的得分。F;越大方案就越好，設計者可根據這個值對比其他一些設計方案做出判斷，以決定是否采納。

1.2MATLAB中主成分分析princo呷函數介紹語法：pc=pnncomp（p）【pc，score，latent，tsquare]=princomp（p）描述：[pc，score，latent，tsquare]=princomp（p）根據數據矩陣P返回因子成分PC，Z分數score、P的協方差矩陣的特征值latent和HotellingT2統計量tsquare。z分數是通過將原始數據轉化到因子成分空間中得到的數據。Latent向量的值為score的列的方差。HotellingT為來自數據幾何中心的每一個觀測量的多變量離的度量。

1.3常規應用

在社會調查中，對于同一個變量，研究者往往用多個不同的問題來測量一個人的意見。這些不同的問題構成了所謂的測度項，它們代表一個變量的不同方面。主成分分析法被用來對這些變量進行降維處理，使它們“濃縮”為一個變量，稱為因子。

在用主成分分析法進行因子求解時，我們最多可以得到與測度項個數一樣多的因子。如果保留所有的因子，就起不到降維的目的了。但是我們知道因子的大小排列，我們可以對它們進行舍取。哪有那么多小的因子需要舍棄呢？在一般的行為研究中，我們常常用到的判斷方法有兩個：特征根大于1法與碎石坡法。

因為因子中的信息可以用特征根來表示，所以我們有特征根大于1這個規則。如果一個因子的特征根大于1就保留，否則拋棄。這個規則，雖然簡單易用，卻只是一個經驗法則（rule of thumb），沒有明確的統計檢驗。不幸的是，統計檢驗的方法在實際中并不比這個經驗法則更有效（Gorsuch， 1983）。所以這個經驗法則至今仍是最常用的法則。作為一個經驗法則，它不總是正確的。它會高估或者低估實際的因子個數。它的適用范圍是20-40個的測度項，每個理論因子對應3-5個測度項，并且樣本量是大的 （ 3100）。

碎石坡法是一種看圖方法。如果我們以因子的次序為X軸、以特征根大小為Y軸，我們可以把特征根隨因子的變化畫在一個坐標上，因子特征根呈下降趨勢。這個趨勢線的頭部快速下降，而尾部則變得平坦。從尾部開始逆向對尾部畫一條回歸線，遠高于回歸線的點代表主要的因子，回歸線兩旁的點代表次要因子。但是碎石坡法往往高估因子的個數。這種方法相對于第一種方法更不可靠，所以在實際研究中一般不用。

拋棄小因子、保留大因子之后，降維的目的就達到了。

2利用主成分分析法在建筑結構設計方案評估中的應用

2.1定建筑結構設計方案的衡量指標并提請建筑領域相關專家打分，獲得建筑結構設計方案評估值樣本空間。對于建筑結構設計方案衡量指標從不同的角度可以進行不同的選擇，這在建筑結構設計方案評估的許多文獻中已有比較全面的說明，本文目的是介紹一種評估方法，對此指標的分類不進行深究。借鑒他人的研究成果，我們主要從建材與施工、結構選址與場地、結構布置與地基、構建與構造、安全性五方面建立建筑結構設計方案的衡量指標I。而專家打分采用I—l0分制，分值越高，方案越好。專家個數即樣本個數越

多越好。經過制定專家打分表格，發放，回收處理后形成如下形式的樣本數據表。

2.2將上述數據表轉化為數據矩陣，如果各變量的數量級和量綱等存在較大的差異時，需要先對數據進行標準化，然后進行主成分分析。標準化的方法是用原始數據的各列除以各列的標準差，標準差可用MATLAB中std函數來實現。

2.3利用MATLAB中用于主成分分析的princomp函數，對上述矩陣進行主成分分析，得出主成分矩陣PC和協方差矩陣的m個非負特征值≥≥……≥，并計算出特征值的貢獻率h和累計貢獻率f。

2.4選取主成分并構造綜合評價函數，根據貢獻率的大小，選取前（1≤≤m）個主元素，，……，使得th≥90%。前個元素的線性組合為=Zl】1十ZI2X2十……十ZImXⅢ=Z21X1十z222十.…..+Z2mX卅=Z1十Z2！十，…十Z用，，……，和h。，h，……，h構造評價函數如下：F=h1+2+。+：.利用綜合評價函數F可計算建筑結構設計方案的綜合評價值。F越大，說明設計方案越好。從以上分析可知，利用主成分分析法可以降低建筑結構設計方案各衡量指標之間的信息重疊，建立起隨機變量（衡量指標變量）與項目優劣值之間的線性關系，簡化了以往采用層次分析或模糊數學對于指標層次劃分的負擔，而且利用現代計算機軟件MATLAB的數據處理功能，可以方便地進行主成分分析。項目評估所要做的就是正確劃分指標類型，獲取樣本數據，大大減少方案評估的工作量。

總結：

綜上所述，主成分分析方法的建筑結構設計方案評估模型能夠極大程度的保證建筑結構設計的安全性，從而更好的為建筑而服務。

參考文獻

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