明安圖對交錯級數的表述及處理

王鑫義，郭世榮

(內蒙古師范大學 科學技術史研究院,內蒙古 呼和浩特 010022)

明安圖(1692—1763?),字靜庵,蒙古族,奉天正白旗(今內蒙古正鑲白旗)人,清代著名的數學家、天文學家、測繪學家。他研究由杜德美(P.Jartoux,1668—1720)傳入的3個無窮級數長達30年,1730年前后開始著《割圓密率捷法》(以下稱《捷法》),臨終時留下《捷法》(四卷)初稿,經由羅士琳、岑建功等校勘后于1839年正式出版。《捷法》是中算史上第一部將三角弦矢函數展開為無窮級數的著作,卷一主要講了“杜明九術”,卷二中首次將無窮級數應用于天文計算。以往的數學史研究者對明安圖的生平事跡及其數學貢獻做了詳細考究[1-4],并運用“翻譯”和算理分析等方法對《捷法》卷三和卷四中的算法理論做了相當多的研究[5-14]。《捷法》卷一的“杜明九術”中有五術為正項級數,其余四術為交錯級數,在“弧背求正弦”、“弧背求正矢”、“弧背求通弦”、“弧背求矢”四術中,“弧背求正弦”與“弧背求通弦”的算法相同,后者只是比前者的各項都多出除以四,“弧背求正矢”與“弧背求矢”的算法相同,后者只是比前者各項都多出除以四,因而本文只對“弧背求正弦”與“弧背求正矢”兩術做具體分析。

1 梅瑴成在“求正弦正矢捷法”中的左右書寫形式及處理方法

梅瑴成(1681—1763)把法國傳教士杜德美于1701年帶來的3個無窮級數展開式收入《赤水遺珍》中,只稱“譯西士杜德美法”,并在“求正弦正矢捷法”中列舉了求正弦二例和求正矢一例。“求正弦正矢捷法”實為兩個關鍵展開式,以“設弧二十一度十九分五十一秒,半徑八位,求其正弦”為例:

“以第一得數與第三得數相并。又以第二得數與第四得數相并。末以后并數減先并數,余三六三七五二五四。截去末一位,即所求之正弦也。”[15]

梅瑴成將每次計算的得數分類處理,先把奇數類加和,偶數類加和,再進行做差運算。原文中蘊含著具體的運算步驟,并配有相應的圖式,做到圖文對照,如下圖:

圖1 “求正弦”一例中的分類處理方法Fig.1 Pictures in Chi Shui Yi Zhen

在上圖的左半部分中,梅瑴成用“丨”表示第一得數(37229325),記于第一得數的右邊,用“”表示第二得數(860011),記于第二得數的右邊,后仿此。用各數碼表示與之對應的各得數的序號,這樣不同的表示方法,是為了便于區分各得數。在上圖的右半部分中,梅瑴成先將第一得數與第三得數(5959)加和,第二得數與第四得數(19)加和,奇數類得數記于右邊,偶數類得數記于左邊,再將所得的和做差運算。在具體運算的過程中,各得數旁邊的數碼繼續用上圖左邊的表示方法對應標記,以防混淆奇偶類得數。

2 《捷法》中的具體記述及處理方法

2.1 關于“弧背求正弦”的記述

明安圖在《捷法》卷一的“弧背求正弦”中對具體的運算操作進行了充分闡述,從文中可以看到他的處理方式:

“以弧背本數為第一條。次以半徑為連比例第一率,弧背為連比例第二率求得連比例第三率。次置第一條,以三率乘之、一率除之,得第四率數。二除之,又三除之,得數為第二條,應減,另書之。次置第二條,以三率乘之,一率除之,得第六率數。四除之,又五除之,得數為第三條,應加,書于第一條之下。次置第三條以三率乘之、一率除之,得第八率數。六除之,又七除之,得數為第四條,應減,書于第二條之下。……,第一條、第三條、……相并,第二條、第四條、……相并,兩總數相減,得數即正弦。”[16]

據羅見今在《捷法》譯注中的記法[4],將“弧背求正弦”公式(格列高里1667年所創)表示為:

(1)

第n條un為展開式第n項(n=1,2,…),令u1=a,有:

(2)

(3)

可將式(1)記為

(4)

將各項按原文要求分類處理,見表1。

明安圖將“弧背求正弦”中的奇數項記為正,偶數項記為負,一加一減,正負相間,將此交錯級數記為Mn1:

(5)

為計算各項正負相間的值,他將正值(條數為奇)記在右邊(或上面)相加,將負值(條數為偶)在左邊(或下面)相加,兩和再相減。

若記Mn1=u′-v′,(n≥1)

(6)

