關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算的注記

摘要：在本文中，作者舉例說明了對于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法需要準(zhǔn)確的理解.一般地，作者定義了可分離函數(shù)，并且對其偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算進(jìn)行了討論。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)；可分離函數(shù)

中圖分類號：G642

關(guān)于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，高等數(shù)學(xué)的經(jīng)典教材[2]里有這樣一段描述“至于實(shí)際求z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問題。求fx時，只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求fy時，則只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。”根據(jù)這一描述中的方法，對于具體表達(dá)式給定的二元函數(shù)而言，求其偏導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上就是求導(dǎo)數(shù)。但是，筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生對這一方法的理解是不準(zhǔn)確的。例如，對于二元函數(shù)z=f（x，y）=3xy=3x·3y的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，有學(xué)生運(yùn)用此方法會求得如下錯誤的結(jié)果：

fx=（d3xdx）·3y=13x-23·3y，fy=3x·（d3ydy）=13y-23·3x。

按照偏導(dǎo)數(shù)的定義，二元函數(shù)f（x，y）=3xy的偏導(dǎo)數(shù)為

fx=13x-23·3y，xy≠0

0，y=0，fy=13y-23·3x，xy≠0

0，x=0。

學(xué)生那樣計(jì)算出現(xiàn)了錯誤的結(jié)果，原因是什么？原因在于對描述中的方法沒有做到準(zhǔn)確的理解，以求fy為例，雖暫時把x看作常量，但不能忽視這個常量x會影響二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處對y的偏導(dǎo)數(shù)是否存在。就拿二元函數(shù)f（x，y）=3xy來分析，f（x，y）在點(diǎn)（1，0）處對y的偏導(dǎo)數(shù)是不存在的，但在點(diǎn)（0，0）處對y的偏導(dǎo)數(shù)是存在的。為什么二元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時會出現(xiàn)這種現(xiàn)象？本質(zhì)上歸結(jié)為對于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算我們需要注意到：對于給定常數(shù)k和函數(shù)g（x），當(dāng)k≠0時，kg（x）與g（x）在點(diǎn)x處的可導(dǎo)性是一致的；當(dāng)k=0時，kg（x）與g（x）在點(diǎn)x處的可導(dǎo)性不一定是一致的。用數(shù)學(xué)符號來描述計(jì)算方法通常會顯得簡潔明了，我們用如下的定理來展現(xiàn)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以看作是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

定理設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（a，b）的某一鄰域內(nèi)有定義，且f（x，b）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)（f（a，y）在點(diǎn)y=b處可導(dǎo)），則

f′x（a，b）=df（x，b）dxx=a（f′y（a，b）=df（a，y）dyy=b）。

證明：令φ（x）=f（x，b），則由題意知

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=limΔx→0φ（a+Δx）-φ（a）Δx=φ'（a）=df（x，b）dxx=a存在，

所以f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處對x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f′x（a，b）=df（x，b）dxx=a。

同理可證，當(dāng)f（a，y）在點(diǎn)y=b處可導(dǎo)時有f′y（a，b）=df（a，y）dyy=b

注：求二元函數(shù)f（x，y）在某一固定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時，用上述定理可以減少運(yùn)算量。一般地，設(shè)I是開區(qū)間，對任一x∈I二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x，b）的某一鄰域內(nèi)有定義，且f（x，b）在區(qū)間I上可導(dǎo)，則有f′x（x，b）=df（x，b）dx，x∈I。 如果不強(qiáng)調(diào)區(qū)間I的話，有f′x（x，b）=df（x，b）dx[1]。

前面所舉例的二元函數(shù)是某類二元函數(shù)里的特殊情形，為了理解得透徹，我們給出這類二元函數(shù)的定義：若二元函數(shù)f（x，y）可寫成g（x）h（y），則稱f（x，y）為可分離函數(shù)。我們將對其偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算進(jìn)行討論。

定理1設(shè)二元函數(shù)f（x，y）=g（x）h（y），且g（x）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，h（y）在點(diǎn)y=b處可導(dǎo)，則f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f′x（a，b）=g′（a）h（b），f′y（a，b）=g（a）h′（b）。

證明：因?yàn)間（x）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，h（y）在點(diǎn)y=b處可導(dǎo)，所以f（x，y）在點(diǎn)（a，b）的某一鄰域內(nèi)必有定義，并且有

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δx·h（b）=g′（a）h（b），

limΔy→0f（a，b+Δy）-f（a，b）Δy=g（a）·limΔy→0h（b+Δy）-h（b）Δy=g（a）h′（b），

故f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f′x（a，b）=g′（a）h（b），f′y（a，b）=g（a）h′（b）。

推論設(shè)二元函數(shù)f（x，y）=g（x）h（y），且g（x）在開區(qū)間I1上可導(dǎo)，h（y）在開區(qū)間I2上可導(dǎo)，則f（x，y）在區(qū)域I1×I2上可偏導(dǎo)，且f′x（x，y）=g′（x）h（y），f′y（x，y）=g（x）h′（y），（x，y）∈I1×I2。

定理2設(shè)二元函數(shù)f（x，y）=g（x）h（y）在點(diǎn)（a，b）的某一鄰域內(nèi)有定義，且h（b）≠0，則函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處對x的偏導(dǎo)數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)g（x）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)。

證明：因?yàn)閒（x，y）=g（x）h（y）在點(diǎn)（a，b）的某一鄰域內(nèi)有定義，且h（b）≠0，所以

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）h（b）-g（a）h（b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δxh（b）故limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx存在當(dāng)且僅當(dāng)limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δx存在，即f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處對x的偏導(dǎo)數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng)g（x）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)。

注：如果函數(shù)f（x，y）=g（x）h（y）無零點(diǎn)，且定義域?yàn)閰^(qū)域，則fx=g′（x）h（y），fy=g（x）h′（y）。

定理3設(shè)二元函數(shù)f（x，y）=g（x）h（y）在點(diǎn)（a，b）的某一鄰域內(nèi)有定義，且h（b）=0，則函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處對x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f′x（a，b）=0。

證明：因?yàn)閒（x，y）=g（x）h（y）在點(diǎn)（a，b）的某一鄰域內(nèi)有定義，且h（b）=0，所以

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）h（b）-g（a）h（b）Δx=limΔx→00Δx=0

故函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（a，b）處對x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f′x（a，b）=0。

注：如果可分離函數(shù)f（x，y）=g（x）h（y）的定義域?yàn)閰^(qū)域，且h（b）=0，則f′x（x，b）=0，x∈Dg。

更一般地，可分離函數(shù)這一概念可以推廣到多元函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)論也可以類似得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]費(fèi)定暉，周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1999（第2版）.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008（第5版）.

作者簡介：閻航宇（1981），男，漢族，浙江寧波人，博士，中國藥科大學(xué)講師，研究方向：代數(shù)及其應(yīng)用。