智能快遞柜的動態定價研究

解亞宸，崔立新

（北京理工大學 管理經濟學院，北京 100081）

1 引言

智能快遞柜是一種新興的快遞交接模式，有著方便、快捷、高效、安全的特點，多在高校、居民區等人流密集、快遞量大的場所投放使用[1]。智能快遞柜有廣闊的市場前景，但是由于收費方面存在問題，主流研發智能快遞柜的公司尚都處于嚴重虧損階段。為了解決這一問題，基于收益管理，建立了關于寄存以及取出快遞的數學模型。

國內針對快遞柜的研究主要集中于選址、系統設計、調研等，其中對“校園最后一公里配送”的研究較為廣泛[2-5]。張晶蓉等通過系統分析、建立模型的方法研究了智能快遞柜配送方式的成本核算，得出結論：智能快遞柜公司只從派件賺取收入很難實現盈利，企業還需要尋找其余的增值業務[6]。羅江婷等通過文獻調研以及歸納法，研究了智能快遞柜在發展中存在的問題，為智能快遞柜歸結出四種盈利模式，同時提出智能快遞柜若使用單一盈利模式很難實現利潤增長[7]。

收益管理理論主要運用在航空、鐵路以及公路領域。國外研究起步較早，目前收益管理理論已成為一個成熟的體系，應用領域廣泛[8]。Shibata等通過數學建模的方法對短途鐵路客流進行研究，建立了一個基于座位等級分布提高上座率的數學模型[9]。Gabriel等對動態定價政策實施和結果與收益管理的關系進行了研究，通過假設賣方面臨的能力隨機控制問題，設置產品數量及其相應的價格，以實現銷售范圍內的收入最大化[10]。Bertsimas 等通過改進捕獲網絡效應的確定性數學規劃模型，解決了收益管理中需求不確定性、嵌套以及預訂的動態問題，所提出的算法可以使得航空公司收益增加[11]。Gosavi 等基于票價等級、超額預訂航班、不同票價等級的乘客的同時滿足需求，以及航班隨機取消的問題，建立一個SMART 算法優化模型。數值結果顯示，該算法優于啟發式算法[12]。國內針對收益管理理論的研究較晚，宋文波等以高鐵市場收益最大化為目標，建立了不確定需求的動態定價與票額分配綜合優化模型。算例分析表明該模型可以為高速鐵路票額分配以及動態定價提供優化方法[13-14]。陳武華等采用數學模型算法，對酒店多房間類型的客房需求相關性的綜合定價進行了研究，建立了動態規劃模型，設計最優定價策略，最后得出結論，酒店多房間類型定價模型能夠使得酒店收入增加[15]。

2 寄件的動態定價模型

2.1 問題描述及假設

快遞柜每進行一次寄件服務時，都會向寄件人收取費用，該費用是智能快遞柜企業的主要收入來源。針對現在的實際情況，快遞柜收取寄件費用時，不論是在高需求還是低需求的市場環境下，只設置一個固定價格。這一定價舉措會使得企業在高需求市場環境下，占用所用的資源后，得不到最大利潤，在低需求市場環境下，無法形成價格優惠，吸引消費者使用快遞柜寄件服務。

根據上述對快遞柜的行業、市場分析，做如下假設：（1）市場上僅存在一家快遞柜平臺，不存在市場競爭的情況；（2）快遞柜平臺向寄件人收取服務費用基于快遞柜數量剩余比為d；（3）單個快遞柜存放一次快遞的運營成本為c 元；（4）快遞柜公司將面臨兩種不同的供需關系市場：供過于求—出現概率為fl，供不應求—出現概率為fh。

2.2 模型建立

當供過于求時，即未被占用的快遞柜的數量大于需要快遞柜平臺服務的寄件人數量—供＞需，此時的需求函數為：

當供不應求時，即供＜需，此時的需求函數為：

在低需求水平下，所有寄件人的需求能夠得到滿足，但是在高需求水平下，可能只有部分寄件人能夠得到快遞柜寄存快遞的服務。因此當快遞柜平臺中的快遞柜余量越多，快遞柜平臺的服務能力越高，寄件人得到的服務比率φ就越高。表1 給出本節所需的符號約定。

