極限定義的語言模型

胡旭東

（成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610106）

極限概念是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念遇到困難的主要原因就在于沒有建立極限的幾種等價(jià)語言模型。因此，在教學(xué)中梳理清楚極限的幾種等價(jià)語言模型是有必要的。如果學(xué)生能夠從極限定義的語言模型來認(rèn)識(shí)極限，那么對(duì)突破極限這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，并為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)是有益的。

極限的等價(jià)語言模型大致可以分為以下四種：1、描述性語言模型；2、不等式語言模型；3、幾何語言模型；4、等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關(guān)系模型）。

下面分別論述四種模型的作用。

一、描述性語言模型

定義1：對(duì)于給定的數(shù)列xn，如果當(dāng)n無限增大(n→∞)時(shí)，對(duì)應(yīng)的xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列xn的極限，記作或

上述定義只是一種描述性的說明，“xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A”這段描述只是定性，沒有定量。因此人們?cè)诶眠@個(gè)定義去判斷極限的存在性或?qū)?，或不?duì)。例如，當(dāng)n無限增大(n→∞)時(shí)，無限的接近于0，所以我們認(rèn)為不過用這種觀察的方法是不是有可能讓人覺得也是無限的接近于0呀？其實(shí)，后者的極限是1。由此可見，定義1的有點(diǎn)和缺點(diǎn)是一樣突出的。

我們利用定義1可以直觀觀察數(shù)列或函數(shù)的極限值，但是不能確定結(jié)果正確與否。

二、不等式語言模型

定義2解決了定義1的不足之處，即從不等式語言的角度量化描述極限的本質(zhì)，它可以用來證明極限的存在性。例如：

證：由數(shù)列極限的ε-N定義知

對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，要使只要即可，故可取正整數(shù)

這即是說，對(duì)于任意的正數(shù)ε，只要當(dāng)n＞N時(shí)，就有即：

定義2的優(yōu)點(diǎn)中也蘊(yùn)藏著缺點(diǎn)，就是ε-N這兩個(gè)量的確定方法不是每次都很方便，這就需要一定的補(bǔ)充，幾何語言就是一種較好的補(bǔ)充方式。

三、幾何語言模型

在幾何上，常數(shù)A和數(shù)列的各項(xiàng)都可用數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示．因?yàn)樗詳?shù)列xn以A為極限的幾何意義就是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總能找到正整數(shù)N，使得從第N+1項(xiàng)開始，后面的所有項(xiàng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在以A為中心，長度為2ε的開區(qū)間內(nèi)，至多有有限個(gè)點(diǎn)在此區(qū)間之外(如圖1.2.2)。

這種語言模型的直觀性很好，用它去做一些分析和判斷，可以幫助我們利用不等式語言去證明一些極限問題，例如下述定理的證明中取的依據(jù)是從哪里來的？

定理1 收斂數(shù)列{xn}的極限是唯一的．

根據(jù)極限定義，對(duì)任意ε＞0，存在當(dāng)時(shí)，且即則其變?yōu)轱@然，若取則當(dāng)n＞N時(shí)，上述兩不等式同時(shí)成立.但這是矛盾的，因此得證。

四、等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關(guān)系模型）

人們對(duì)等式的感知度是超過不等式的，往往用等式語言揭示極限本質(zhì)更容易讓人理解。

這種等式語言模型巧妙地把極限的本質(zhì)描述成一個(gè)等式是否成立，如此，在證明極限的存在性時(shí)它就可以派上用場(chǎng)了，往往這會(huì)比不等式語言優(yōu)越。例如：

其中，α和β是和f(x)、g(x)同一變化過程中的無窮小。相應(yīng)地有

因?yàn)棣痢捆率菬o窮，故得

可見等式語言比不等式語言真有方便之時(shí)。

綜上所述，極限的四中語言模型是各有所長的，如果能夠在任何時(shí)候都選取一套適合的語言解決極限問題，那么我們就能更好地解決極限問題了。