極限定義的語言模型

胡旭東

（成都大學信息科學與工程學院，四川 成都 610106）

極限概念是高等數學的一個教學難點，許多學生在學習極限概念遇到困難的主要原因就在于沒有建立極限的幾種等價語言模型。因此，在教學中梳理清楚極限的幾種等價語言模型是有必要的。如果學生能夠從極限定義的語言模型來認識極限，那么對突破極限這個教學難點，并為今后的學習打下堅實基礎是有益的。

極限的等價語言模型大致可以分為以下四種：1、描述性語言模型；2、不等式語言模型；3、幾何語言模型；4、等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關系模型）。

下面分別論述四種模型的作用。

一、描述性語言模型

定義1：對于給定的數列xn，如果當n無限增大(n→∞)時，對應的xn無限接近于一個確定的常數A，則稱A為數列xn的極限，記作或

上述定義只是一種描述性的說明，“xn無限接近于一個確定的常數A”這段描述只是定性，沒有定量。因此人們在利用這個定義去判斷極限的存在性或對，或不對。例如，當n無限增大(n→∞)時，無限的接近于0，所以我們認為不過用這種觀察的方法是不是有可能讓人覺得也是無限的接近于0呀？其實，后者的極限是1。由此可見，定義1的有點和缺點是一樣突出的。

我們利用定義1可以直觀觀察數列或函數的極限值，但是不能確定結果正確與否。

二、不等式語言模型

定義2解決了定義1的不足之處，即從不等式語言的角度量化描述極限的本質，它可以用來證明極限的存在性。例如：

證：由數列極限的ε-N定義知

對于任意給定的正數ε，要使只要即可，故可取正整數

這即是說，對于任意的正數ε，只要當n＞N時，就有即：

定義2的優點中也蘊藏著缺點，就是ε-N這兩個量的確定方法不是每次都很方便，這就需要一定的補充，幾何語言就是一種較好的補充方式。

三、幾何語言模型

在幾何上，常數A和數列的各項都可用數軸上的對應點表示．因為所以數列xn以A為極限的幾何意義就是：對于任意給定的正數ε，總能找到正整數N，使得從第N+1項開始，后面的所有項的對應點都落在以A為中心，長度為2ε的開區間內，至多有有限個點在此區間之外(如圖1.2.2)。

這種語言模型的直觀性很好，用它去做一些分析和判斷，可以幫助我們利用不等式語言去證明一些極限問題，例如下述定理的證明中取的依據是從哪里來的？

定理1 收斂數列{xn}的極限是唯一的．

根據極限定義，對任意ε＞0，存在當時，且即則其變為顯然，若取則當n＞N時，上述兩不等式同時成立.但這是矛盾的，因此得證。

四、等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關系模型）

人們對等式的感知度是超過不等式的，往往用等式語言揭示極限本質更容易讓人理解。

這種等式語言模型巧妙地把極限的本質描述成一個等式是否成立，如此，在證明極限的存在性時它就可以派上用場了，往往這會比不等式語言優越。例如：

其中，α和β是和f(x)、g(x)同一變化過程中的無窮小。相應地有

因為α±β是無窮，故得

可見等式語言比不等式語言真有方便之時。

綜上所述，極限的四中語言模型是各有所長的，如果能夠在任何時候都選取一套適合的語言解決極限問題，那么我們就能更好地解決極限問題了。