表1 寄件費用數學模型的符號約定

根據上述假設，目標函數即平臺單個快遞柜每天利潤π為：

（1）采取固定價格策略。當采取固定價格策略時，服務價格不隨需求波動而波動，即pl=ph=p1。此時平臺利潤函數為：

求取在無約束條件下，上述利潤方程的最大值。

π1對p1求一階導，得：

再π1對p1求二階導，得：

由于bh、bl、fh、fl均大于0，故，則最大值的一階必要條件和二階必要條件均滿足，得出π1是p1的凹函數，且是極大值點，平臺在該情況下的最大利潤為π1()。

（2）采取動態定價價格策略。當快遞柜平臺采取動態定價策略，即pl≠ph。此時平臺利潤函數為：

π2對ph求一階導，得：

二階導為：

π2對pl求一階導，得：

二階導為：

由于bh、bl、fh、fl均大于0，故那么π2關于pl、ph的Hessian矩陣：

該矩陣為負定的，則該最值問題的一階條件和二階條件均滿足。接下來求各種情況的最優價格：

根據以上得出π2是ph和的凹函數，且是極大值點，平臺在該情況下的最大利潤為

2.3 算例分析

將以上兩種不同方案求解出的最優價格，代入到利潤函數中求解對應情況下平臺的最大利潤。為了將固定價格和動態定價的不同效果直觀展示出來，進行簡單的算例分析。設定如下參數初始值（所有數值均根據網絡搜索以及實際情況分析得來）：

生成的圖像如圖1所示。

圖1 快遞柜固定價格與動態定價比較圖

通過圖1 的比較，說明現在的智能快遞柜企業固定價格收取費用有很大的可能性使得企業處于長期虧損狀態，這也符合現實生活中快遞柜企業虧損的實際情況。而通過圖1，可以看出若快遞柜企業采取動態定價的定價策略會使得快遞柜平臺盈利。因此在當前社會背景以及技術支持下，快遞柜企業采取動態定價策略可以實現收入增長，利潤最大化。

3 取件的動態定價模型

3.1 問題描述及假設

快遞柜不光在存放時進行收費，若是快遞柜存放太久了，取件人未取走快遞，造成快遞柜占用時間過長，會使得平臺利益受損，因此對于長時間未取走快遞的取件人也應當加收超額費用。

目前針對超額費用征收的起征點一般快遞柜企業設置在48h。超過48h，按1元/d收費。首先48h的期限設置導致快遞柜平臺收取超額費用的機會較少，同時又會占用快遞柜，使得快遞柜利用效率下降。其次，取件人對于1 元/d 的征收費用表示不滿，消費者滿意度下降，顧客忠誠度下降，那么就會導致顧客流失。因此，針對這一情況，建立關于收取快遞存在時間超額費用的動態定價模型。

假設：（1）快遞存放在快遞柜中時間超過24h 開始收取超額費用；（2）對于超額費用定價的影響因素不考慮消費者心理、服務質量、快遞柜的所在區域和人口密度等的影響，僅僅將價格視為快遞柜余量D的函數；（3）每小時進行一次統計快遞柜的余量，根據所統計出來的余量計算這一個小時應收取的超額費用。

3.2 模型建立

假定價格與快遞柜余量的m次方成正比（m＜0）[14]。

ε是價格調整系數，D為快遞柜余量，m為快遞柜余量系數（與快遞柜需求彈性有關），p為某一時間段的分段價格。

由于在存放時間中，快遞柜余量為變量，為了方便計算，建立關于快遞柜余量的遞歸方程。

其中，T 為某個快遞存放24h 后的某一時間段，T+1為某個快遞存放24h后的下一個時間段，D(T)為存放快遞24h 以后的某一時間段下的快遞柜余量，D(T+1)為存放快遞24h 以后下一時間段下的快遞柜余量，Q為快遞柜所處區域中每一個小時內有寄件需求的總人數，F2[D(T)]為當快遞余量為D(T)時，寄件人會選擇使用快遞柜寄件的概率。F1(t,p)為某一時間段內，整個快遞柜中所存放的快遞會被取件人取走的平均概率。表達式如下：

