完全開放系統的冪律分布及其適用對象

李鶴齡，王雅婷，楊 斌，沈宏君

(1.寧夏大學物理與電子電氣工程學院，銀川 750021；2.寧夏沙漠信息智能感知重點實驗室,銀川 750021)

0 引言

傳統觀念認為不同系綜具有等價性，即認為由不同的系綜推演的結果基本相同，因為曾有關于系綜等價的證明[13]。因而通常在使用統計物理方法解決問題常使用最簡單、方便的3種系綜。如：微正則系綜，它數值計算方便；正則系綜理論分析方便；巨正則系綜處理量子系統方便。但近年來，很多研究成果顯示不同系綜是不等價，如：具有長程關聯的系統[14]、小系統[15]及相變點附近等[16]。這些不等價通常表現為微正則系綜與正則系綜的指數函數分布推導結果不一致，而微正則系綜的推演結果通常是正確的，與實驗結果接近吻合[15]，耐人尋味的是微正則分布是等概論假設的結果，它是冪律分布零次冪的情景。再注意到：隨著相互關聯的增強、長程化和復雜化的研究對象的研究趨熱，隨機性系統的概率分布從指數函數走向冪函數。這樣，對于不同相互關聯的系統和外部環境選擇合適的系綜以及概率分布函數的具體形式就顯得至為重要。因而必須充實統計物理方法中的系綜理論及分布函數的具體形式。

1 基于Rényi熵的冪律分布

1.1 Rényi熵特性的簡單描述

1960年匈牙利數學家Alfréd Rényi在Shannon熵基礎上提出廣義熵[29]或Rényi熵，其為

(1)

1)當q→1時，Rényi熵趨于Shannon熵

(2)

SR(A∩B)=SR(A)+SR(B)

(3)

這也正是現在通常將Rényi熵稱為廣延熵而Tsallis熵(不具有可加性)稱為非廣延熵的原因。事實上，現在常稱為廣延熵的Shannon熵和Rényi熵都會因所描繪的系統的廣延或非廣延性而表現出相應的廣延或非廣延性。

1.2 基于Rényi熵的完全開放系統的冪律分布

考慮一只做膨脹功的單組元系統，設所研究的系統處于熱-粒子源的包圍之中。系統與源之間可有力的、熱的相互作用以及粒子的相互交換。源的巨大，使得這些相互作用不至于影響源的宏觀狀態。系統各微觀態的粒子數Ni、能量Ei、體積Vi都可能不同。在系統和源達到平衡后，相應的平均值N、E、V都是一定的。以pi表示系統微觀態i的概率，則應有:

(4)

由最大熵原理，考慮式(1)的Rényi熵在式(4)的約束，取拉格朗日函數:

(5)

其中λ0、λ1、λ2、λ3都為待定的拉格朗日乘子。令?L/?pi=0，得：

(6)

由歸一化條件，得：

(7)

式(6)是冪函數形式的概率分布函數。按拉氏條件極值的方法，λ0和λk(k=1,2,3)要由式(4)的4個約束式和式(6)的W個方程共W+4方程來確定，但在物理學中，它們必須遵循熱力學定律，因而由熱力學定律來確定。如下分2步來確定拉格朗日乘子。

1)對應性法則的要求。

Rényi熵隨q趨于1而趨于Shannon熵；由Shannon熵得到的是如下的指數分布[30]：

(8)

其中的α、β、κ也是拉格朗日乘子，在遵循熱力學第零定律(熱平衡)、第一(能量守恒)、第二定律(溫度等于內能對熵的偏導數)的要求下，它們分別為

α=-μ/(kBT),β=1/(kBT),κ=P/(kBT)

(9)

并且

(10)

式(9)中μ為化學勢，T為絕對溫度，P為壓強。

對應性法則要求：式(6)應隨q→1而趨于式(8)的指數分布。所以其形式可選為[28]：

(11)

這樣，可保證在q→1時，式(11)趨于式(8)。式(11)中

(12)

(13)

平均值為：

(14)

(15)

(16)

將式(11)代入式(1)，可得熵：

SR=kBlnZ(1)+kBln[1+(1-q)αN+(1-q)βE+(1-q)κV]/(1-q)

(17)

進一步討論后，在熱力學系統應遵循熱力學定律的要求下，上述(11)-(17)這一組熱力學公式存在如下兩個困難：

(1)?S/?E≠1/T=1/(kBβ),即內能對熵的偏導數不等于溫度。

(2)熱力學基本方程不能被推導出，即能量守恒定律不能反映出來。

上述兩個困難的出現源于拉格朗日乗子的不恰當選擇，所以,我們必須重新確定遵循熱力學定律的拉格朗日乗子。

2)選取適當的拉格朗日乗子。

可篩選如下的拉氏乗子：

λ0=λ[1+(q-1)αN/q+(q-1)βE/q+(q-1)κV/q]

(18)

λ1=(1-q)λα/q,λ2=(1-q)λβ/q,λ3=(1-q)λκ/q

(19)

因為N、E、V都是平均值，是常量，式(18)和(19)是由新的4個拉氏乗子λ、α、β和κ替代了式(6)中4個拉氏乗子λ0和λk(k=1,2,3)，因而這是可行的。將式(18)和(19)代入式(6),得：

(20)

由歸一化條件知配分函數：

(21)

式(20)的完全開放系統的概率分布pi是關于變量Ni、Ei和Vi的冪函數形式，其中拉氏乘子α、β和κ是式(9)的形式，由平衡性質決定，N、E和V是平均值，求統計平均時，α、β、κ、N、E和V都不變。將式(20)和(21)代入式(1)，可得：

