關于偏導數計算的注記

摘要：在本文中，作者舉例說明了對于二元函數的偏導數計算方法需要準確的理解.一般地，作者定義了可分離函數，并且對其偏導數計算進行了討論。

關鍵詞：二元函數；偏導數；可分離函數

中圖分類號：G642

關于二元函數的偏導數計算，高等數學的經典教材[2]里有這樣一段描述“至于實際求z=f（x，y）的偏導數，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以仍舊是一元函數的微分法問題。求fx時，只要把y暫時看作常量而對x求導數；求fy時，則只要把x暫時看作常量而對y求導數?！备鶕@一描述中的方法，對于具體表達式給定的二元函數而言，求其偏導數本質上就是求導數。但是，筆者在教學實踐中發現有學生對這一方法的理解是不準確的。例如，對于二元函數z=f（x，y）=3xy=3x·3y的偏導數計算，有學生運用此方法會求得如下錯誤的結果：

fx=（d3xdx）·3y=13x-23·3y，fy=3x·（d3ydy）=13y-23·3x。

按照偏導數的定義，二元函數f（x，y）=3xy的偏導數為

fx=13x-23·3y，xy≠0

0，y=0，fy=13y-23·3x，xy≠0

0，x=0。

學生那樣計算出現了錯誤的結果，原因是什么？原因在于對描述中的方法沒有做到準確的理解，以求fy為例，雖暫時把x看作常量，但不能忽視這個常量x會影響二元函數f（x，y）在點（x，y）處對y的偏導數是否存在。就拿二元函數f（x，y）=3xy來分析，f（x，y）在點（1，0）處對y的偏導數是不存在的，但在點（0，0）處對y的偏導數是存在的。為什么二元函數求偏導數時會出現這種現象？本質上歸結為對于一元函數的導數計算我們需要注意到：對于給定常數k和函數g（x），當k≠0時，kg（x）與g（x）在點x處的可導性是一致的；當k=0時，kg（x）與g（x）在點x處的可導性不一定是一致的。用數學符號來描述計算方法通常會顯得簡潔明了，我們用如下的定理來展現二元函數偏導數的計算可以看作是一元函數的導數計算。

定理設二元函數f（x，y）在點（a，b）的某一鄰域內有定義，且f（x，b）在點x=a處可導（f（a，y）在點y=b處可導），則

f′x（a，b）=df（x，b）dxx=a（f′y（a，b）=df（a，y）dyy=b）。

證明：令φ（x）=f（x，b），則由題意知

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=limΔx→0φ（a+Δx）-φ（a）Δx=φ'（a）=df（x，b）dxx=a存在，

所以f（x，y）在點（a，b）處對x的偏導數存在，且f′x（a，b）=df（x，b）dxx=a。

同理可證，當f（a，y）在點y=b處可導時有f′y（a，b）=df（a，y）dyy=b

注：求二元函數f（x，y）在某一固定點的偏導數時，用上述定理可以減少運算量。一般地，設I是開區間，對任一x∈I二元函數f（x，y）在點（x，b）的某一鄰域內有定義，且f（x，b）在區間I上可導，則有f′x（x，b）=df（x，b）dx，x∈I。 如果不強調區間I的話，有f′x（x，b）=df（x，b）dx[1]。

前面所舉例的二元函數是某類二元函數里的特殊情形，為了理解得透徹，我們給出這類二元函數的定義：若二元函數f（x，y）可寫成g（x）h（y），則稱f（x，y）為可分離函數。我們將對其偏導數計算進行討論。

定理1設二元函數f（x，y）=g（x）h（y），且g（x）在點x=a處可導，h（y）在點y=b處可導，則f（x，y）在點（a，b）處的偏導數存在，且f′x（a，b）=g′（a）h（b），f′y（a，b）=g（a）h′（b）。

證明：因為g（x）在點x=a處可導，h（y）在點y=b處可導，所以f（x，y）在點（a，b）的某一鄰域內必有定義，并且有

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δx·h（b）=g′（a）h（b），

limΔy→0f（a，b+Δy）-f（a，b）Δy=g（a）·limΔy→0h（b+Δy）-h（b）Δy=g（a）h′（b），

故f（x，y）在點（a，b）處的偏導數存在，且f′x（a，b）=g′（a）h（b），f′y（a，b）=g（a）h′（b）。

推論設二元函數f（x，y）=g（x）h（y），且g（x）在開區間I1上可導，h（y）在開區間I2上可導，則f（x，y）在區域I1×I2上可偏導，且f′x（x，y）=g′（x）h（y），f′y（x，y）=g（x）h′（y），（x，y）∈I1×I2。

定理2設二元函數f（x，y）=g（x）h（y）在點（a，b）的某一鄰域內有定義，且h（b）≠0，則函數f（x，y）在點（a，b）處對x的偏導數存在當且僅當函數g（x）在點x=a處可導。

證明：因為f（x，y）=g（x）h（y）在點（a，b）的某一鄰域內有定義，且h（b）≠0，所以

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）h（b）-g（a）h（b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δxh（b）故limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx存在當且僅當limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δx存在，即f（x，y）在點（a，b）處對x的偏導數存在當且僅當g（x）在點x=a處可導。

注：如果函數f（x，y）=g（x）h（y）無零點，且定義域為區域，則fx=g′（x）h（y），fy=g（x）h′（y）。

定理3設二元函數f（x，y）=g（x）h（y）在點（a，b）的某一鄰域內有定義，且h（b）=0，則函數f（x，y）在點（a，b）處對x的偏導數存在，且f′x（a，b）=0。

證明：因為f（x，y）=g（x）h（y）在點（a，b）的某一鄰域內有定義，且h（b）=0，所以

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）h（b）-g（a）h（b）Δx=limΔx→00Δx=0

故函數f（x，y）在點（a，b）處對x的偏導數存在，且f′x（a，b）=0。

注：如果可分離函數f（x，y）=g（x）h（y）的定義域為區域，且h（b）=0，則f′x（x，b）=0，x∈Dg。

更一般地，可分離函數這一概念可以推廣到多元函數，相應的結論也可以類似得證。

參考文獻：

[1]費定暉，周學圣.數學分析習題集題解[M].濟南：山東科學技術出版社，1999（第2版）.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2008（第5版）.

作者簡介：閻航宇（1981），男，漢族，浙江寧波人，博士，中國藥科大學講師，研究方向：代數及其應用。