例談中考題中的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

季偉

在中考中，韋達(dá)定理作為一元二次方程的重要考點(diǎn)，其考查的方式也是多種多樣的，但萬變不離其宗。現(xiàn)在就讓我們一起走進(jìn)南京中考，看看近年來韋達(dá)定理在中考題中的風(fēng)采。

一、已知兩根，求系數(shù)

例1 （2017·南京）已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p= ;q= 。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將兩根的值直接帶入原方程，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組進(jìn)行求解;第二種，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，在本題中x1+x2=-p，x1·x2=q，直接賦值求解即可。

【答案】4，3。

【點(diǎn)評(píng)】知道一元二次方程的兩個(gè)根，我們可以有兩種方法去求方程的系數(shù)：一種是代入轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，另一種是通過根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解。很明顯，第二種方法比起第一種方法更為高效。而這也顯示了學(xué)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)于求方程的系數(shù)所帶來的高效性。

二、已知一個(gè)根與一個(gè)系數(shù)，求另一個(gè)根與另一個(gè)系數(shù)

例2 （2015·南京）已知方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是 ，m的值是 。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將已知根的值直接帶入原方程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，先求m的值，再求另一個(gè)根的值;第二種，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，在本題中x1·x2=3，可以先求出另一個(gè)根的值，再通過x1+x2=-m，求出m的值。

【答案】3，-4。

例3 （2019·南京）已知2+[3]是關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個(gè)根，則m=。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將根的值直接帶入原方程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解;第二種，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，在本題中x1+x2=4，先求出另一根的值，再通過x1·x2=m，求出m的值。

【答案】1。

【點(diǎn)評(píng)】已知一元二次方程的一個(gè)根與一個(gè)系數(shù)，要求另一個(gè)根與系數(shù)，可以有兩種方法：第一種，通過代入一個(gè)根，先求出另一個(gè)系數(shù)，再對(duì)另一個(gè)根進(jìn)行求解;第二種，通過根與系數(shù)的關(guān)系，先求出另一個(gè)根，再對(duì)另一個(gè)系數(shù)進(jìn)行求解。當(dāng)根的值較復(fù)雜時(shí)，如例3中根的值為2+[3]，直接代入會(huì)造成運(yùn)算的復(fù)雜，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系去求，在計(jì)算上會(huì)便捷很多。

三、已知兩根的關(guān)系式和一個(gè)系數(shù)，求另一個(gè)系數(shù)

例4 （2016·南京）設(shè)x1、x2是方程x2-4x+m=0的兩個(gè)根，且x1+x2-x1x2=1，則x1+x2= ，m= 。

【解析】本題給出了兩根的關(guān)系式，但沒有明確給出兩根的值，仔細(xì)觀察關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系可以得出，x1+x2=4，x1·x2=m，代入關(guān)系式求解即可。

【答案】4，3。

【點(diǎn)評(píng)】題目中給出了兩根的關(guān)系式，表面上我們只有一個(gè)關(guān)系式，但實(shí)際上通過根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以得到三個(gè)與兩根有關(guān)的關(guān)系式。通過將題目所給關(guān)系式轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行求解，將未知化為已知，即可求出另一個(gè)系數(shù)的值。

四、已知兩根的關(guān)系式和一個(gè)系數(shù)，求兩根

例5 （2018·南京）設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個(gè)根，且x1+x2=1，則x1= ，x2= 。

【解析】本題給出了兩根關(guān)系式，通過觀察可直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系得m=x1+x2=1，再代入原方程，求出兩根。

【答案】3，-2。

【點(diǎn)評(píng)】題目中給出了兩根的關(guān)系式和一個(gè)系數(shù)，要直接求出兩個(gè)根有一定困難。但通過根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以得出另一個(gè)系數(shù)的值，將方程完整地表達(dá)出來。最后通過解方程，求出方程的兩個(gè)根。

通過上述例題，我們可以看出，在解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系題目時(shí)，需注意以下兩點(diǎn)：

1.若題目中給出了根或系數(shù)，要求未知的根與系數(shù)，可以有多種方法，但運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以使得求解過程更加簡(jiǎn)單高效;

2.若題目中給出的是兩根的關(guān)系式，要求根或系數(shù)，則可從一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式出發(fā)，將題目中的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的關(guān)系式進(jìn)行求解。

（作者單位：江蘇省南京市鐘英中學(xué)）