三階微分方程初值問題解的存在性研究

摘要：本文討論了三階微分方程的初值問題，通過定義耦合上下解并構造迭代序列給出了研究三階微分方程初值問題的一種廣義迭代方法，證明了三階微分方程初值問題解的存在性，并通過實例加以驗證。

關鍵詞：初值問題；上下解；單調迭代方法

ABSTRACT：This paper discusses the initial value problem of three order differential equations，by defining the coupled of upper and lower solutions and constructing iterative sequence，it gives a generalized iterative method of three order differential equations，and proves the existence of solutions for initial value problems of three order differential equations and an example is given to illustrate the results obtained.

Key words：Initial value problem Upper and lower solutions Monotone iterative method

1 引言

微分方程理論的發展已有幾百年的歷史，但是一直處于發展中.微分方程初值問題理論在定性理論中占據著十分重要的位置，許多學者應用了不同的方法和技巧對其進行了深入研究，得到了不同的研究成果，文獻[1]是利用逐步逼近法來證明一階微分方程初值問題解的存在唯一性，另外還有文獻[2]運用佩亞諾定理（丁同仁）對該問題的證明.這兩種方法都是對一階常微分方程的證明.自1985年，V.Laksmikanthan[3]等人出版了《非線性方程的單調迭代技術》，系統地介紹了如何利用上下解方法和單調迭代方法來解決非線性微分方程（組）的一些問題.不僅可以證明解的存在性，還可以構造單調迭代序列，并在一定條件下序列一致收斂，其極限就是原問題的極值解，進而給出了研究解的存在性問題的另一種有趣并十分有用的重要方法.許多學者應用此類方法對方程解的存在性問題進行了深入研究，并將此類研究方法進行推廣，得到更多的理論研究.文獻[4]是對一階微分方程初值問題的研究，現在結合眾多學者的研究成果，本文對其進行拓展和推廣，研究三階微分方程的初值問題.考慮如下微分方程：

{

（1.1）

其中 ， [ ]， = 是方程（1.1）的解，對于任意的 ， 分別關于 是單調非減的， 分別關于 是單調非增的.

下面介紹四類上下解的定義：

定義1：函數 ， 在 上三階可導，稱為：

（1）一般上下解，如果：

（2）第一類耦合上下解，如果：

（3）第二類耦合上下解，如果：

（4）第三類耦合上下解，如果：

定義2：函數 在 上三階可導稱為（1.1）的耦合解.如果：

，

.

若 ，由于 的單調性，不難得出

故當 時，第二類耦合上下解包含了一般上下解和第三類耦合上下解.一般情況下要求 ，因此以下只需要考慮第一、二類耦合上下解.

2 主要結果

定理2.1

假設：

（i） ， 是方程（1.1）的第一類耦合上下解，并且對任意 有 ；

（ii）對任意的 ， 是分別關于 是單調非減的， 是分別關于 是單調非增的；

則存在單調序列 使得

且分別一致收斂于方程（1.1）的耦合極值解.

證明：考慮迭代序列

利用數學歸納法證明：

先證 ，

（1）先證 ，

令 ， ，

因為 為第一類耦合上下解，

所以有

，

，

則

，

即 ，則 是單調遞增函數.

， ，

即 ，則 是單調遞增函數.

， ，

即 ，則 是單調遞增函數.

，即 .

從而 得證，同理可證得 .

（2）再證 ，令 ，

=

由于 ， 的單調性及 ，可得

，

，

從而可得 ，則 是單調遞增函數.

， ，

即 ，則 是單調遞增函數.

， ，

即 ，則 是單調遞增函數.

，

則 ，即 .

綜上所述可得 .

假設 成立，下證 也成立.

（1）先證 ，令 ，

，

由于 ， 的單調性及 ，可以得出 ，

則 是單調遞增函數.

， ，

即 ，則 是單調遞增函數.

，

，

即 ，則 是單調遞增函數.

，

即 ，則 .同理可證得 .

（2）再證 ，令 ，

，

由于 ， 的單調性及 可得 ，則 是單調遞增函數.

，

，

即 ，則 是單調遞增函數.

，

，

即 ，則 是單調遞增函數.

，

則 ，即 ，

綜上所述可知 .

由數學歸納法可知 ，

則序列{ }，{ }在 上單調有界，

則有 ， .

由于{ }，{ }等度連續，則由文獻[5]的定理可知{ }，{ }一致收斂于 ， .當 時， ， 為方程（1.1）的耦合解.

下面證明 ， 為極值解，

設u是方程（1.1）滿足 的任意解，證明 .

顯然 .假設 成立，下證 也成立.

先證 ，令 ，

，

由 ， 的單調性及 可知

，

，

則 ，所以 是單調遞增函數.

，

，

即 ，則 是單調遞增函數.

， ，

即 ， 是單調遞增函數.

，

則 ，即 ，同理可證得 .

綜上所述可得 ，對 都成立.

， .

上述討論僅考慮了第一耦合上下解的情況，同樣也可以考慮第二類耦合上下解的情況，給出相應的定理.

定理2.2

假設：

（i）方程（1.1）存在第二類耦合上下解 ，并且對于所有的 有 ；

（ii）對于任意的 ， 分別關于 是單調非減的， 分別關于 是單調非增的；則當 ， ， 時定理2.1成立.

證明與定理2.1類似，故不再重復.

參考文獻：

[1] 王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程[M].第三版.高等教育出版社，2006.

[2] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].第二版.高等教育出版社，2004.

[3] G.S.Ladde，V.Lakshmikantham，A.S.Vatsala.非線性方程的單調迭代技術[M].Pitman，Boston.1985.

[4] I.H.West，A.S.Vatsala，初值問題的廣義單調迭代法，Appl.Math.Lett[J].2004，17：1231-1237.

[5] 傅涌.有界閉區間上連續函數列一致收斂的充要條件.大學數學[J].2007，23：117-120.

基金項目：

課題項目：河北省高等學校科學技術研究項目（Z2015018）。

作者簡介：

田淑環 女 河北定州市1980.8月。研究生 講師，研究方向微分方程及其應用。

（作者單位：保定學院 白紅信 保定學院）