求解Suzanne型紙飛機(jī)飛行最遠(yuǎn)距離與最長留空時間

李惠林

摘 要 為解決Suzanne型紙飛機(jī)飛行的最遠(yuǎn)問題和最長留空時間，作者反復(fù)查閱了相關(guān)書籍與網(wǎng)絡(luò)資料，了解空氣動力學(xué)的基本原理，結(jié)合已有的流體力學(xué)的物理知識，對Suzanne型紙飛機(jī)進(jìn)行受力分析。從而解決Suzanne型紙飛機(jī)在最佳重心時的最大距離和最長留空時間。

關(guān)鍵詞 一次矩 微分方程 數(shù)值求解 空氣動力學(xué)

中圖分類號：TP391.9文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1問題重述

根據(jù)紙飛機(jī)的最佳重心位置，計算投擲出手的合理角度，使飛行距離最遠(yuǎn)、留空時間最長。

2問題分析

本題可化為目標(biāo)函數(shù)的最大值問題，根據(jù)空氣動力學(xué)、流體力學(xué)等物理知識，通過求解微分方程、超越方程，利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值計算得出結(jié)果，并運用遺傳算法對結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。

3模型假設(shè)

假設(shè)：

（1）機(jī)翼面是精確的平面，不允許有彎曲，且在無風(fēng)的室內(nèi)環(huán)境進(jìn)行投擲。

（2）人的身高，拋角，重力，升力，阻力，初速度，紙飛機(jī)質(zhì)量。

（3）機(jī)翼的二面角為，且與機(jī)身（速度方向）平行。

（4）升力公式為：。

阻力在速度較小時公式為：。

（5）考慮紙飛機(jī)為一質(zhì)點。

4符號說明及名詞定義

（1）。（為空氣阻力系數(shù)，假設(shè)為定值;為空氣密度;為機(jī)翼面積;為速度的二次方）

（2）阻力在速度較小時公式為：。（為摩擦系數(shù);為速度）

（3）升力來源于機(jī)翼上下表面氣流的速度差導(dǎo)致的氣壓差。

（4）空氣阻力指空氣對運動物體的阻礙力，是運動物體受到空氣的彈力而產(chǎn)生的。

5模型建立

6模型求解

7模型評價

7.1優(yōu)點

根據(jù)受力分析，列出微分方程，運用數(shù)值計算等手段求解出目標(biāo)函數(shù)。由于遵循物理規(guī)律，結(jié)果較為可靠。針對超越方程，通過給定參數(shù)具體值，運用MATLAB進(jìn)行數(shù)值求解。

7.2缺點

（1）由于是理想化模型，且投擲時的影響因素因人而異，故會不可避免的帶來結(jié)果上的誤差。

（2）飛行過程中受力復(fù)雜，無法精確分析。

（3）忽略了紙飛機(jī)飛行過程中的旋轉(zhuǎn)。

7.3優(yōu)化方法

（1）利用MATLAB自帶的fmincon函數(shù)，分別求解飛行距離最大值、留空時間最長時的拋角。

（2）利用遺傳算法優(yōu)化結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1] 賈躍華.紙飛機(jī)的原理[DB/OL].https：//wenku.baidu.com/view/ 1eb20232 e87101f69f319528.html.

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[3] 劉克哲.物理學(xué)（第五版）（上冊）[M].高等教育出版社，2018.