PMSM驅動機器人的哈密頓與Fal函數PD協調控制

王 悅，于海生，吳賀榮

WANG Yue, YU Hai-sheng, WU He-rong

（青島大學 自動化學院，青島 266071）

0 引言

由于在實際的機器人動力學當中存在動態耦合、高非線性、時變參數和未知干擾等諸多不良因素，機器人的跟蹤控制問題依然具有挑戰性[1]。近幾年來，為了克服這一具有挑戰性的問題學者們提出了不同的控制策略。文獻[2]提出了一種基于位置-轉矩轉換的滑模反演控制方法，實現了對機械臂伺服電機的直接控制。文獻[3]提出了一種結合了時滯控制與極點配置的自適應滑膜控制方法，這種方法最終使跟蹤誤差收斂到了一個極小的界限。文獻[4]所提出的兩種用以控制參數不確定的機器人系統的自適應控制方法。文獻[5]提出了一種以多關節的機械手指為對象的模糊自適應方法，以此來克服機器人難以精確建模的問題，但是，其位置跟蹤控制的控制精度并不理想。文獻[6]提出的一種基于時滯估計的連續分數階非奇異終端滑模的機器人跟蹤系統，具有優秀的動態性能。近年來越來越多的學者從能量的角度出發設計機器人位置跟蹤控制器。其中，端口受控哈密頓耗散（PCHD，port-controlled Hamiltonian dissipation）系統在非線性系統控制中有著極其重要的應用[7,8]。文獻[9]從能量平衡的角度提出了機器人位置跟蹤控制器。文獻[10]提出了未知端口的哈密頓系統的L2神經網絡自適應控制策略。文獻[11]設計了哈密頓模型的魯棒性積分控制，并給出全局漸近穩定的證明方法。文獻[12]對于傳動機構摩擦力進行了詳細建模并在此基礎上采用無源性控制策略對機器人進行位置跟蹤控制。以上文獻對于這一問題的研究控制策略都是從信號或者能量單一角度提出的，但是從單一角度設計控制策略難以滿足機器人控制系統所要求的快速性，準確性和穩定性。文獻[13]對此做出了初步研究。本文分別從能量和信號的角度設計控制策略，能量控制器選擇端口受控耗散哈密頓控制加積分控制[14～16]，信號控制器選擇基于模型補償與Fal函數的比例微分（PD）控制[17～20]，進而設計協調控制策略以此來實現兩種控制器對機器人系統的協調控制。從實際角度出發，將機器人動力學與關機伺服電機控制結合起來,采用滑模控制設計隱極永磁同步電機（PMSM，permanent magnet synchronous motor）的電流控制，實現機器人與驅動電機整體控制。

1 二自由度機器人模型

1.1 機器人動力學模型

二自由度機器人如圖1所示。機器人動力學方程為：

圖1 二自由度機器人示意圖

1.2 PMSM數學模型

驅動機器人第i關節的隱極（Ld=Lq）PMSM在d-q坐標系下的數學模型為[16]：

式中，i=1,2；Lqi和Ldi分別是q軸和d軸的定子電感；iqi和idi分別為q軸和d軸的定子電流；uqi和udi分別為d軸和q軸的定子電壓；Rsi為定子電阻；npi為極對數；ωi為轉子機械角速度；Jmi為電機轉動慣量；τLi為負載轉矩；Φi為永磁同步電機產生的磁鏈；θi為永磁同步電機角位移；qi為機器人關節角位移；kri為齒輪減速比。

2 機器人位置控制設計

2.1 機器人控制方案

機器人控制系統方案如圖2所示，對于給定的機器人的位置曲線進行跟蹤，采用PCHD控制加積分控制作為能量控制器，采用基于模型補償和Fal函數的PD控制作為信號控制器。采用協調控制策略，將能量控制與信號控制相協調，輸出τ1、τ2。通過電流轉換得出iqi，同時根據控控制原理，采用滑模控制對隱極PMSM電流進行控制，從而實現機器人與電機的高性能控制。

圖2 機器人控制系統示意圖

2.2 電流環控制器設計

驅動電機的電流環采用i*d=0原理的滑模控制器。在穩態時有：

根據式(2)中的式(3)、式(5)得：

分別設計滑模面：

分別選擇趨近律：

其中，cli、c2i、εli、ε2i、kli、k2i均為大于零的常數。

根據式(3)、式(7)、式(8)可得到滑模控制律為：

選擇李雅普諾夫函數Vpmsm=sTs/2，有Vpmsm>0，，該子系統是全局漸近穩定的。

2.3 PCHD控制加積分控制器設計

系統的總能量為：

其中，p為角動量。

由機械手的動力學方程及系統能量方程可以寫出，二自由度機械手的PCHD形式：

其中，x=[q p]T；；I為2×2維單位矩陣。系統的平衡點x0=（q10，q20，0，0）T，對于在平衡點處構造新的能量函數Hd，其中Kp=diag{kp1kp2}>0。

