用數形結合的思想解決問題

張麗華

摘要：《數學課程標準》明確提出數學教育要面向全體學生，實現“人人學有價值的數學；人人都能獲得必須的數學；不同的人在數學上得到不同的發展”。強調在數學教學中要加強學生能力與思想方法的培養，能力是核心（包括運算能力、邏輯推理能力、分析和解決問題的能力等），思想是重點（包括分類討論思想、數形結合思想、模型思想等）。數學是研究數量關系和空間形式的科學.數能精確地揭示研究對象的數量特征，形能直觀地刻畫研究對象的空間結構，因此數形結合思想被廣泛運用于數學的解題過程中。

關鍵詞：數形結合；思想；解決問題

在新課程改革下，教學的最終目標是變革傳統的教學結構，將教師主宰課堂的以教師為中心的結構改變為充分發揮教師的主導作用，以學生為主體的教學結構，那怎樣發揮學生的主體結構呢？用怎樣的方式來解決數學問題，其中最常用的方法之一是“數形結合”法。所謂數形結合法，就是把抽象的數學語言，數量關系與直觀的幾何圖形，位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即抽象思維與形象思維的結合。

一、用“數形結合”的教學方法是由數學的學科特點決定的。

著名的數學家華羅庚指出“人們對數學產生枯燥無味，神秘莫測的印象，原因之一是數學脫落實際”。因此，我們在數學教學過程中就要優化數學教學方法，提高數學教學效率，提升學生學習數學的興趣。

二、用“數形結合”的思想解決問題是數學學科發展的必然性決定的。數缺少形時，抽象；形缺少數時難以準確的判斷。數形結合可以使復雜問題簡單化，抽象問題簡單化，從而使感性思維上升到理性思維。

三、用“數形結合”的方法解決問題的作用

1、數學來源于生活，因此作為教師首先要提高學生的學習興趣，創設情境就顯得特別重要。例如，八年級學習了一次函數與方程和不等式的關系后，提出“最優法”解決方案問題時，教材選擇同學們身邊的事情創設情境，讓大家感受到數學就在身邊。如怎樣選取上網費方式（題目告訴三種不同的收費方式）選取哪種方式能節約上網費。我們可以用“數”列出函數的解析式，找出自變量的取值范圍，通過計算得出哪種上網方式合算，另一方面我們可以作出函數的圖象用“形”更直觀的解決問題，簡化了解題過程。

2、利用“數形結合”的思想可以進一步挖掘題目中的重要信息，加深對公式、定理的理解。

在解決問題時我們可以從數學題目中的概念性質、公式、式子、圖形、符號、語言等所提供知識的產生過程以及結構特征獲得信息。例如，我們在講完全平方公式和平方差公式時，我們直接用數學乘法法則也較容易推導公式，但是學生缺少的是知識的產生過程。我們用“數形結合”的教學方法通過作圖，由圖形的面積之間的關系推導出公式，這樣同學們對公式的由來就會得到更清楚的認識。

3、用“數形結合”的思想可以提升解題能力，提高學習效率。例如探究兩條直線的位置關系時，利用方程組的解，判斷兩直線y=k1x+b1和y=k2x+b2的位置關系能較快的解決。對于二元一次方程組的解只有三種情況：無數個解、一個解、無解分別對應兩條直線的位置關系重合、相交和平行。反過來，如果作出函數的圖象也能較快的得出方程的解。

4、利用“數形結合”的思想能充分揭示“數”與“形”的關系，使枯燥的數學增加幾分趣味性，也能幫助學生拓展知識，強化思維。例如，我們講到平面直角坐標系的時候將描點、求點的坐標、由圖形頂點的坐標求圖形的面積、用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置等問題。

四、應用“數形結合”的思想解題的策略

1、圖象法。伴隨著社會的發展，數形結合的應用范圍越來越廣。人們不但使其在數學學科中原有的應用發揮地淋漓盡致，而且還不斷挖掘它新的應用；不但開始嘗試它在其它學科中的應用，并試圖總結出一些應用規律，而且也在摸索它在生活實際中的應用。例如，氣象部門描繪了上海某天的溫度隨時間變化的函數圖象，請根據圖象回答下列問題（1）這一天的最高氣溫是多少，最低氣溫是多少？（2）在什么時間段氣溫呈上升趨勢，什么時間段氣溫呈下降趨勢。這樣我們借助圖形來研究數量關系或者利用數量關系來研究圖象，可以使問題具體化，復雜的問題簡單化。

2、面積法。很多同學覺得數學學習很枯燥，這是大家沒有真正的理解數學。在我國有多的數學家從來都沒有放下追求真理的目標。偉大的數學家祖沖之所著的《隋書律歷志》留下了一段關于圓周率的記載，以圓形半徑為周長作一正方形，然后把圓形面積和這個正方形的面積的比例定為π。當時圓周率已精確到小心點后第七位，成為當時世界上最先進的成就。又比如說圓的面積公式，根據長方形的面積公式推導出來的，我們把圓分成如果偶數等份，得到若干個小扇形，將這些小扇形對拼就得到一個長方形，這樣長方形的面積等于C/2=rπ，寬是r的長方形。而這個圓的面積與長方形的面積相等。這樣我們就得出了圓的面積公式。

3、轉換法。初中階段的學生剛開始接觸函數，對于函數所反映的數量關系、圖象性質學習起來都比較困難，特別是函數與方程、不等式之間的關系，大家都特別的困惑。這時候我們如果用“數形結合”的思想就可以使問題簡單，明了。例如，二次函數y=ax2+bx+c中a與0的大小關系決定圖象的開口方向，c的正負決定圖象與y軸的交點在正半軸與負半軸上，同時對稱軸由x=-b/2a決定。

總之，數形結合是數學解題過程中經常用的方法，使用數形結合的方法可以使解題快捷、簡便大大提高解題的效率。我們在平時的教學過程中一定要發揮教師的主導作用，調動學生的學習積極性，挖掘學生的潛力，培養學生具有一定的數形結合的思想。

參考文獻：

[1] 《理科教學探究》如何挖掘題目中隱含的解題信息 李林書文章編號1009-010×（2011）07-0045-03

（作者單位：北京景山學校四川廣安實驗學校）