網絡控制系統丟包穩定性研究

王耀慶，孫建平

（華北電力大學，河北 保定 071003）

0 引言

網絡控制系統（NCS）指的是由網絡組成的一個閉環的反饋控制系統[1]。它是一種全分布式、網絡化的實時反饋控制系統，是某個區域現場傳感器、控制器以及執行器和通信網絡的集合，提供設備之間的數據傳輸，使該區域內不同地點的用戶實現資源共享和協調工作[2]。網絡控制系統在眾多應用領域給人們帶來了十分巨大的便利，但它也有一些不足的地方，而正是這些問題阻礙了它的進一步發展，所以為了解決這些問題使網絡控制系統更好地服務于人類，關于其相關內容的研究是很有意義的。本文將在忽略網絡誘導時延的影響下，對網絡控制系統中的數據包丟失情況進行模型建立，并對其穩定性問題進行分析研究。

1 網絡控制系統的數據包丟失

1.1 數據包丟失的原因

網絡擁塞、時序錯亂和寬帶限制是網絡控制系統中數據包發生丟失的主要原因[3]。其中，寬帶限制指的是在因特網發生擁塞期間，TCP 信源和響應數據流按照網絡中要求的數據包丟失率調整自己的發送速率，而無響應的數據流不能降低其發送的數據速率。這種極度不平衡情況可能導致帶寬的嚴重短缺，甚至導致擁塞的雪崩式發生。

1.2 數據包丟失的解決策略與方法

圖1 單個數據包丟失的網絡控制系統圖Fig.1 Network control system diagram for single packet loss

當前對于網絡控制系統中的數據包丟失的解決策略與方法主要應用的是抑制丟包的產生和修復丟失的數據包。其中，抑制丟包的產生的這種方法應用較多，本文的研究也是基于這種情況的。可以這樣理解，對于數據包丟失的發生是大家不想看到的，但是它的發生在現有的技術水平下是無法避免的，但是可以盡量做到使這種丟包現象較少地發生，而不是想在之后怎么彌補其發生帶來的影響。當然，對于其確實發生的情況下還是要用修復數據包的這種方法來降低它的影響的。

2 網絡控制系統數據包丟失的穩定性分析

現在，對網絡控制系統丟包問題的分析可以分成兩個大類：第一類是隨機方法。比如，假定網絡的數據包丟失規律滿足某個概率的分布情況，再用伯努利隨機數列或者馬爾科夫鏈來刻畫系統的不確定丟包行為；第二類是確定性模型的方法。這種辦法的做法是，首先要把存在數據包丟失的網絡控制系統建模為切換系統，而后再借助切換系統的豐富理論，對有著隨機數據包丟失的網絡控制系統進行穩定性分析[4]。本章應用的是第二類方法對帶有丟包的NCS 進行建模與穩定性的分析。

2.1 單數據包丟失的網絡控制系統的模型建立

網絡控制系統的反饋形式分為狀態反饋和輸出反饋，數據包丟失的狀況可以分為單個數據包丟失和多個數據包丟失，本節只考慮狀態反饋下具有單個數據包丟失的情況，其NCS 結構圖如圖1 所示。

被控對象的離散化模型為：

離散控制器為：

其中，x(kh)為傳感器數據經由網絡達到控制器端的輸入信號。

開關置于S1 時，就是包含x(kh)的單個數據包傳輸成功，那么這種情況下有S1：x(kh)=x(kh)。開關置于S2 時，表示含有x(kh)的單個數據包丟失，那么在這種情況下往往會使用這樣的一種方法，用上一個傳輸值來代替這一次丟失的單個數據包，即S2：x(kh)=x((k-1)h)。

接下來定義一個全新的變量z(kh)，使其滿足z(kh)=然后利用式（1）和式（2）可以得到一個具有單個數據包丟失影響下的網絡控制系統的模型：

其中，S=1，2。在式（3）中，當開關打到并處于S1 時，S=1；當開關打到并位于S2 時，S=2。結合式（1）、式（2）和z(kh)可以計算得出

2.2 單數據包丟失的網絡控制系統的穩定性分析

對于一個網絡控制系統而言，系統本身對數據包的丟失是有一定的承受能力的。因此，需要計算能保證系統穩定的丟包率界限（1-r）（其中r 表示系統的傳輸率）[5]。

定理1 考慮圖1 所描述的單個數據包傳輸系統，假設數據包從被控對象x(kh)傳輸到控制器的傳輸率為r（即丟包率為1-r），假若以下李雅普諾夫函數V(x(kh))=xT(kh)Px(kh)以及標量α1，α2存在，并且符合以下的要求：

那么，就可以認為這個網絡控制系統能夠保持它的指數穩定性。

為了檢驗定理1 所述的關于網絡控制系統的穩定性的判定，考慮如下的一個時間連續的被控系統

此系統采樣周期是0.2954S，u(kh)=-Kx(kh)，k=[3.7495,11.4996]。利用定理1 來確定當傳輸效率為0.6995 時，這個有一定丟包率的網絡控制系統模型穩定性是否正常。

首先把這個連續的系統離散化處理，計算求出Φ 和ΓΚ

圖2 系統仿真輸出曲線圖Fig.2 System simulation output graph

由于這個系統是一個單個數據包傳輸的網絡控制系統，對于圖1 描述的模型，將上述計算所得到的Φ 和ΓΚ 帶入Φ1和Φ2，并且利用定理1，從而求得了滿足公式（4）的α1和α2以及P 如下所示：

這3 個參數的存在可以說明當傳輸速率為0.6995 時，即丟包率為0.3005 的時候，系統仍能保持穩定。

為了更進一步了解該系統的穩定性，用MATLAB 來構造這個網絡控制系統的模型，并進行仿真，仿真結果如圖2 所示。

由圖2 能夠看出，控制系統的性能受到了影響，但是這個控制系統并沒有失衡。

3 結語

本文首先介紹了網絡控制系統數據包丟失的原因與解決策略和方法，然后應用確定性模型的方法，在忽略網絡誘導時延對系統影響的情況下，構造起擁有單數據包丟失的離散化網絡控制系統的模型。針對這個模型給出了判斷網絡控制系統穩定性的定理，并通過計算與仿真證明了給出的數據包丟失率確定情況下的模型的穩定性，從而確定了定理的可靠性。本文建立的網絡控制系統模型均是在對象為線性定常系統的基礎上建立的，如果被控對象的模型已知并且為線性定常系統，都可以采用本文所提及的模型。