二階控制系統時間響應分析

熊藜 宋剛 胡榮瀚 張元陽

摘 要：基于連續時間系統的響應分析，通過在二階系統的反饋回路中加入了一階未知時間常數的微分環節，通過構建傳遞函數，做出對典型輸入信號在不同未知時間常數τ=0，0.0125，0.025下的時間響應曲線。通過Matlab編程求出不同阻尼比ζ=0-2下的二階系統的瞬態性能指標，進而反推出貼近最優的瞬態性能的反饋時間常數，其值為τ=0.025。最優對二階系統的穩定性判據方法進行了分析與描述。

關鍵詞：時間響應;瞬態性能;反饋時間常數;穩定性判據

中圖分類號：TP271+.2 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1671-7988（2019）12-96-03

Abstract： Based on the response analysis of the continuous time system， the first order unknown time constant differential link was added into the feedback loop of the second order system. The transient performance index of the second-order system with different damping ratios was obtained through Matlab programming， and then the feedback time constant close to the optimal transient performance was derived， and its value was. The stability criterion method for optimal second-order systems is analyzed and described.

Keywords： Time response; Transient performance; Feedback time constant; Stability criterion

CLC NO.： TP271+.2 ?Document Code： A ?Article ID： 1671-7988（2019）12-96-03

引言

工程中，大量的控制系統，尤其是機械系統，都可利用高階微分方程的原理建立起高階系統。對于這種復雜的系統，在一定準確度條件下，可以忽略某些次要因素，將高階系統簡化為二階或一階系統的串并聯的組合。這樣便可利用二階系統的性能指標以及系統偏差的校正，從而做出對高階系統的分析與研究。為了更好的了解二階系統的特性，對其做時間響應分析是重要的解決方法。

本文主要對二階系統的動態性能作時域響應分析和頻率特性指標進行分析，從而掌握系統穩定性、響應快速性、響應準確性三者之間的制約關系，對控制系統的設計與分析有重大意義。

1 時間響應及組成

系統的時間響應可從兩方面進行分類，根據系統的振動性質可分為自由響應與強迫響應;按系統振動來源可分為零輸入響應與零輸入響應。

通過圖2可以看出不同的時間常數τ對單位脈沖響應以及單位階躍響應有著不同的影響。如此一來，這一組時間常數更加符合系統的性能指標，或者說那組數據對控制系統的三大研究問題，即系統穩定性、響應快速性、響應準確性的綜合評價更高，這就需要考慮二階系統響應的性能指標，從而對比做出判斷。

3 二階系統響應瞬態性能指標

大多數情況下，評價系統的性能指標一般在時域范圍內研究。考慮到二階欠阻尼系統過渡時間的較短，產生單位階躍輸入信號較為容易且與實際情況下輸入的信號更加貼近振蕩，同時系統在對單位階躍信號做出的響應可以求出任何輸入下的響應等優點，我們對其作進一步分析。

3.1 上升時間、峰值時間與頻率調整時間

二階欠阻尼系統中，反映響應曲線第一次達到穩定值所需要的時間即為上升時間tr;而響應曲線第一次達到峰值的時間稱為峰值時間tp。兩者在數學關系上有很大的相似性，當阻尼比ξ增大，ωn增大，tr與tp均減小。此外，過渡過程中的x0（t）滿足 或 不等式所需的時間定義為調整時間ts。

3.2 最大超調量與振蕩次數

定義最大峰值相對與穩定值的之差的百分量稱為最大調整量Mp，即 。可見，超調量Mp只與阻尼比ξ有關，而與固有頻率ωn無關。由此得出最大超調量的大小直接可以說明系統的阻尼特性。對于振蕩次數N，同樣是隨著阻尼比的增加而減少，其大小也直接反映了系統的阻尼特性。

3.3 不同阻尼比下的時間響應

根據二階系統的閉環極點 。可知，二階系統的時間響應主要由阻尼比與無阻尼固有頻率決定，為了更加直觀的表現出具體響應變化，以推出瞬態系統性能指標從而進一步確定本文前面討論的最優時間常數的確定。本文利用Matlab軟件對典型二階系統在單位階躍函數輸入作用下進行編程仿真，確定出固有頻率ωn=4，阻尼比ξ=0、0.2，0.4，0.6，0.8，1，2的條件下的響應特性曲線如圖3所示：