則有

u′=u1+u3+u5+…+u2n-1+…

(7)

v′=u2+u4+u6+…+u2n+…

(8)

其中,u′為右邊奇數條相并后的總數,v′為左邊偶數條相并后的總數,Mn1為兩總數的差。

表1 正負項的左右書寫形式Tab.1 Right and left writing form in Jie Fa

2.2 關于“弧背求正矢”的記述

據《捷法》卷一“弧背求正矢”中的記載:

“以半徑為連比例第一率,弧背為連比例第二率,求得連比例第三率。二除之,得數為第一條。次置第一條,以三率乘之、一率除之,得第五率數。三除之,又四除之,得數為第二條,應減,另書之。次置第二條,以三率乘之、一率除之,得第七率數。五除之,又六除之,得數為第三條,應加,書于第一條之下。次置第三條,以三率乘之、一率除之,得第九率數。七除之,又八除之,得數為第四條,應減,書于第二條之下。……,第一條、第三條、……相并,第二條、第四條、……相并,兩總數相減,得數即正矢。”[16]

按羅見今在《捷法》譯注中的記法[4],則有:

(9)

(10)

(11)

可將式(9)記為

(12)

將各項按原文要求分類處理,見表2。

表2 正負項的左右書寫形式Tab.2 Right and left writing form in Jie Fa

將此交錯級數記為Mn2,則

Mn2=b=rversα=

(13)

若記

Mn2=u″-v″,(n≥1)

(14)

則有

(15)

(16)

其中,u″為右邊奇數條相并后的總數,v″為左邊偶數條相并后的總數,Mn2為兩總數的差。

2.3 卷二中的左右書寫形式及處理方法

據《捷法》卷二“角度求八線”中的記載:

“弧背為第一條,書右。……第二條,書左。……第三條,書右。……第四條,書左。每次得數降二位,第四條數尚有三位,須求第五條數。……第五條,書右。第五條數止一位,第六條數必在小余下,故可省求。次并右三條,…,并左二條。置右總數減左總數,……。在舊法當一減一加累求之。今以應加者書右,應減者書左,只用加二次、減一次,較為省便。”[16]

與卷一中不同的是,文中將“角度求八線”中的各條數用相應的算式來表述:

表3 奇偶數條的左右書寫形式Tab.3 Right and left writing form of odd and even entries in Jie Fa

明安圖將交錯級數看作是兩個正項級數做差的運算,認為在處理交錯級數的過程中,一加一減容易混淆正負項,計算的過程相對比較繁雜,而經這樣處理后,不僅能大大減少運算量,較為省便,且不容易混淆出錯。

2.4 岑建功對此類處理方法的相關記述

岑建功在校勘《捷法》時提到,《赤水遺珍》中所輯錄的公式精密便捷,并在《捷法》卷一的“弧背求正弦”中明確講到了這種處理方法的源起:

“建功案:此加、減乃西法通例也。若援古開方例,以正負別加減,于二、四、六、八等應減之條為負數,用斜畫作志,似較另書之例甚便,且無混淆之慮。”[16]

明安圖將應加與應減的條數分開布列,岑建功補充說:這種將正負條數分開標記的方法實屬西法,在古代的開方法中,區分正負的方法是把二、四、六、八等應減去的各條用一斜畫為記號作為負數,比“另書之”較為方便,更不容易混淆。李冶發明的負號,通常畫在最后一位有效數字上,也就是在最后非零的數碼上畫一“”號[17]，李冶用一斜劃在數字上表示負數的這種記法和他以前的赤、黑籌記法相比是一種改進。顯然,岑建功在對比了中西正負數表示法后,認為用一斜畫做記號的方法更簡、更優,一方面沒有跟從或效仿明安圖的做法,沒有認識到這樣分類處理的便捷之處,另一方面他認為煥然一新的表示法是對傳統表示法的一種破壞。“另書之”的方法與現今的加法豎式運算極為相近,較之以前的正負數記法來說,不僅擺脫了以往算籌對位置極大的依賴性,而且使得各位數字對齊也為計算提供了便利。

梅瑴成在《赤水遺珍》中輯錄的3個無窮級數展開式沒有證明和推導過程,明安圖得知此事后,以“僅有其法而未詳其義,恐人有金針不度之疑”[16]之由,開始研究“杜氏三術”。1713年前后,明安圖開始在欽天監工作,1721年前后梅瑴成與明安圖、何國宗等人同在蒙養齋學習,明安圖知曉梅瑴成所輯錄的“杜氏三術”是受了西法的影響,在處理此類問題時借鑒了梅瑴成所用的處理方法,并在他的基礎上加以發揮,將交錯級數看作是兩個正項級數做差的運算。無窮級數涉及的項數較多,運算量較大,斜畫“”等記法對單項式和多項式正負項的區分較為便利,對無窮級數來說,不一定能起到優化的作用,而這樣正負左右分開的記法還帶有明顯的分類、歸類的目的,不僅減少了運算次數,而且不容易混淆各項的正負。可以說,這在認識上是進步的,技術上也是先進的。

