加速度法與大剛度法探究分析

韓靜濤

摘 要：隨著高速鐵路橋梁占客運專線比例的增加，地震發生時列車過橋概率隨之變大；而大跨度斜拉橋近年來在我國得到迅速發展和廣泛應用，其抗震性能一直受到工程界的普遍關注。本文采用大型有限元軟件ANSYS，運用APDL語言進行編程，建立框架模型，根據加速度法和大剛度法的機理，對比是否存在差異。

關鍵詞：大剛度法；加速度法；行波效應

1. 大剛度法現狀

現如今，大跨度橋梁結構在地震作用下的響應分析方法種類很多，主要包括確定性的和非確定性的兩部分，其中在確定性和非確定性響應分析的基礎上，又可以分為時程分析法和頻域分析法及相應的簡化方法，除此之外還有一些近似分析方法。采用不同的分析方法，其地震波輸入方式也就不同。而時程分析法是一種重要的分析方法，它是通過直接動力分析可得到結構隨時間的相應變化，能夠真實地反應結構地震隨時間相應變化的全過程。本章將著重研究斜拉橋一致激勵和多點激勵非線性地震反應時程分析。此外，大剛度法的求解精度和適用性問題也存在一些爭議，例如 Chen J T ， Hong H-K 等[1]基于瑞利阻尼的 Bernoulli-Euler 梁遭受支座非一致擾動的動力學模型，給出了大剛度法與傳統方法結果的對比，從它給出的結果可以看出，大剛度法與理論值存在一定的偏差。即便如此，董益亮等[2]仍通過大剛度法在結構分析中仍取得了一些研究成果。

2.運動方程建立

2.1 一致激勵運動方程（加速度法）

在地震作用下，多自由度體系一般運動微分方程為[3]：

（2-1）

在一致激勵作用下，橋梁結構各點輸入同相位的同一加速度時程，可以用以下式子來表示：

（2-2）

采用式（2-2）求解時成為加速度法，即一致激勵，在有限元軟件ANSYS中，通過ACEL命令就可以實現加速度一致激勵，可適用于線性分析和非線性分析。

2.2 多點激勵運動方程（大剛度法）

在多點激勵作用下，橋梁結構除了受到地震動引起的慣性力外，還包括各支撐相對位移在結構構件間產生的內力——擬靜力。擬靜力是一種隨時間變化，卻能使結構保持平衡的靜內力。基于此，1969年 Dibaj 和 Penzien[4]在分析土壩地震反應時，將結構反應的總位移分解為擬靜力位移和動力相對位移兩部分，推導出了多點激勵作用下結構的運動方程。其基本求解思路是：先用靜力法求得結構擬靜力位移，然后將擬靜力位移回代入原方程以求出結構動力相對位移，最后求出結構的總位移[5]。

如圖2-2所示，采用大剛度法求解結構的非一致地震響應時，首先需釋放沿地震波輸入方向的約束自由度，并在該自由度方向增設不動點（如圖2-1中的1和2），不動點只與原支座節點發生聯系，在各不動點與原支座節點之間增設聯系剛度K（此剛度為大剛度，一般為全橋剛度的106左右為宜）。通過在原支撐節點1和2上沿地震波輸入方向分別施加等效節點荷載 P1=Kx1和 P2=Kx2 來模擬地震地面運動，其結構非一致地震響應的運動方程可表達為：

（2-3）

將式（2-3）第二行展開得：

（2-4）

兩邊同時乘以 可得：

（2-5）

將阻尼矩陣通過Rayleigh阻尼模型替換，同時由于K0的值遠大于其它項，則公式（2-5）可以簡化為：

（2-6）

而本文采用大剛度法求解時，采用自編程序，忽略了支撐點處的大剛度項，消除采用大剛度法時Rayleigh阻尼模型所帶來的附加阻尼，此時

Cbb=αMbb+βKbb （2-7）

由于K0的值遠大于Mbb和Kbb，將式（2-7）帶入式（2-6），此時可得：

xb （t）≈xg （t） （2-8）

因此可以看出，本文自編程序可確保輸入地震動位移的精度。采用大剛度法求解時只需輸入地震動位移時程，即可求出橋梁所需位置的響應。本文所涉及的大剛度法中，大剛度的取值為全橋剛度值擴大10的6次方倍。

大剛度法在考慮行波效應與否的情況下，對于橋梁結構來說，主要存在的差異表現在哪些方面，需要通過一系列求解數據來分析得到，本節將選用 El-centro 波作為地震波激勵源，該地震波是世界上第一條成功記錄全過程數據的地震波，最大加速度超過300Gal的強震記錄，其加速度、速度以及位移時程如圖2-8～2-10所示。為探討大剛度法考慮行波效應與未考慮行波效應所存在的問題，建立多自由度框架模型如圖2-12和2-13所示，每個節點質量為40kg，框架長400m，100m，剛度k=3×104N/m ，采用 Rayleigh 阻尼模型確定系統的阻尼矩陣，結構阻尼比為0.05。

本文采用自編程序求解，在相同地震作用下，對比大剛度法在是否考慮行波效應的工況下，可能直接導致計算得到的多自由度框架體系的節點位移、速度和加速度出現差異。支座部分仍按上文所述，在三向地震作用下，取消三向約束，以大剛度（大剛度為原結構剛度的10的6次方倍）彈簧取代，框架長400m，所選的臺站 Array #9 的 El-centro 波的剪切波速為213.44m/sec，時域積分步長為0.01sec，考慮行波效應的時差t為1.874sec，地震記錄點位差為188個。

在輸入如圖2-10的地震波位移時程，在大剛度法模型中，考慮兩種工況：工況一，未考慮行波效應，圖中表示為case1，工況二，考慮行波效應，圖中表示為case2，兩者之間的差值表示為error，求解得到節點2，節點4的位移、速度、加速度的時程對比曲線，如圖2-13～2-18所示。

3. 結論

從圖中可以看出，大剛度法行波效應在多自由度框架體系的邊部節點2處y、z方向的位移、速度、加速度響應呈現出一定的滯后效應，但是并不明顯，但在x方向的變化差異較大，這表明行波效應對于大跨度結構的動力響應確實存在著不可忽視的影響。而在跨中節點4處，兩種工況下，位移、速度、加速度相應位置的值變化差異都很大，但是，圖形的走勢基本相同，這表明行波效應對于大跨度結構跨中區域來說，相當于延長了結構某些相應的周期。

4. 參考文獻

[1] Chen J T， Hong H-K， Yeh C S. Integral representations and regularizations foe a divergent series solution of a beam subjected to support motions[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 1996， 25（9）： 909-925.

[2] 董益亮， 郭鋼， 徐宗俊. 道路激勵作用下的汽車后橋動力響應分析[J]. 汽車工程， 2002， 24（4）： 339-343.

[3] 范立礎. 橋梁抗震[M]. 上海： 同濟大學出版社， 1997.

[4] Dibaj M， Penzien J. Response of earth dams to traveling seismic waves[J]. J. Soil Mech. & Found. Div， 1969.

[5] 雷虎軍. 非一致地震激勵下列車—軌道—橋梁耦合振動及行車安全性研究[D]. 四川： 西南交通大學博士學位論文， 2010.

基金項目：江蘇省揚州大學研究生科研與實踐創新計劃項目（XSJCX17_024）