基于LINGO線性規劃的DVD租賃問題的研究

張君如 高雅 朱振中 彭陽陽

摘要：本文以0-1規劃模型、多目標規劃模型為理論基礎構建DVD在線租賃的購買與分配問題的數學模型。探究租賃周期與所需光盤數量的聯系及可分配訂單比例與光盤數量的關系， 獲得應準備的DVD數量; 借鑒多目標規劃模型， 解決獲得最大滿意度的分配問題， 在此基礎上，為保證利潤最大化，建立DVD租賃獎勵制度模型，鼓勵會員及時歸還DVD，加速DVD流通。

關鍵詞：多目標線性規劃模型;0-1規劃矩陣;滿意度;歸還周期;條件性獎勵

中圖分類號：TP311? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）23-0191-02

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

1 問題重述

1.1 問題背景

隨著信息時代的到來，各個網站面向其會員群提供日益專業化和便捷化的服務。音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。這項服務充分發揮了網絡的諸多優勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務。DVD租賃系統中，顧客繳納一定數量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求，它要求網站盡可能滿足顧客需要與自身盈利最高。

1.2 問題提出

如何對DVD進行合理分配才能使得滿足顧客需求與實現DVD成本最低，是每一個網站開發人員值得深思的問題。根據以下DVD租賃規則：每個會員每個月租賃次數不得超過2次，每次獲得3張DVD，會員看完3張DVD之后，才可進行下次租賃，提出網站的分配任務的具體有三種不同情況：（1）使盡量多顧客滿足對DVD需求;（2）DVD成本最低即購買適當價格的DVD;（3）顧客滿意度最高。

1.3 待解決問題

根據上述三種情況，本文需要解決以下三項任務：

任務1：對一般問題進行研究，建立DVD分配模型并給出相應的求解算法;

任務2：利用網站訂單參數的數據，建立基于最大滿意度原則建立優化的DVD分配模型。

任務3：根據會員需求和市場調研，在保證會員滿意度的同時，建立基于歸還周期的DVD租賃獎勵制度模型，以此求得DVD購買量，滿足利潤最大化。

2 問題分析

2.1 對問題1進行分析

保證一定數量會員能夠看到愿意觀看的DVD的基本思路是計算在一定時間內一張DVD的利用率，進而通過計算需求該DVD的人數，兩者乘積建立模型1，求得需要的DVD的數量。

2.2 對問題2進行分析

本文先對題目中的偏愛程度做倒數處理成滿意度，通過0-1 矩陣表示該用戶是否租賃該DVD，并對每人獲得DVD數和擁有每種DVD總數進行約束，對滿意度最大值進行線性規劃建立模型2，最終求得0-1矩陣值和最大滿意度值。

2.3 對問題3進行分析

為既能保證經濟效益，又能保證會員滿意度，本文對滿意度值最高和DVD數量購買最小進行綜合分析，進而由兩者差值作為目標函數建立模型3，求其最大值。結合問題1模型約束條件，進而求得每種DVD最小購買數量。

2.4 對問題4進行分析

因為歸還周期越小，DVD流轉次數越多，購買DVD數量越少，也就能滿足更多會員需求，基于這種情況，本文設立最佳歸還周期，在此周期之內歸還的會員，給予獎勵措施，鼓勵會員能夠盡早歸還DVD，以此建立模型4。本文以一個月為標準，為保證最大滿意度，取100%以滿足所有會員需求。其次，為保證利潤最大化即成本最小（成本由DVD購買量反映），目標函數設置為DVD購買量最少。同時，結合實際情況和市場調研，對租賃的DVD未來一段時間需求量進行分析，在購買初期，對未來一段時間較熱門DVD購買量適當增加，以防止后期不能及時滿足會員需求。對未來較冷門DVD，可將其作為贈品，鼓勵會員在最佳歸還周期歸還DVD，加速DVD流通。

3 問題假設

（1）假設每張DVD在每次被返還后能快速再次租賃，無空閑時間;

（2）假設每張DVD在租賃過程中，都為完好無缺;

（3）假設網站在運營期間不發生任何意外，資金周轉正常;

（4）假設同一種DVD每人只能租賃一次;

（5）月底DVD全部回收，繼續下個周期的租賃。

4 模型的建立與求解

4.1 基于Lingo線性規劃分配模型的建立與求解

本文基于lingo分析顧客需求及滿意度等因素對問題進行最優規劃并建立模型。

4.2 模型建立

基于60%的會員每月租賃DVD兩次，可以得出40%會員在一個月內只租用一次。所以在一個月內歸還的DVD可以租賃給下一個對該DVD有需求的會員。即假設一個月為30天時，從一般情況出發，若月初第一次租賃出的DVD，在月中被還回來，返還的DVD立即再租賃出去，這時歸還周期為15天。由于所購買的是新的DVD，吸引力較大，可以假設該DVD一直在周轉中，沒有出現空閑情況。

