用離散型種群競爭模型分析傳染病的發(fā)展

蔣春玲

摘要：通過將人群分為易感染者和已感染者作為競爭模型中的兩個群體，建立離散型競爭模型，利用二維競爭系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，討論兩群體在競爭中的發(fā)展趨勢。

關(guān)鍵詞：群體;競爭模型;漸進(jìn)穩(wěn)定性

中圖分類號：G18? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）23-0193-02

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

Analysis of the Development of Infectious Diseases by Discrete Population Competition Model

JIANG Chun-ling

（South China Institute of Software Engineering，Guangzhou University， Guangzhou 510990， China）

Abstract： By dividing the population into two groups： the susceptible group and the infected group， the discrete competition model is established，and the development trend of the two groups in competition is discussed by using the asymptotic stability of the two-dimensional competition system.

Key words： group; competitive system; asymptotic stability

關(guān)于生物種群的競爭模型以及種群的漸進(jìn)穩(wěn)定性的研究由來已久，同時關(guān)于傳染病模型的研究也很多，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型，分析傳染病的傳播特點，感染人數(shù)的發(fā)展規(guī)律，尋找制止傳染病蔓延的方法，一直是人類關(guān)注的課題之一，但目前為止大多是對連續(xù)型模型的研究，用微分方程來描述，如果從生物群體的特點以及傳染病的原理來看，離散型更切合實際，更能詳盡的描述種群間的動態(tài)變化關(guān)系，但是由于離散性模型的動力學(xué)性態(tài)很復(fù)雜，不容易得到全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，所以主要討論種群在特定的區(qū)域內(nèi)的漸近穩(wěn)定性問題。

1 模型假設(shè)和參數(shù)說明

（1）假設(shè)在疾病傳播期內(nèi)，所考察的對象只有易感染者和已感染者兩類，二者參與種群競爭;

（2）假設(shè)已感染者被治愈后，變成易感染者，同樣也會被感染;

（3）[Mn]，[Nn]分表代表易感人群和已感染人群的即時數(shù)量;

（4）[M]，[N]分別代表兩個易感人群和已感染人群的平衡點，設(shè)其飽和量值均為1;

（5）[a1]，[a2]分表代表易感人群和已感染人群的相對增長率;

（6）[s，t]分別為易感人群和已感染人群兩個種群的相互競爭系數(shù)，易感染者會被感染，已感染者也會被治愈。

2 模型的建立和求解

對于傳染病模型來說，目前大多是對連續(xù)型模型的研究，文獻(xiàn)[2]研究了連續(xù)型競爭系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性問題，但是從實際問題的特點出發(fā)，離散型模型更加合適，在文獻(xiàn)[1]和[3]研究離散型二維競爭系統(tǒng)平衡點的漸進(jìn)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，綜合考慮傳染病模型的特點，建立模型，具體如下：

[?Mn=a1（1-Mn）Mn-sNnMn?Nn=a21-NnNn-tMnNn]? ? ? ? ? （1）

設(shè)兩個群體趨于平衡狀態(tài)[（M]，[N）]，即

[limn→∞Mn=M]，[ limn→∞Nn=N]

對（1）兩邊同時取極限得到代數(shù)方程組：

[a1M-a1M2-sMN=0a2N-a2N2-tMN=0]? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

由方程組（2）可以容易解出四個平衡點[O0，0，P1，0，Q0，1，R（A，B）]，其中

[A=a1a2-sa2a1a2-st，? ?B=a1a2-ta1a1a2-st]

當(dāng)[a1=s]時，即易感人群的相對增長率等于已感染人群對于易感人群的競爭系數(shù)時，此時A=0，所以[R（A，B）]與[Q0，1]重合;當(dāng)[a2=t]時，即已感染人群的相對增長率等于易感人群對于已感染人群的競爭系數(shù)時，此時B=0，[ R（A，B）]與[P1，0]重合。

3 模型的分析

平衡點[O0，0]只是數(shù)學(xué)理論中的結(jié)果，在討論的現(xiàn)實問題中沒有實際意義，因為在競爭系統(tǒng)中初始值[M0，N0]不全為0，即易感人群和已感染人群數(shù)量都是大于0的，所以這兩個群體不會同時消亡。

在文獻(xiàn)[2]中的推論1中，討論了兩個群體永不和諧的條件，即某個群體在競爭中消亡的條件：

（1）若滿足[a2s，a2=t]，即易感人群的相對增長率大于已感染人群對于易感人群的競爭系數(shù)，同時已感染人群的相對增長率等于易感人群對于已感染人群的競爭系數(shù)時，平衡點[P1，0]對于區(qū)域[{x，y|0

在動態(tài)系統(tǒng)中，易感人群的相對增長率比較大，隨著時間發(fā)展，易感人群的人數(shù)逐漸增加，感染人數(shù)會逐漸減小到零。對于本文討論的實際問題中，平衡點[P1，0]意味著已感染人群消亡時，易感染人群達(dá)到了平衡量1，所有的人都痊愈了。

（2）若滿足[a1t，a1=s]，即已感染人群的相對增長率大于易感人群對于已感染人群的競爭系數(shù)，同時易感人群的相對增長率等于已感染人群對于易感人群的競爭系數(shù)時，平衡點[Q0，1]對于區(qū)域[{x，y|0

（3）對于平衡點[RA，B]，在文獻(xiàn)[3]中，有定理2知，若滿足[a1s，a2>t]，且滿足[（1+a1）2≤4Aa1，（1+a2）2≤4Ba2]，則平衡點[RA，B]對區(qū)域[{x，y|0s，a2>t]，且同時滿足[Ba1<1，a2≤1，ABst+a12≤Bsa1]，則平衡點[RA，B]對區(qū)域[{x，y|0s，a2>t]，且同時滿足[Aa1<1，a1≤1，ABst+a22≤Ata2]，則平衡點[RA，B]對區(qū)域[{x，y|A≤x≤1，0

4 結(jié)論

文僅通過建立模型，得出了傳染病的發(fā)展規(guī)律，根據(jù)上面的分析，所以在傳染病的控制中，一是需要提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平，即降低已感染人群的相對增長率，增強(qiáng)易感人群的競爭系數(shù);二是增強(qiáng)群體的免疫力，提高易感人群的相對增長率.在實際案例中要通過考察實際意義下模型中各參數(shù)間的關(guān)系，從而給出控制傳染病的相關(guān)對策。

參考文獻(xiàn)：

[1]周志軒.離散型二維競爭系統(tǒng)中某群體消亡的條件[J].西南師范大學(xué)學(xué)報，2018（11）.

[2]楊軍.用種群競爭模型分析旅游危機(jī)中的疫情及其控制對策[J].燕山大學(xué)學(xué)報，2006，30（1）.

[3]楊逢建.離散型二維競爭系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，23（1）：85-90.

[4]韓麗濤.兩種群相互競爭SIRS傳染病模型的穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，18（1）：21-26.

[5]張忠文，多種群競爭最優(yōu)捕撈策略模型[J].甘肅科學(xué)學(xué)報，2015，27（1）：5-7.

[6]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

【通聯(lián)編輯：唐一東】