3 明安圖對收斂性問題的認識

若《捷法》卷一中的四術滿足:

(i)各項是單調遞減的,即un+1

則此交錯級數為萊布尼茲級數。

此類交錯級數的斂散性,可以通過以上兩個條件進行判別,這種判別法稱為萊布尼茲判別法,或稱為萊布尼茲定理[18],或稱為萊布尼茲準則[19]。可知Mn1和Mn2均滿足萊布尼茲級數的兩個條件,故而Mn1和Mn2為萊布尼茲級數,同理可得“弧背求正弦”、“弧背求正矢”、“弧背求通弦”、“弧背求矢”四術中的交錯級數均為萊布尼茲級數。

而明安圖在《捷法》卷二“角度求八線”中先求得弧長,再將弧長的值代入“弧背求正弦”的級數展開式中去計算,通過表3中各條數的變化可以看到各項數值在依次減小。在卷二的其他題目中,所用的方法都與“角度求八線”的方法相同,且其他題目中的各項也都是依次減小的。在卷二的實際問題中,如“第五條數止一位,第六條數必在小余下,故可省求”[16],“第二條得數僅二位,而比第一條數降四位,則第三條數必降至奇零下,即無庸求”[16]。即是說,通過降位當計算到出現純小數時,便停止計算。就他對交錯級數的運用來看,有以下幾個特點:

1)只計算有限個條數的和與差,終極目標則是為解決實際問題。

2)對計算結果的變化規律已有了很清楚地判斷,并能預見計算結果。

3)無限多個條數的和與差對他來說是一個新概念,未能澄清自己對何謂無限多個條數的和與差的認識。

4)借助分類的方法將無限多個條數的和與差轉化為有限個條數的和與差,雖無限多個條數的和與差與所處理的有限個條數的和與差相聯系,但在這里二者是孤立的。

5)所處理的交錯級數都相當于單調減少有界的,且都恰好是(絕對)收斂的。

6)雖各項的絕對值趨近于0的條件比分析學中討論級數斂散性的條件弱,但對級數收斂有了一定的認識。

明安圖用這種新穎的分類方法來處理交錯級數,所帶來的效果是顯而易見的。簡潔便利的實現得益于分類化的處理,將不再依賴于原有做記號的正負項標記形式,而分類化的處理方式又被往后的中算家所極力效仿,這也是明安圖積極學習西算中的處理方法的有益嘗試。

因為級數是有限和的推廣,有鮮明的直觀性[20]。卷二中明安圖通過有限項的計算進而把握無限項的變化,將直觀基礎用于交錯級數的計算,很好地判斷計算結果的變化規律,反映了他對級數收斂的認識。不過對級數收斂性的認識較為模糊,缺乏分析的說明,也未能給出級數收斂的相關條件。他把函數級數看作是數值級數來對待,幾乎與多項式類似,實際上是把多項式運算形式地平移到級數中來的結果[21],即它仍然只是形式運算[22]。這樣分類處理意在簡化運算,因而沒有熱衷于深究與此無關的性質。把冪級數看作無窮多個項的多項式是很方便的,可以先不考慮其收斂性,而把它們當成多項式加以計算,給定兩個形式冪級數就可以構成它們的線性組合[23]。

4 結 語

明安圖對交錯級數的表述及處理源于西法,又緣于梅瑴成在《赤水遺珍》中所使用的分類處理方法,將問題化難為易,化繁為簡,這種新形式使我們處理交錯級數時具有更大的靈活性,并提供了新方法。他認為一加一減容易混淆正負項,計算的過程相對比較麻煩,而將萊布尼茲級數看成“正部分”與“負部分”之差再進行運算,這樣處理相當于構造了兩個新的正項級數。然而,他對無窮級數的認識局限于代數中多項式的有限次加減運算,在實際應用問題中只給出滿足精度的有限項數,未能說明這樣分類處理及運算的合理性,也沒有詳細說明這樣處理的前提是分解成的無窮級數都收斂。這畢竟還是在形式級數本身的“彈性限度”內,也正因如此,將運算結果推廣至無窮項后,運算仍是可行的,結果仍是準確的。

致謝特別感謝審稿專家所給的修改意見。此外,本文得到羅見今教授的幫助,也得到2017年第七屆數學史與數學教育研討會參會師友的建議,在此一并致謝。