基于Kondo粒子散射的電子自旋糾纏

張浩，趙俊卿

(山東建筑大學(xué)理學(xué)院，山東濟(jì)南250101)

0 引言

信息科學(xué)在推動(dòng)社會(huì)文明進(jìn)步和提高人類生活質(zhì)量方面發(fā)揮了巨大的作用。隨著人類對(duì)信息需求的日益增加，量子信息學(xué)成為人們關(guān)注的重點(diǎn)[1-6]。量子特性在信息領(lǐng)域中有著獨(dú)特的功能，即在提高運(yùn)算速度、確保信息安全和增大信息容量等方面，具有突破經(jīng)典信息系統(tǒng)的能力。量子信息學(xué)以量子力學(xué)基本原理為基礎(chǔ)，通過研究量子系統(tǒng)的各種特性，如量子并行、量子糾纏和量子不可克隆等，得到各種因素對(duì)量子信息傳輸?shù)挠绊戧P(guān)系，選取最佳條件進(jìn)行量子計(jì)算和量子信息傳輸。而量子糾纏作為量子計(jì)算和量子信息傳輸?shù)妮d體，已廣泛應(yīng)用于量子計(jì)算、量子隱形傳態(tài)[7]、量子密碼[8]等領(lǐng)域，因此研究量子糾纏具有重要的意義。

由于量子糾纏的重要性，對(duì)量子信息學(xué)的研究可以看做是對(duì)量子糾纏生成、演化的研究。1996年，第一個(gè)糾纏濃縮方案提出[9]，其是利用Schmidt投影方法實(shí)現(xiàn)的。之后，學(xué)者們提出了很多的糾纏態(tài)濃縮方法。尤文龍等[10]研究了由雜質(zhì)自旋散射引起的糾纏；王瓊[11]研究了三量子點(diǎn)與四量子點(diǎn)系統(tǒng)中量子糾纏的產(chǎn)生；任杰等[12]研究了帶有次近鄰相互作用和三體相互作用的自旋S=1一維自旋鏈中的量子糾纏；劉貴艷等[13]研究具有次近鄰相互作用五量子比特XXZ海森伯自旋鏈在磁場(chǎng)作用下的熱糾纏。非最大糾纏態(tài)在量子信息處理中會(huì)降低方案的精確度和安全性，量子糾纏濃縮可以將非最大糾纏態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樽畲蠹m纏態(tài)，提高信息處理的品質(zhì)和安全性。趙瑞通等[14]通過電子自旋輔助，實(shí)現(xiàn)了光子偏振態(tài)的量子糾纏濃縮。

Kondo粒子是指粒子具有自旋不固定的孤立磁矩，并與自由電子發(fā)生自旋相互作用，為研究粒子間的量子糾纏提供了一個(gè)很好的理論模型。文章基于Kondo粒子的散射理論，研究自旋不固定的Kondo粒子散射對(duì)電子自旋狀態(tài)的影響，以期為調(diào)控電子自旋的糾纏程度以及量子信息傳遞提供理論基礎(chǔ)。

1 Kondo粒子散射理論模型

基于Kondo粒子散射模型，研究Kondo粒子對(duì)自由電子自旋的影響。考慮Kondo粒子對(duì)自由電子的散射過程，將系統(tǒng)的哈密頓量H[4]由式(1)表示為

式中:h-為約化普朗克常數(shù)；m為自由電子質(zhì)量；σ為電子自旋；δ為勢(shì)壘函數(shù)；γ為δ勢(shì)的大小；σK為散射粒子自旋算符矢量。

按照分波法[15]的3個(gè)步驟，在角動(dòng)量耦合表象，用Bell基將電子—粒子相互作用的本征矢量由式(2)表示為

該組本征態(tài)φn〉(n=1，2，3，4) 也是σ·σK的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值為λn，可由式(3)表示為

式中:Dn為本征態(tài)的比例系數(shù)。

將每一個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)的本征值作為有效勢(shì)求解散射過程。對(duì)于本征態(tài)，將入射電子態(tài)表示為代入薛定諤方程，由式(5)表示為