其中n為當前占用快遞柜總數，F1(ti,pi)為第i個快遞柜中存放時間ti，價格為pi時，會被取件人取走的概率分布函數。

假設，在t ∈(0,+∞)內，快遞一定會被取走，且存放時間越長，快遞被取走的概率越大，因此基于以上假設，設F1(ti,pi)的概率分布密度f1(ti,pi)服從如下函數：

其中α為調整系數。可根據數學積分方法證明該函數符合以上假設。因此，對f1(ti,pi)進行不定積分，得：

由于F2[D(T)]為概率，當D(T)＞0 時，其大小介于0和1之間，因此為了更好地描述實際情況，設：

其函數圖像如圖2所示。

圖2 F2[D(T)]的函數圖像

根據F1(t,p) 、F2[D(T)]的公式，可將上述關于D(T)的遞歸方程改寫成如下形式：

因此，單個快遞取走時超過24h 額定期限后，所需要支付的超額費用P為：

t 為快遞存放時間，P 為單個快遞需要支付的總超額費用。

3.3 算例分析

以豐巢智能快遞柜公司為例，目前存放快遞的超額收費標準為，在48h 內免費存放，超過48h 要加收1 元/24h（不足24h 按24h 計費）。若快遞7d 不取，則快遞會被公司平臺退回原寄出地點。

根據該事例，選取α=0.000 4。則快遞被取走的概率分布函數圖像如圖3所示。

圖3 快遞被取走的概率分布函數F1(ti,pi)

假設在擁有100個快遞柜的自提網點，某一快遞在存放了49h 被取走，則一共有25 個時間段為收費時間段，運用MATLAB 產生25 次總數為100 個的隨機數（隨機數的產生按一定概率），計算每一次的平均取走概率，見表2。

表2 每一時間段的平均取走概率

由于在不同時間段，來郵寄快遞的人數是不同的，因此根據實際情況分別列舉25 個時間段內的潛在寄件人數（Q），見表3。

表3 每一時間段內的潛在寄件人數

設開始產生超額費用的時間段為第一時間段，且D(1)=14，可用的快遞柜總數為100 個，通過MATLAB 進行遞歸方程運算，得到其余24 個時刻的快遞柜余量，見表4。

表4 每一時間段內的快遞柜余量

時間段價格公式p=εDm，ε是與需求有關的變量，同時由于沒有確切的快遞柜需求預測數據，因此假設ε=250，選取特定m值，將每個時間段的快遞柜余量(D)進行取整處理，將不同m 值帶入時間段價格公式，得出在不同m 值情況下的，每一時間段的價格。再通過進行加和，得到單個快遞所收取的超額費用，見表5。

表5 不同m取值下的總超額費用

通過表5 可以看出，當m=-2.8 時，通過動態定價所收取的超額費用與實際收取的費用相同，其散點圖如圖4 所示。在ε=250 時，只要選取m 值大于-2.8，即可超出實際收取費用，使得公司利潤增加。

圖4 m=-2.8的時間段價格與快遞柜余量散點圖

當然一味地增加m 值，雖然單個快遞的收取的超額費用增加，可增加快遞柜企業利潤。但是隨著價格的增加，需求就會下降，因此企業需要合理預測m值。

4 總結

隨著我國電子商務的發展，快遞行業迎來了迅速的發展，同時也面臨著很大的挑戰。末端配送成為快遞行業一大痛點。智能快遞柜的出現雖然解決了一部分問題，但是其經濟效益低下又成為了亟待解決的問題。

本文以智能快遞柜為研究對象，運用數學建模的分析方法以及收益管理理論知識，對智能快遞柜動態定價進行優化研究。確定了智能快遞柜的雙向定價機制，最后建立了在低需求與高需求情況下的智能快遞柜的寄件動態定價模型，并用案例分析證明模型的有效性。動態定價為平臺帶來的利潤大于固定價格，因此該數學模型有現實意義，對智能快遞柜企業有一定借鑒作用。最后建立了基于快遞柜余量的時間段分段價格函數，根據不同調整系數，找到單個快遞的最大超額費用值。