高中常見彈簧類模型的問題分析及處理方法

黃榮愉

摘要：彈簧是高中物理一種理想化的重要模型之一，以輕質彈簧為載體，設置復雜的物理情景，考查力的概念，物體的平衡，牛頓定律的應用及能的轉化與守恒，是高考命題的重點，此類命題幾乎每年高考卷面均有所見.應引起足夠重視.考查的知識點較多及考查學生的分析綜合能力、推理判斷能力.輕彈簧是一種理想化的物理模型，

關鍵詞：彈簧模型；能力；題型

高中物理學習中有許多物理模型，如質點、輕桿、輕繩、光滑斜面、彈簧、水流星（豎直平面內的圓周運動）、電磁感應中的單桿等模型.而其中的彈簧是高中物理重要模型之一，它涉及到力與加速度、功和能、沖量以及極值等許多物理知識和規律.通過彈簧與其它知識點的結合可以考查學生的分析綜合和推理能力，因此在高考中常常以彈簧為素材進行命題.彈簧模型問題的解決關鍵要注意兩點：正確對與連接或接觸的物體進行受力分析；掌握彈力變化、彈簧勢能的變化特點.為了幫助同學們掌握彈簧模型這類試題的分析方法，現將有關彈簧問題分類進行剖析.題目類型有：靜力學中的彈簧問題，動力學中的彈簧問題，與動量和能量有關的彈簧問題.

一.靜力學中的彈簧問題

（1）胡克定律：F=kx，ΔF=k·Δx.

（2）對彈簧秤的兩端施加（沿軸線方向）大小不同的拉力，彈簧秤的示數一定等于掛鉤上的拉力.

[例1]：如圖所示，兩木塊A、B的質量分別為m1和m2，兩輕質彈簧的勁度系數分別為k1和k2，兩彈簧分別連接A、B，整個系統處于平衡狀態.現緩慢向上提木塊A，直到下面的彈簧對地面的壓力恰好為零，在此過程中A和B的重力勢能共增加了（ ）

A. B.

C. D.

解析：取A、B以及它們之間的彈簧組成的整體為研究對象，則當下面的彈簧對地面的壓力為零時，向上提A的力F恰好為：F=（m1+m2）g

設這一過程中上面和下面的彈簧分別伸長x1、x2，如圖2所示，A、B增加的重力勢能共為：

ΔEp=m1g（x1+x2）+m2gx2= +

點評：①計算上面彈簧的伸長量時，較多同學會先計算原來的壓縮量，然后計算后來的伸長量，再將兩者相加，但不如上面解析中直接運用Δx= 進行計算更快捷方便.

②通過比較可知，重力勢能的增加并不等于向上提的力所做的功W=·x總= + .

二.動力學中的彈簧問題

（1）瞬時加速度問題（與輕繩、輕桿不同）：一端固定、另一端接有物體的彈簧，形變不會發生突變，彈力也不會發生突變.

（2）如圖3所示，將A、B下壓后撤去外力，彈簧在恢復原長時刻B與A開始分離.

[例2]：一彈簧秤秤盤的質量m1=1.5 kg，盤內放一質量m2=10.5 kg的物體P，彈簧的質量不計，其勁度系數k=800 N/m，整個系統處于靜止狀態如圖4所示.

現給P施加一個豎直向上的力F，使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在最初0.2 s內F是變化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值.（取g=10 m/s2）

解析：初始時刻彈簧的壓縮量為：x0= =0.15 m

設秤盤上升高度x時P與秤盤分離，分離時刻有： =a

又由題意知，對于0～0.2 s時間內P的運動有： at2=x

解得：x=0.12 m，a=6 m/s2

故在平衡位置處，拉力有最小值Fmin=（m1+m2）a=72 N

分離時刻拉力達到最大值Fmax=m2g+m2a=168 N.

點評：對于本例所述的物理過程，要注意的是：分離時刻m1與m2之間的彈力恰好減為零，下一時刻彈簧的彈力與秤盤的重力使秤盤產生的加速度將小于a，故秤盤與重物分離.

三.與動量、能量相關的彈簧問題

與動量、能量相關的彈簧問題在高考試題中出現頻繁，而且常以計算題出現，在解析過程中以下兩點結論的應用非常重要：

（1）彈簧壓縮和伸長的形變相同時，彈簧的彈性勢能相等；

（2）彈簧連接兩個物體做變速運動時，彈簧處于原長時兩物體的相對速度最大，彈簧的形變最大時兩物體的速度相等.

[例3]：用輕彈簧相連的質量均為2 kg 的A、B兩物塊都以v=6 m/s的速度在光滑的水平地面上運動，彈簧處于原長，質量為4 kg的物塊C靜止在前方，如圖5所示.B與C碰撞后二者粘在一起運動，則在以后的運動中：

（1）當彈簧的彈性勢能最大時，物體A的速度為多大？

（2）彈簧彈性勢能的最大值是多少？

（3）A的速度方向有可能向左嗎？為什么？

解析：（1）當A、B、C三者的速度相等（設為vA′）時彈簧的彈性勢能最大，由于A、B、C三者組成的系統動量守恒，則有：

（mA+mB）v=（mA+mB+mC）vA′ 解得：vA′= m/s=3 m/s.

（2）B、C發生碰撞時，B、C組成的系統動量守恒，設碰后瞬間B、C兩者的速度為v′，則有：

mBv=（mB+mC）v′解得：v′= =2 m/s

A的速度為vA′時彈簧的彈性勢能最大，設其值為Ep，根據能量守恒定律得：

Ep= （mB+mC）v′2+ mAv2- （mA+mB+mC）vA′2=12 J.

（3）A不可能向左運動.根據系統動量守恒有：（mA+mB）v=mAvA+（mB+mC）vB

設A向左，則vA<0，vB>4 m/s則B、C發生碰撞后，A、B、C三者的動能之和為：

實際上系統的機械能為：E=Ep+ （mA+mB+mC）vA′2=12 J+36 J=48 J

根據能量守恒定律可知，E′>E是不可能的，所以A不可能向左運動.

點評：①要清晰地想象、理解研究對象的運動過程：相當于在以3 m/s勻速行駛的車廂內，A、B和C做相對彈簧上某點的簡諧振動，振動的最大速率分別為3 m/s、1 m/s.②當彈簧由壓縮恢復至原長時，A最有可能向左運動，但此時A的速度為零.

由以上例題可以看出，彈簧類試題的確是培養和訓練學生的物理思維、反映和開發學生的學習潛能的優秀試題.彈簧與相連物體構成的系統所表現出來的運動狀態的變化，為學生充分運用物理概念和規律（牛頓第二定律、動能定理、機械能守恒定律、動量定理、動量守恒定律）巧妙解決物理問題、施展自身才華提供了廣闊空間，當然也是區分學生能力強弱、拉大差距、選拔人才的一種常規題型.因此，彈簧試題也就成為高考物理題中的一類重要的、獨具特色的考題.

（作者單位：南安市南星中學）