基于小波包—VBICA的欠定盲源分離方法研究

楊曉飛，李志農，何 況

（南昌航空大學無損檢測技術教育部重點實驗室，江西南昌 330063）

0 引言

當機械設備出現故障時，人們并不知道故障是由哪個部件產生的，以及是一個部件出現問題還是多個部件出現問題。也就是說故障源是不知道的，還有可能是隨時間而變化的。通常，人們會選擇安裝多個傳感器去捕捉更多的故障信息。由于，機械結構的復雜性，傳感器的安裝受到限制，不能任意增加傳感器的數目。于是，對欠定盲源分離問題進行探討才更有現實意義，對于這一問題，各國學者提出了不同的方法來解決這一難題。文獻[1]采用了稀疏表示的方法，先采用外部優化的方法估計出混合矩陣，然后用線性規劃法對混合故障信號進行分離。然而，運算量太大不能用于實際工程中。文獻[2]將LMD 算法與盲源分離方法相結合，用于解決旋轉機械故障盲源分離問題。但LMDBSS 方法在實際的噪聲環境下分離效果并不是很好。文獻[3-6]也提出許多改進算法來實現欠定條件下的盲源分離問題。但這些方法都忽略噪聲對觀測信號的影響，實際情況下，不可避免會受到噪聲的影響。

為了解決上述方法的不足，本文充分考慮小波包分解算法的優點和變分貝葉斯獨立分量分析的優勢，提出了基于小波包分解和VBICA 的欠定盲源分離方法。通過實驗證明所提算法對處理噪聲環境下的欠定盲源分離問題具有很好的效果，可以在實際工程中應用。

1 小波包理論

小波變換是一種有效的譜分析工具，能夠將有用的特征信息從信號中提取出來，是一種常用的信號處理方法。在小波分析出現之前，傅里葉變換常被用在對信號的處理中，它可以在頻域里發掘信號中的關鍵信息。但是，在時域上進行信號處理時，效果卻不是很好。而小波變換不僅能對時域中信號進行分析，還能對頻域中的信號進行分析。然而，小波分解也有其不足之處，它僅對信號的低頻分量分解具有明顯的效果，相對高頻分量而言，其分解效果并不是很好。但是，小波包分解對低頻分量的分解以及高頻分量的分解都能夠起到很好的效果，可以同時得到低頻分量和高頻分量，是一種很好的信號處理方法。

設φx和ψx分別為尺度函數和小波函數，令ψ0（x）=φ（x），ψ1（x）=ψ（x），則

將函數{ψn}定義為尺度函數φx的小波包。小波包分解能將源信號分解成在不同頻段上的投影。

對觀測信號進行分解后，還要選擇合適的代價函數來滿足最優解，下面是一些常用的代價函數：

（1）提前給出確定的門限值，保留數列中絕對值大于門限值的元素。

（2）范數。M（|Xk|）=，范數越小能量越集中。

（3）熵。M（|Xk|）=-，與恢復原始信號所需的系數成正比。

（4）能量對數。M（|Xk|）=，表征信號的系數之間的相關性。

2 小波包—變分貝葉斯獨立分量盲源分離方法

假設有一個含有相關源的L 維源信號s（t）=[s1，s2，…，sL]T，A為M×L 維隨機產生的混合矩陣，x（t）為M 維觀測信號，N（t）為M 維的噪聲信號，那么，WP-VBICA 算法分離的模型可以表示成下面形式。

觀測信號x（t）不可以直接用ICA 算法或者VBICA 算法進行計算，因為ICA 算法在噪聲環境下的分離效果不是很理想。由于源信號s（t）含有相關源，因而，混合后的觀測信號也肯定包含一定的相關源成分。ICA 算法的前提條件就是源信號中的各個分量必須要滿足獨立，故直接用ICA 算法分離必然是行不通的。雖然，VBICA 算法能在噪聲環境下將源信號分離出，但對于含有相關源的觀測信號同樣也無法直接處理。因此，在進行盲源分離前，必須保證觀測信號x（t）的分量之間相互獨立。

本文先利用小波包分解解決相關源問題，將其轉化為非欠定情況，然后再運用VBICA 算法來分離重組后的信號，算法的具體步驟如下。

（1）采用小波包對觀測信號x（t）分解為N 層，得到Y（Y=）個子帶信號。

（2）假設將觀測信號x（t）分解成3 層，將會得到14 個子帶信號。若觀測信號x（t）為一個3 維觀測信號，將會得到52 個子帶信號。3 個子帶信號歸為一組[例如3 個分量中的第一層節點（1，0）]。

（3）計算這14 組子帶信號間的互信息量。通常分解到哪一層，就僅僅計算那一層的子帶信號間的互信息量，層數越高，互信息量值就會越小。但是，隨著分解層數的增加，整個算法的計算量也會增大，所以層數的選擇要符合實際需求。否則，會大大增加計算量。

（4）選擇保留互信息量小于選定的閾值的k 個子帶信號，重組后的觀測信號xc可以通過式（4）計算。

（5）對重組后的觀測信號xc，借助VBICA[7]算法較好的分離效果進行分離。

3 實驗研究

通過對軸承故障信號進行盲源分離，來對所提算法的可行性加以驗證。在實驗過程中，將電機的轉速設定為1750 r/min，由計算可以得到對應的軸承基頻fr為29.17 Hz。利用電火花加工技術在軸承的內、外圈滾道中央位置制造點蝕缺陷。可由軸承的數據參數計算出內、外圈的故障特征頻率，內圈故障頻率為157.5 Hz，外圈為105 Hz。

設定實驗采樣頻率為120 00 Hz，選取所采樣信號的512個點進行處理，得到的觀測信號如圖1 所示。圖1 為混合故障信號的時域波形圖，從圖中可以看出兩個源信號完全相互干擾在一起，無法看出故障特征。

現在，用本文所提出的基于小波包—VBICA 的欠定盲源分離方法進行分離。圖2 和圖3 分別是分離信號的時域波形圖和幅值譜。從圖3 中可以看出峰值點的頻率為158.2 Hz，接近于內圈理論故障特征頻率，在頻率29.3 Hz 處也可以看到一個小的峰值，對應著轉軸的基頻。因此，說明軸承內圈出現了故障。同樣，頻率為105.2 Hz 時對應的峰值最大，接近于外圈理論故障頻率，因此，也能說明軸承外圈出現了故障。于是，通過以上分析，可以證明所提方法能有效對軸承故障做出判斷。

4 結論

由于在欠定條件下，傳統盲源分離方法很難在噪聲環境下對觀測信號成功進行分離。于是，本文提出基于小波包分解和VBICA 算法的欠定盲源分離方法，可以用于噪聲環境下的欠定盲源分離問題。通過實驗，成功對軸承故障信號進行分離，驗證了所提算法的可行性。

圖1 觀測信號

圖2 分離信號時域波形

圖3 分離信號幅值譜