從“函數的奇偶性”說概念變式研究

韓紅梅

[摘 ?要] 變學科教學為學科教育的概念變式研究將學生的核心素養發展更好地融入學科核心素養中，教師在實際教學中應充分關注學生在學科知識與能力的發展、思維品質的提升以及知識的運用，積極引導學生對世界展開更為廣闊的視角并因此充滿生活與學習的熱情.

[關鍵詞] 函數;奇偶性;概念;變式

生活中無處不在的對稱美在函數的奇偶性這一重要內容上也有具體的體現，本文結合實際問題以及筆者的教學實踐，從“函數的奇偶性”出發淺要談談概念變式研究的一點想法.

問題的提出

問題1：運用數量刻畫圖像的對稱性應怎樣操作？

學生對圖像進行觀察可得：f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），推廣到一般，f（-x）=x2=f（x）. 學生在新符號的理解上表現得陌生而緩慢，此處強調y=f（x）. 另外f（-x）=f（x）中的x可以為1，2，3等定義域R上的任意數，偶函數定義中的“任意”也因此得到鋪墊. 列舉具體函數并引導學生對“任意”進行感知.

想一想：

（1）f（x）=x2，x∈[-1，1）是否關于y軸對稱？

（2）f（x）=x2，x∈[-1，2]是否關于y軸對稱？

（3）f（x）=x2，x∈[-2，-1）∪（1，2]是否關于y軸對稱？

（4）f（x）=x2，x∈[-a，a]是否關于y軸對稱？

（5）f（x）=x2，x∈[a，2a+3]關于y軸對稱，a等于多少？

f（x）=x2有解析式，其圖像關于y軸對稱，可以證明f（-x）=f（x）.

定義域在從特殊到一般的問題串中得到了變化，學生在各種變化中也對集合建立了更加全面的認知. 函數問題應首先考慮定義域這一要點也在數與形的反復變化中得到了強化，學生也因此對定義域的重要性形成深刻的感知.

問題2：若圖像關于y軸對稱的函數只有圖像，沒有解析式，則之前的恒等式f（-x）=f（x）是否成立呢？

借助幾何畫板并任意取一動點（x0，f（x0）），其關于y軸的對稱點（-x0，f（x0））也在函數圖像上，因此也能將其表示為（-x0，f（-x0）），此時恒等式仍舊成立.

從特殊到一般并進行概括可得，關于y軸對稱的函數即為偶函數.

問題3：如何對偶函數進行定義？

探究新課

偶函數：一般地，設函數y=f（x）的定義域是A，若對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），則稱函數y=f（x）為偶函數.

定義包含定義域關于原點對稱、f（-x）=f（x）這兩層意思.

教師反思：從具體函數入手并推廣到一般情況的研究是為了導出本課研究的內容，在實際教學中進行這種數學研究思路的滲透能夠幫助學生對奇函數展開自主類比研究.

判斷：定義在R上的函數f（x），以下說法成立嗎？

（1）若函數f（x）為偶函數，則f（-2）=f（2）.

（2）若f（-2）=f（2），則函數f（x）為偶函數.

（3）若f（-2）≠f（2），則函數f（x）不是偶函數.

（4）函數f（x）=x2+1，f（x）=（x+1）2，f（x）=x2+2x均為偶函數.

一組概念辨析的判斷題能使學生在畫圖、定義的反復推敲中獲得更多的思考并對定義形成更加深刻而全面的認知，學生在觸類旁通的推敲中也能更好地掌握判斷的方法[1] .

探一探：模仿偶函數的研究對圖像關于原點中心對稱的函數的性質進行探索.

引導學生從特殊到一般找尋關于原點對稱的反比例函數并從數量的角度進行發現與概括.

問題4：奇函數應如何定義呢？（引導學生模仿偶函數的定義對奇函數進行定義）

奇函數：一般地，設函數y=f（x）的定義域是A，若對于任意的x∈A，都有f（-x）= -f（x），則稱函數y=f（x）為奇函數.

問題5：若函數f（x）為奇函數或偶函數，則稱函數f（x）具有奇偶性，則其對稱性怎樣？

學生在完善的概念辨析中很快答出：偶函數與奇函數的圖像分別關于y軸和原點對稱. 此時教師還應對判斷函數奇偶性的步驟進行強調：①形的角度. ②數的角度. 定義域關于原點對稱并求出f（-x），若f（-x）=f（x），則為偶函數;若f（-x）=-f（x），則為奇函數.

例題探究

例1：判斷以下函數的奇偶性：

學生從形的角度對函數的奇偶性進行判斷是比較容易的，此例題的設計是引導學生在不會畫圖的情況下對函數的奇偶性進行判斷，也就是引導學生從代數的角度對問題進行研究與判斷，教師此時還可以將式子進行適當變化以促進學生對知識的掌握.

變式1：判斷函數f（x）=x+ 的奇偶性.

變式2：判斷函數f（x）=x2+ 的奇偶性.

變式3：判斷函數f（x）= 的奇偶性.

例1中的第（2）問是課本上的，一樣不好作圖，不過學生此時已經具備了用代數法判斷其奇偶性的能力，由此可見，學生在得到概念并突破難點之后是具備研究能力的.

尋一尋：①有既不為奇函數也不為偶函數的函數嗎？請舉例.②有同為奇函數、偶函數的函數嗎？請舉例. 學生舉例：f（x）=（x-1）2，這是學生在f（x）=（x+1）2上做出的修改.繼續修改例題f（x）=x2+ 讓學生判斷，這是下一個環節“編一編”的鋪墊.

學生在尋找既奇且偶函數時脫口而出f（x）=0. 還有少數學生對定義域進行了變換，教師此時還可以拋出以下問題給學生再思考：①判斷函數f（x）= + 的奇偶性;②判斷函數f（x）= + （a>0）的奇偶性. 定義域的形態雖然發生了變化，但其本質仍舊是f（x）=0. 學生也因此對這一部分的內容產生莫大的興趣.

時時設計疑難與障礙并使學生在“絕境”處獲得突破往往能使學生更加自信并富有創造力，形不可用但數能行的例題設計令學生的收獲與體驗更為豐富[2] .

畫一畫：1.如圖：（1）若為偶函數，另一半應如何作出？（2）若為奇函數，另一半應如何作出？

學生很快聯想到畫奇函數時將其旋轉180°會跟原圖一樣，顯然，學生在簡單的作圖到復雜圖像的研究中已經具備了發現與獨立思考的優秀品質.

編一編：大家能根據例題編出不同的題目嗎？編出2題并解答或者考考自己的同伴，看一看哪些題更有創意.

在學生嘗試編題為難同伴時可以再拋出想一想：任何一個函數均能表示為一個奇函數與一個偶函數的和這一說法成立嗎？如何證明？（課后思考）

學生在小結時能很好地抓住數與形這兩個方面進行概括. 再思考：學習函數奇偶性的緣由何在？（①可用于陌生函數的研究;②簡化函數圖像的畫法并令問題的研究更加方便.）

學生在學科知識、能力上的發展、思維品質的提升以及知識的運用都是課程評價所包含的內容，固守學科知識掌握、考試成績提升的行為是對學生核心素養發展與變化的忽視，教師在實際教學中應積極引導學生對世界展開更為廣闊的視角并因此充滿生活與學習的熱情.

參考文獻：

[1] ?韓龍淑，王新兵. 數學啟發式教學的基本特征[J]. 數學教育學報， 2009，18（6）：6-9.

[2] ?涂榮豹，王光明，寧連華. 新編數學教學論[M]. 華東師范大學出版社，2006.