存在反饋控制：

使閉環系統為：

由式(10)，式(12)，式(13)得：

由文獻[8]可知，子系統是全局漸近穩定的。

根據文獻[11]與文獻[21]可知引入積分控制后的新的閉環系統仍是PCHD系統，其穩定性不變。

2.4 基于模型補償加Fal函數的非線性PD控制

近年來，利用Fal函數構造非線性PD控制器的控制策略取得了良好的成果[20]。由于Fal函數具有收斂速度快的特性，為了改善機器人位置跟蹤的動態過程，使系統快速達到穩定狀態，利用此函數構造非線性模型補償PD控制[22]。設qi為反饋的實際機器人角位移，qi0為給定的機器人角位移i=1,2。定義ewi=（qi-qi0），得到

存在函數：

設計滑模函數：

基于模型補償原理，由式(1)、式(14)、式(15)求出控制律為：

其中KD=diag{kD1，kD2}是一個正定常數矩陣。取：

2.5 協調控制策略設計

定義C1、C2、C3、C4分別為能量控制器與信號控制器的協調函數，取：

其中，ai、bi均為常數，i=1,2，根據實際需求設定。由于機械臂在運動過程中存在誤差，當|q1-q10|≥0.0005（rad）、|q2-q20|≥0.001（rad）時采用協調控制，協調控制律為：

根據文獻[23]可知，如果子系統穩定且協調函數滿足t=0時，C1=C3=0，C2=C4=1；當0

3 仿真結果及分析

為了驗證控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平臺上進行仿真，機器人參數：L1=L2=1m，m1=m2=1kg。PMSM參數：Lid=Liq=0.00085H，Ris=2.875Ω，nip=4，Φi=0.175，Jim=0.02Kgm2，kri=100。選擇PCHD控制加積分控制的參數為Kp1=30000，Kp2=40000，r21=300，r22=300，給定跟蹤信號為q1=sin（0.8t），q2=sin（0.8t）。相同參數下的PCHD控制與PCHD加積分控制的誤差比較曲線如圖3、圖4所示。顯然采用PCHD加積分控制的控制效果明顯要優于單純的PCHD控制。

圖3 關節1位置誤差比較曲線

圖4 關節2位置誤差比較曲線

選擇基于模型補償加Fal函數的PD控制參數為δ1=0.07，δ2=0.01，δ3=0.03，δ4=0.01，α1=0.65，α2=0.98，α3=0.75，α4=0.90，K1=10，K2=10，KD1=500，KD2=500。模型補償加Fal函數的PD控制與傳統的PD加重力補償控制的位置跟蹤誤差對比曲線如圖5、圖6所示。顯然，與傳統的基于模型補償的PD控制相比，加入Fal函數后的控制策略在過渡過程更加快速，具有更加優秀的動態性能。

圖5 關節1位置誤差比較曲線

圖6 關節2位置誤差比較曲線

將能量控制器與信號控制器進行協調控制，目的是為了在兼顧優秀的動態過程的同時，使機器人系統在穩態性能更好由選擇協調控制器參數為a1=37，b1=0.18，a2=37，b1=0.22。協調控制策略與單一的信號控制或者能量控制的位置跟蹤誤差比較曲線如圖7、圖8所示。協調函數曲線如圖9所示，可以看出，在跟蹤開始時C1=C3=1信號控制器起主要作用，當0.2s秒左右時，協調函數變化率最大，當0.4S時，C2=C4=1能量控制器起主要作用，這樣滿足了動態過程的快速性，又保證了穩態運行中的穩定性性。

圖7 關節1位置誤差比較曲線

圖8 關節2位置誤差比較曲線

圖9 協調函數曲線

由仿真結果知，在協調控制策略下系統兼顧了信號控制動態性能好和能量控制穩態性能好中可靠性高的特點。

4 結語

針對二自由度機器人位置控制系統跟蹤控制難以兼顧快速性和準確性的問題，設計了基于能量控制器與信號控制器的協調控制策略。采用PCHD控制加積分控制作為能量控制器，采用基于模型補償加Fal函數的PD控制作為信號控制器。用滑模控制將機器人伺服驅動控制分解為中間子系統并進行控制，通過電流轉換將機器人動力學與伺服電機電流控制結合起來。由仿真結果得出，采用信號控制與能量控制的協調控制策略，機器人控制系統具有兼具快速性和準確性的優點。