極限定義的語言模型

胡旭東

（成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610106）

極限概念是高等數(shù)學(xué)的一個教學(xué)難點(diǎn)，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念遇到困難的主要原因就在于沒有建立極限的幾種等價語言模型。因此，在教學(xué)中梳理清楚極限的幾種等價語言模型是有必要的。如果學(xué)生能夠從極限定義的語言模型來認(rèn)識極限，那么對突破極限這個教學(xué)難點(diǎn)，并為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)是有益的。

極限的等價語言模型大致可以分為以下四種：1、描述性語言模型；2、不等式語言模型；3、幾何語言模型；4、等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關(guān)系模型）。

下面分別論述四種模型的作用。

一、描述性語言模型

定義1：對于給定的數(shù)列xn，如果當(dāng)n無限增大(n→∞)時，對應(yīng)的xn無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列xn的極限，記作或

上述定義只是一種描述性的說明，“xn無限接近于一個確定的常數(shù)A”這段描述只是定性，沒有定量。因此人們在利用這個定義去判斷極限的存在性或?qū)Γ虿粚Α＠纾?dāng)n無限增大(n→∞)時，無限的接近于0，所以我們認(rèn)為不過用這種觀察的方法是不是有可能讓人覺得也是無限的接近于0呀？其實(shí)，后者的極限是1。由此可見，定義1的有點(diǎn)和缺點(diǎn)是一樣突出的。

我們利用定義1可以直觀觀察數(shù)列或函數(shù)的極限值，但是不能確定結(jié)果正確與否。

二、不等式語言模型

定義2解決了定義1的不足之處，即從不等式語言的角度量化描述極限的本質(zhì)，它可以用來證明極限的存在性。例如：

證：由數(shù)列極限的ε-N定義知

對于任意給定的正數(shù)ε，要使只要即可，故可取正整數(shù)

這即是說，對于任意的正數(shù)ε，只要當(dāng)n＞N時，就有即：

定義2的優(yōu)點(diǎn)中也蘊(yùn)藏著缺點(diǎn)，就是ε-N這兩個量的確定方法不是每次都很方便，這就需要一定的補(bǔ)充，幾何語言就是一種較好的補(bǔ)充方式。

三、幾何語言模型

在幾何上，常數(shù)A和數(shù)列的各項(xiàng)都可用數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)表示．因?yàn)樗詳?shù)列xn以A為極限的幾何意義就是：對于任意給定的正數(shù)ε，總能找到正整數(shù)N，使得從第N+1項(xiàng)開始，后面的所有項(xiàng)的對應(yīng)點(diǎn)都落在以A為中心，長度為2ε的開區(qū)間內(nèi)，至多有有限個點(diǎn)在此區(qū)間之外(如圖1.2.2)。

這種語言模型的直觀性很好，用它去做一些分析和判斷，可以幫助我們利用不等式語言去證明一些極限問題，例如下述定理的證明中取的依據(jù)是從哪里來的？

定理1 收斂數(shù)列{xn}的極限是唯一的．

根據(jù)極限定義，對任意ε＞0，存在當(dāng)時，且即則其變?yōu)轱@然，若取則當(dāng)n＞N時，上述兩不等式同時成立.但這是矛盾的，因此得證。

四、等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關(guān)系模型）

人們對等式的感知度是超過不等式的，往往用等式語言揭示極限本質(zhì)更容易讓人理解。

這種等式語言模型巧妙地把極限的本質(zhì)描述成一個等式是否成立，如此，在證明極限的存在性時它就可以派上用場了，往往這會比不等式語言優(yōu)越。例如：

其中，α和β是和f(x)、g(x)同一變化過程中的無窮小。相應(yīng)地有

因?yàn)棣痢捆率菬o窮，故得

可見等式語言比不等式語言真有方便之時。

綜上所述，極限的四中語言模型是各有所長的，如果能夠在任何時候都選取一套適合的語言解決極限問題，那么我們就能更好地解決極限問題了。