可認為一張DVD在一個月內有60%的概率滿足兩個會員，40%的概率滿足一個會員，從而一張DVD的利用率為：

[Use=40%sT/30+60%sT/T] ? ? （1）

根據表1中不同DVD的喜好程度，為保證滿足相應會員人數對DVD的需求，根據上述分析，對需要準備的DVDi的張數建立模型1：

[Qi=N*Pi*k*Use? ? （i=1，2，3，4，5）] （2）

4.3 模型求解

本文假設歸還周期為15天，為保證愿意觀看該種DVD的會員中至少50%在一個月內能夠看到該DVD，將[T]=15，[sT=30]，[k=50%]代入公式（1），（2）。

為保證愿意觀看某DVD的會員中至少95%在三個月內能夠看到該DVD，假設歸還周期為15天，將[T]=15，[sT=90]，[k=95%]代入公式（1），（2）。Lingo求解可得DVD數量入表2所示。

上述假設歸還周期為15天，但這不一定符合實際情況，本文針對一個月內歸還周期T利用Lingo進行實時數據處理，每一次求解模型時，LINGO都會提示為參數[T]輸入一個值。根據大量調查，歸還周期普遍在[7，15]天內，故本文對[T]分別取7，8，9，10，11，12，13，14，15，可得不同歸還周期下各DVD的購買數量，如圖（2）所示。

4.3.1 基于最大滿意度的DVD分配模型的建立與求解

在現有DVD數量一定的情況下研究如何分配可以使會員滿意度達到最大是待解決問題之一。本文使用0-1型整數規劃，將題中的偏愛程度轉化為滿意度，以求得滿意度的最大值。

4.3.2 基于一定時間內最大滿意度的DVD分配模型的建立與求解

作為管理人員，需要考慮購買和分配問題。不僅要兼顧減少購買成本，還要考慮會員對DVD有不同的偏愛度，使其滿足一定的服務水平。對此，我們建立購買和分發統一的多目標規劃模型，考慮分發次數和服務約束。假定DVD在月初分發一次，月中分發一次，即歸還周期[T]為15天。

4.3.3 基于歸還周期的DVD租賃獎勵制度模型的建立與求解

基于上述問題所求可得當會員滿意度最高，DVD購買數量最少的情況。但由于歸還周期[T]的不確定性，[T]只能由一般情況假設得出，但[T]直接決定DVD利用率，從而影響DVD購買量。當會員數一定時，[T]越小，DVD購買量越少。經過大量DVD租賃市場調研，得到DVD租賃周期[T]普遍在7～15天左右。當設立[T]=10時，經過市場調研及會員反饋可得，95%的會員可接受此歸還周期。故設立最佳歸還周期[T]為10，在此周期之內歸還的會員，DVD租賃公司給予獎勵措施，鼓勵會員能夠盡早歸還DVD，并以此建立模型。

5 模型評價

5.1 模型創新點

（1）根據實際情況，會有短時間就歸還的情況，故本文從一張DVD利用率[Use]出發，考慮歸還周期[T]對[Use]的影響，對[Use]進一步求解，以此使需求的DVD數更符合實際情況。

（2）在模型4中，從經濟效益和會員滿意度兩方面考慮，基于歸還周期[T]對成本大小的考慮，建立DVD租賃獎勵制度模型，求得在滿足最佳歸還周期時， DVD購買數量的最小值。

（3）考慮市場對DVD的需求量與時間變化的關系，將當前DVD種類進行分類，分為熱門和冷門，并以此對未來一段時間DVD需求量進行預測，將不再受歡迎的冷門DVD當作獎勵贈出，將未來仍受歡迎的熱門DVD，在購買初期即加大購買量，以備后期能夠及時滿足會員需求。

5.2 模型缺點

（1）本文使歸還周期滿足均勻分布，即在歸還周期時，所有會員都會統一歸還。但實際上，每個會員都會有自己的歸還時間，不一定會同一歸還周期內歸還。

（2）本文假定DVD歸還后立即會被借出，即DVD始終處于流通狀態。但在實際情況中，DVD歸還后，可能處于“閑置期”，且DVD也可能會有損壞情況，不能再被借出。所以DVD利用率[Use]實際會偏低。

【通聯編輯：李雅琪】