可得式(6)表示為

式中:E為本征能量。

(1)當(dāng)x=0時(shí)，由式(6)對(duì)x積分，可得式(7)為

此為δ勢(shì)場(chǎng)中ψ′(0)的躍變條件。

(2)當(dāng)x≠0時(shí)，式(6)變成式(8)為

其解由式(9)表示為

式中:A、B、C為散射系數(shù)；j為復(fù)數(shù)；k為波矢。

由x=0處波函數(shù)的連續(xù)性條件及其導(dǎo)數(shù)的躍變條件式(7)，求得反射系數(shù)和透射系數(shù)Rn和Sn由式(10)表示為

式中:變量ξ的大小只與勢(shì)壘γ的大小有關(guān)。

對(duì)不同本征態(tài)對(duì)應(yīng)的散射態(tài)進(jìn)行相干疊加。若入射波為所有本征態(tài)的線性組合e-jkxχ〉，則散射電子態(tài)由式(11)表示為

2 基于Kondo粒子散射的電子自旋糾纏結(jié)果與分析

在x＞0的散射電子態(tài)即透射態(tài)中，由于透射系數(shù)Sn不同，不同態(tài)的振幅衰減程度不同。所以，Kondo散射過程對(duì)入射態(tài)電子來說相當(dāng)于一個(gè)自旋過濾器，改變了透射態(tài)中的不同自旋成分的比例，可以起到糾纏濃縮的作用。

不同自旋態(tài)電子發(fā)生散射后，系統(tǒng)透射態(tài)的自旋演化見表1。

表1 電子-散射粒子系統(tǒng)透射態(tài)的自旋演化表

當(dāng)入射電子自旋與散射粒子初態(tài)自旋方向相同時(shí)，兩者的自旋狀態(tài)都不變，不發(fā)生自旋糾纏；而當(dāng)入射電子自旋與粒子初態(tài)自旋方向相反時(shí)，電子和粒子的自旋狀態(tài)都有可能變化，并且無法寫成直積態(tài)，兩者發(fā)生了自旋糾纏。如散射粒子的初態(tài)自旋向上，自由電子處在自旋疊加態(tài)即入射態(tài)為直積態(tài)，則散射態(tài)為，已經(jīng)不是類似初始態(tài)的直積態(tài)，而變?yōu)榧m纏態(tài)。

考慮到無相互作用的2個(gè)自由電子X和Y經(jīng)同一Kondo粒子依次散射，將基矢按照 YXK〉=的形式表示，有 8種情況，由式(12)表示為

基于表1所示的單電子散射自旋演化結(jié)果，考慮電子X和Y先后經(jīng)同一Kondo粒子依次散射，對(duì)各入射態(tài)χi〉，得到透射態(tài)的自旋演化結(jié)果見表2。

表2 雙電子透射態(tài)的自旋演化表

表3 對(duì)散射粒子進(jìn)行測(cè)量后的雙電子糾纏狀態(tài)表

式中:ρX、ρY分別為的密度矩陣對(duì)子系統(tǒng)X和Y求跡得到的約化密度矩陣；S為馮諾依曼熵；pi為施密特系數(shù)。

利用Mathematica軟件編程計(jì)算的糾纏度隨ξ的變化如圖1所示。可以看出，隨ξ的變化均呈現(xiàn)一最大值相應(yīng)的ξ值用ξi表示。當(dāng)隨ξ快速增大，增速更快，即可見，ξ對(duì)糾纏度的控制起到關(guān)鍵作用，ξ主要取決于Kondo粒子δ勢(shì)γ的大小，所以通過調(diào)整γ可以對(duì)糾纏度進(jìn)行控制。

圖1 X、Y電子的糾纏度EP隨ξ的變化圖

3 結(jié)論

基于Kondo粒子對(duì)自由電子的散射理論，研究了自旋可變的Kondo粒子散射對(duì)電子自旋狀態(tài)的影響。主要結(jié)論如下:

(1)當(dāng)自由電子經(jīng)過Kondo粒子時(shí)，電子和Kondo粒子的自旋方向都可能發(fā)生變化。Kondo粒子散射改變了入射電子態(tài)中不同成分自旋的比例，相當(dāng)于一個(gè)自旋過濾器，可以起到糾纏濃縮的作用。

(2)對(duì)先后通過Kondo粒子的2個(gè)自由電子自旋態(tài)的研究表明，Kondo粒子散射可以使兩無相互作用的電子間形成糾纏，糾纏程度取決于初始狀態(tài)和散射勢(shì)高度，通過適當(dāng)調(diào)整勢(shì)壘高度，可以對(duì)電子糾纏程度進(jìn)行有效的控制。