淺談古代數(shù)學(xué)家劉徽的貢獻(xiàn)及其思想

◎李秀艷

（唐山市路北區(qū)鶴祥實(shí)驗(yàn)小學(xué) 河北 唐山 063020）

早在古代時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展水平已經(jīng)在世界上名列前茅，尤其是魏晉南北朝時(shí)期的劉徽，作為該時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他總結(jié)了大量的數(shù)學(xué)理論概念，為我國(guó)的數(shù)學(xué)思想和方法做出杰出貢獻(xiàn)，并為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。其中，劉徽在《九章算術(shù)注》中總結(jié)了體積公理、十進(jìn)分?jǐn)?shù)理論、正負(fù)數(shù)定義及有關(guān)運(yùn)算法則、方程的定義及其應(yīng)用、劉徽原理以及割圓術(shù)等，這些數(shù)學(xué)方面的成就在中國(guó)古代歷史中占據(jù)著重要的地位[1]。

一、古代數(shù)學(xué)家劉徽的貢獻(xiàn)概述

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽被稱為中國(guó)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，并在世界數(shù)學(xué)歷史上占有一定地位，其編寫(xiě)的《海島算經(jīng)》和《九章算術(shù)注》是我國(guó)歷史上重要的數(shù)學(xué)著作。

誕生于東漢的《九章算術(shù)注》中主要注解了246個(gè)問(wèn)題，比如幾何圖形面積計(jì)算、正負(fù)數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算以及解聯(lián)立方程等。這些成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于其他國(guó)家的數(shù)學(xué)水平，但是由于很多問(wèn)題的解法非常原始，很多證明過(guò)程缺失。對(duì)此，劉徽進(jìn)行了補(bǔ)充證明，有效的證明過(guò)程進(jìn)一步展現(xiàn)出劉徽的創(chuàng)造力。同時(shí)，劉徽是世界上提出十進(jìn)小數(shù)理論的人，同時(shí)對(duì)無(wú)理數(shù)立方根進(jìn)行了有效表示。劉徽通過(guò)相應(yīng)的轉(zhuǎn)化能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)的平均值進(jìn)行計(jì)算，其中關(guān)于代數(shù)方面的成就非常明顯，劉徽正式提出加減運(yùn)算法則和正負(fù)數(shù)概念，同時(shí)對(duì)線性方程組的計(jì)算方法進(jìn)行完善。劉徽幾何方面的成就也不容忽視，比如“割圓術(shù)”，能夠通過(guò)圓周內(nèi)正多邊形的外切以及內(nèi)接來(lái)對(duì)圓的周長(zhǎng)和面積進(jìn)行計(jì)算，并通過(guò)割圓術(shù)計(jì)算出圓周率的結(jié)果π =3.14。劉徽在《海島算經(jīng)》當(dāng)中著重研究了“重差術(shù)”，并花費(fèi)大量的精力對(duì)9個(gè)測(cè)量問(wèn)題進(jìn)行選編，從而創(chuàng)造出具有代表性、復(fù)雜性和創(chuàng)造性的題目。劉徽的數(shù)學(xué)思想非常敏捷，創(chuàng)新和應(yīng)用的方法比較靈活，并積極倡導(dǎo)利用直觀性和推理性解答數(shù)學(xué)題[2]。

二、劉徽的數(shù)學(xué)思想探究

（一）古代數(shù)學(xué)家劉徽的極限思想分析

世界上最早將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)中的是我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽，比如劉徽在“陽(yáng)馬術(shù)、開(kāi)放術(shù)、孤田術(shù)、割圓術(shù)”中都應(yīng)用了極限思想。其中在方田章的23題中，劉徽利用割圓術(shù)對(duì)其圓田術(shù)進(jìn)行注釋，從而對(duì)圓周率以及圓的面積進(jìn)行有效推算。同時(shí)，將正六邊形的邊數(shù)接到圓內(nèi)來(lái)解析，其中，當(dāng)正3×2n邊形中的n為無(wú)限大時(shí)，圓的面積用其無(wú)限大時(shí)面積的極限來(lái)定義。基于該思想，劉徽通過(guò)圓內(nèi)接正192邊形來(lái)求圓的面積，最終獲得的圓周率公式為

同時(shí)，劉徽通過(guò)圓內(nèi)接正3072邊形來(lái)求圓的面積，最終得到的圓周率公式為

同時(shí)，劉徽在凌錐體積和弓形面積的解析中引用了“割圓術(shù)”。由此可見(jiàn)，劉徽經(jīng)常引用極限思想來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且應(yīng)用非常廣泛，對(duì)極限擁有很深的理解和認(rèn)識(shí)[3]。