由圖3可知，當阻尼比ξ=0時，響應曲線達到等幅振蕩。在阻尼比ξ=1和ξ>0時，二階控制系統的過渡過程具有單調上升的階段，而過渡過程持續時間最短的響應曲線為ξ=1，反映了系統響應的快速性。但在ξ=0.4～0.8之間的曲線，過渡時間進一步縮短，為了使二階系統處于一個振蕩適度而持續時間更短的過渡過程，我們希望其工作在ξ=0.4～0.8的欠阻尼狀態下。

在確定理想的阻尼比范圍之后，需要結合系統的瞬態性能指標，將上述二階系統中的時間常數帶入評定指標中，篩選出更加符合條件的常數值。

3.4 不同 值的瞬態性能指標

再一次利用Matlab的編程功能，分別求出不同的時間常數下的系統瞬態性能指標如下表1所示。

由表1所示，隨著時間常數的增加，系統的上升時間與峰值時間有所增加，表明了引入速度負反饋以后，響應快速性的性能有所降低;但調整時間以及最大超調量均呈現下降的趨勢，則說明減少了振蕩次數與超調量，相當于改善了系統的振蕩性能，間接的反映了系統阻尼比的增加。

若要使得系統滿足最大超調量Mp<6%的條件，則通過公式 ? 算得阻尼比ξ=0.69。由于系統無阻尼固有頻率ωn=31.62s-1，同時結合公式可得出τ=0.0236 s。由此，得出最符合系統綜合瞬態性能的反饋時間常數τ=0.025s。

4 系統穩定性分析

系統的穩定性是任何控制系統在實際應用中發揮作用的前提條件，而判定二階控制系統的穩定性的充要條件是：閉環系統特征方程的所有特征根均具有負實部，或者說系統傳遞函數的全部極點均位于[s]平面的左半部分。利用Matlab可以對其作以下方法的檢驗。

4.1 系統穩定性的判斷方法

方法一：Routh穩定判據，基于方程式根與系數的關系建立，通過對系統特征方程式的各項系數進行代數運算，得出全部根具有負實部的條件，進而進行判斷。具體方法是以Routh表中第一列各元符號的改變次數與特征方程具有正實部特征根的個數一致。

方法二：Nyquist穩定判據，結合復變函數的輻角原理，其閉環系統的特征方程全部具有負實部的特征根，即GB（S）在[s]平面的右半部分沒有極點，也即F（s）在[s]平面的右半部分沒有零點。具體方法是G（s）H（s）的Nuquist軌跡逆時針包圍點（-1，j0）的圈數N等于G（s）H（s）在[s]平面的右半部分的極點數P，即N=-P，且F（s）在[s]平面的右半部分無零點，即Z=0。

方法三：Bode穩定判據，將開環極坐標圖轉換到開環對數坐標圖上面，利用對數頻率特性判據判定系統穩定性。在Bode圖上面，當頻率由0變到 時，開環對數幅頻特性為正值的范圍內，開環對數相頻特性在-180%線正穿越與負穿越的次數之差為怕P/2時，則閉環系統穩定。

此外，還可以利用Matlab中的margin 函數求出系統的相位裕度、幅值裕度以及相位穿越頻率與幅值穿越頻率來判斷系統的相對穩定性。

5 結束語

為了了解貼近實際應用的高階系統的性能與特性，在控制工程中從典型的二階系統上分析了不同負反饋的時間常數 對二階系統的綜合性能指標的最優值。同時利用了Matlab的編程與繪圖功能，通過函數的調用，參數的輸入，從而做出對線性二階系統的分析，具有簡單明了的特點，提高了學習效率，對高階系統的研究有較大的意義。

參考文獻

[1] 楊叔子.機械工程控制基礎（第4版）[M].武漢：華中科技大學出版社，2017.4.

[2] 曾孟雄.二階系統動態特性的時頻虛擬測試[J].三峽大學學報（自然科學版），2005，25（3）：251～253.

[3] 馬曉玲.二階系統的瞬態響應性能指標分析與應用[J].貴州師范大學學報（自然科學版）， 2003，21（5）：22～24.

[4] 胡壽松.自動控制原理[M].北京：科學出版社，2013.

[5] 吳瑩.《自動控制原理》課程教學方法的改革與實踐[J].產業與科技論壇，2017，16（03）： 155-156.

[6] 董景新等.控制工程基礎[M].北京：清華大學出版社，2003.