幾何題證明方法賞析

謝建平

摘要：數學作為一門抽象化學科，以形象思維為主的幾何，具有較強的直觀效果，初中幾何證題法千變萬化，考慮的角度不同，所添加的輔助線也不相同，因此所選的證明方法也不相同，當然書寫過程也截然不同。下面以一個幾何證明題來與大家共同分享。

關鍵詞：幾何證題法；輔助線；一題多解

學生練習中有很多值得特別研究的幾何證明題，通過添加不同輔助線而采用不同的方法來解答，這對于學生來說，可以提高他們學習幾何的積極性，增強其形象直觀的觀察能力。下面以此題以饗讀者。

例題：已知：平行四邊形ABCD，∠ADF=45°，∠N=∠ACD，AG⊥CD，AD⊥AC

求證：AC=CB+AN

第一種：過點A作AY⊥DF交CD于點H

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥CB

∵∠DAC=90°，∠ADF=45°

∴AD=AE=CB

∠DYH=90°，∠AGH=90°

∴∠YDH+∠DHY=90°

∠GAH+∠DHY=90°

∴∠HDY=∠GAH

∵∠ADY=∠EAY=45°

∴∠ADY+∠HDY=∠EAY+∠GAH

∠HDY=∠MAE

∵∠AYE=90°

∴∠EAY=∠DAH=45°

在△DAH和△AEM中

{∠ADH=∠EAM AD=EA ∠DAH=∠AEM}

∴△DAH≌△AEM（ASA）

∴AH=ME

在△NEM和△CAH中

{∠N=∠ACH ∠NEM=∠CAH ME=HA}

∴△NEM≌△CAH（AAS）

∴NE=CA ∵AN+AE=CE+AE ∴AN=CE

∵AC=AE+CE

∴AC=CB+AN

第二種：過點A作AY⊥DF，交CD于點H，在連接HE

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD=CB

∵AD⊥AC，∠ADE=45°

∴AD=AE=CB

∵AH⊥DF，∠AED=∠EAY=45°

∴AY=YE

∵∠YDA=∠DAY=45° ∴YD=YA=YE

∵∠DYH=90° ∠AGH=90°

∴∠YDH+∠DHY=90° ∠GAH+∠DHY=90°

∴∠HDY=∠GAH

∵∠DAH=∠EAH=45°

∴DH=EH ∠HDY=∠HEY=∠GAH

∴∠HAE+∠GAH=∠AEY+∠HED

∠MAE=∠HEA

在△MAE和△HEA中

{∠MAE=∠HEA AE=EA ∠MEA=∠HAE}

∴△MAE≌△HEA（ASA）

∴ME=AH

在△NME和△CHA中

{∠N=∠ACH ∠NEM=∠CAH ME=HA}

∴△NME≌△CHA（AAS）

∴NE=AC

∵AN+AE=CE+AE

∴AN=CE

∵AC=AE+CE

∴AC=CB+AN

第三種：解：延長CN至點H，使AC=AH，連接HD，過點D作DR⊥NM，過點N作IN⊥HD

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD平行且等于CB

∵AD⊥AC ∠ADE=45°

∴AD=AE=CB

△HAD≌△CAD（SAS）∴∠H=∠ACD=∠MNE∴HD∥NM

∵IN⊥NM DK⊥NM∴四邊形INKD是矩形

所以IN平行且等于DK∵AD⊥AC AG⊥CD

∴∠ACD+∠ADC=∠DAG+∠ADC=90°∴∠DAG=ADC=∠ANM=∠H∵∠NKD=∠DAH=90°

∠DYK=∠AYN ∴∠ADK=∠MNE=∠ACD

∵∠AED=∠CEF=45°∵∠CDE+∠ACD=45°∴∠CDE=∠MDK

在△DKM和△DGM中

{∠KDM=∠GDM ∠DKM=∠DGM DM=DM}∴△DKM=△DGM（AAS）∴DG=DK=IN

在Rt△HIN和Rt△AGD中

{∠H=∠DAG ∠HIN=∠AGD IN=GD}

∴△HIN≌△AGD（AAS）∴HN=AD=AE=CB

∵AH=AC

AC=AE+CE AH=AN+HN

∴AC=CB+AN

第四種：解：延長CN至點H，使HN=CB，連接HD作DR⊥MN，IN⊥HD

∵△DKM≌△DGM（AAS）

∴DG=DK=IN

∵∠DKN=∠DIN=∠90° ∴四邊形INKD為矩形 ∴HD∥NM ∴∠H=∠ANM=∠ACD

在△HAD和△CAD中

{∠H=∠ACD ∠HAD=∠CAD AD=AD}

∴△HAD≌△CAD（AAS）∴AH=AC

∵AH=HN+AN HN=CB ∴AC=CB+AN

當然這個題目還有另外的證明方法，比如分別過AC作平行線也能解答，等等，這里就不一一列舉。

參考文獻：

[1] 栗竹林。幾何系列題研究及證法M 沈陽：東北工學院出版社，1988

[2] 王家鏵 沈文選等。幾何課程研究M 北京：科學出版社，2006

（作者單位：重慶市武隆區平橋中學校）