（二）劉徽的數(shù)形結(jié)合思想分析

劉徽曾自己?jiǎn)为?dú)開(kāi)發(fā)了一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法，并通過(guò)系統(tǒng)發(fā)展衍生出“以盈補(bǔ)虛法”，同時(shí)又叫“出入相補(bǔ)原理”。該數(shù)學(xué)法和數(shù)學(xué)原理對(duì)古代的數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行總結(jié)，以現(xiàn)代化數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解釋，即將平面圖形從一個(gè)地方移動(dòng)到另外一個(gè)地方，則整個(gè)圖形的面積不會(huì)發(fā)生變化。如果將一個(gè)圖形劃分為不同的小塊，則這些劃分完的小塊的面積總和與原來(lái)的平面圖形面積相同。由此可見(jiàn)，圖形在移動(dòng)前后的面積相同，且該原理和思想同時(shí)適用于立體圖形。在“方田”的26題注中，劉徽通過(guò)變換等腰三角形，以矩形田的形式通過(guò)方田術(shù)來(lái)得到其最終的面積。從《九章算術(shù)注》中發(fā)現(xiàn)，劉徽的“出入相補(bǔ)原理”貫穿其中，由此證明劉徽的抽象邏輯思維能力和概括能力非常高，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題的原理進(jìn)行概括和解析，直觀簡(jiǎn)明地展示一般原理的特征，有效聯(lián)系不同的算法，最終獲取更多的算法。

（三）劉徽的無(wú)限思想和辯證思想分析

首先，劉徽充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，成功以數(shù)學(xué)方式證明無(wú)限過(guò)程的正確性，并通過(guò)陽(yáng)馬術(shù)注對(duì)相關(guān)的技巧進(jìn)行展示。其中解釋：“半之彌少，其余彌細(xì)，至細(xì)曰微，微則無(wú)形，由是言之，安取余哉？”通過(guò)無(wú)限分割，最終獲得無(wú)形的東西。同時(shí)，在“割圓術(shù)”當(dāng)中，劉徽通過(guò)將正多邊形接入到圓內(nèi)，通過(guò)圓內(nèi)邊數(shù)的增加，能夠讓多邊形無(wú)限接近于圓。而劉徽的無(wú)厚可積觀念以及不可分量構(gòu)成幾何圖形占據(jù)了一定的地位，能夠?qū)σ恍w積和面積問(wèn)題進(jìn)行解析。其次，針對(duì)劉徽辯證思想的分析，其主要觀點(diǎn)是具體問(wèn)題要進(jìn)行具體的分析和解決，不能夠拘于一法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如《九章算術(shù)注》均輸章節(jié)中的26題中劉徽認(rèn)為存在兩種解答方法，如何選擇解答方法，劉徽的觀點(diǎn)是“可隨率益也”。

（四）劉徽的轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理思想分析

在實(shí)際運(yùn)算過(guò)程中，劉徽通過(guò)轉(zhuǎn)化思想來(lái)有效簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，比如在約分中，劉徽認(rèn)識(shí)到“分之為數(shù)，繁則難用”，所以要進(jìn)行約分，結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化，劉徽對(duì)此表示：“設(shè)有四分之二者，繁而言之，亦可分為八分之四，約而言之，則二分之一也。”同時(shí)，劉徽對(duì)分?jǐn)?shù)中的同值轉(zhuǎn)換進(jìn)行講述。

劉徽對(duì)數(shù)學(xué)推理邏輯性比較重視，對(duì)《九章算術(shù)》中相關(guān)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行定義和解釋，并對(duì)不同問(wèn)題之間所存在的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析。比如在“勾股”章節(jié)中明確表示勾股定理提出，主要是基于“將以施于諸率，故先具此術(shù)，以見(jiàn)其源也”。劉徽以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚撟C了數(shù)學(xué)法則[4]。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)家劉徽被稱為中國(guó)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其編寫(xiě)的《海島算經(jīng)》和《九章算術(shù)注》遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于其他國(guó)家的數(shù)學(xué)水平，創(chuàng)造出具有代表性、復(fù)雜性和創(chuàng)造性的題目，并積極倡導(dǎo)直觀性和推理性解答數(shù)學(xué)題。在“陽(yáng)馬術(shù)、開(kāi)放術(shù)、孤田術(shù)、割圓術(shù)”中都應(yīng)用極限思想，經(jīng)常用極限思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)極限擁有深刻的理解和認(rèn)識(shí)，單獨(dú)開(kāi)發(fā)了一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法，對(duì)古代的數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行總結(jié)。劉徽的抽象邏輯思維能力和概括能力非常高，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的原理進(jìn)行概括和解析，充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，提倡具體問(wèn)題要具體的分析和解決，不拘于一法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想來(lái)有效簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，從而有效論證相關(guān)的數(shù)學(xué)法則，為數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。