SR=kBlnZ(2)

(22)

(23)

平均值：

(24)

(25)

(26)

對式(20)求微分，利用式(23)-(26)，并注意到:Z(2)(α,β,κ)、N(α,β,κ)、E(α,β,κ)和V(α,β,κ)都是α、β、κ的函數?？傻茫?/p>

TdSR=dE+PdV-μdN

(27)

式(27)正是習慣的開系的熱力學基本方程。且有：

(28)

自由能:

F≡E-TSR=E-kBTlnZ(2);dF=-PdV-SRdT+μdN

(29)

所以，式(20)及(21)的概率分布和配分函數、式(22)的熵、式(24)-(29)的平均值公式是滿足熱力學定律的完全開放系統的概率分布和熱力學公式。

1.3 基于Rényi熵的其他系統的冪律分布

1.3.1 巨正則分布

利用式(20)，可簡單地獲得其他分布。

巨正則系統的體積是常量。令(20)式中每個微觀態的體積都等于常量，即Vi=V=常量，則式(20)變為

(30)

(31)

式(30)和(31)就分別是巨正則系統的概率分布和配分函數。將此二式代入式(1)，得：

SR=kBlnZG

(32)

(33)

平均值:

(34)

(35)

同樣得開系的熱力學基本方程:

TdSR=dE+PdV-μdN

(36)

以及:

(37)

自由能:

F≡E-TSR=E-kBTlnZG;dF=-PdV-SRdT+μdN

(38)

明顯地有：當q→1時，除了巨配分函數ZG之外，(30)、(32)、(34)和(35)分別轉變為玻爾茲曼-吉布斯(Gibbs)統計的形式。

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

1.3.2 溫度-壓強分布

類似地,當令式(20)中的Ni=N=常量時，得:

(45)

(46)

SR=kBlnZI

(47)

(48)

(49)

(50)

同樣可得類似于(36)-(38)的熱力學方程和公式。

當q→1時，式(45)、(47)、(49)和(50)也趨于玻爾茲曼-吉布斯統計的形式。

當令式(20)中的Ni=N=常量、Vi=V=常量，或令式(30)中的Ni=N=常量，或令式(45)中的Vi=V=常量時，可方便地得到正則分布；其他分布也可方便得到，為避免重復，不贅述了。

顯然，上述完全開放系統、巨正則系統、溫度-壓強系統等的概率分布和熱力學公式是自洽的。

1.4 基于Rényi熵且不受熱力學定律限制的復雜性系統冪律分布的簡單形式

注意到統計物理方法早已被用于研究各種復雜系統，復雜系統一般不必受到諸如“守恒”、熵對內能的偏導數是溫度的單值函數等熱力學定律的限制。注意到式(24)-(26)的平均值公式都是自包含的，求平均值時難度較大。然而式(11)-(16)這套公式盡管不遵循熱力學定律，但卻不是自包含的。如果所討論、研究的復雜性問題不涉及熱力學兩定律的要求，只要賦予N、E、V新的內涵，式(11)-(16)這套公式更簡單、實用。因此，如下我們給出一套較易于求平均值的、可用于復雜系統的更一般的冪律分布和計算平均值的公式。前提是在不必遵循熱力學定律時使用。

設描述復雜系統“總數量”特性的變量有l個，在W個系統隨機狀態中的第i個狀態，由xki(k=1,2,…,l；i=1,2,…,W)描述。則xki的統計平均值為

(51)

按照上述方法可得概率分布函數：

(52)

(53)

因此，平均值為

(54)

熵：

(55)

式(52)-(55)中λk(k=1,2,…,l)是類似于物理學中的統計溫度等具有某種“強度量”特點的復雜性系統的狀態參量。

2 冪律分布不能用于近獨立系統及廣延系統的證明

眾所周知：

3)冪律分布比指數分布更適用于長程相互作用或復雜的非廣延系統。

定理若實函數p(x)是實變量x(-∞

p(x1)p(x2)=p(x1+x2)

(56)

則，唯一不恒等于零的可微函數p(x)只能是指數函數p(x)=ax。式中a是不等于1的正常數(此處唯一性不考慮a的不同值)。

證明：由已知式(56)，令x1=x,x2=dx。有

p(x)p(dx)=p(x+dx)

(57)

因p(x)可微，分別有

p(dx)=p(0)+p′(0)dx

(58)

p(x+dx)=p(x)+p′(x)dx

(59)

將式(58)、(59)代入式(57)，有

p(x)p(0)+p(x)p′(0)dx=p(x)+p′(x)dx

(60)

又x1=x,x=0時，由式(56)，得

p(x)p(0)=p(x)

(61)

要求p(x)非平凡，即p(x)不能恒等于零，應有

p(0)=1

(62)

則由式(60)得

p(x)p′(0)=p′(x)

(63)

對式(63)積分，得：

lnp(x)=p′(0)x+C

(64)

式(64)中的C是待定積分常數。利用式(62),可得C=0。又因p(x)是非平凡的實函數，p′(0)必為不等于0的實數。設p′(0)=λ≠0，則式(64)去對數，成為

p(x)=eλx≡ax。(a=eλ,λ≠0,a≠1,a>0)

證畢。

3 結論

基于最大熵原理和Rényi熵得到了完全開放系統的冪函數形式的概率分布、配分函數(式(20)和(21))、熵(式(22))和平均值公式(式(24)-(26))。

基于Rényi熵巨正則冪律分布、溫度-壓強等其他冪律分布、配分函數及平均值公式((30)-(50))也簡單地得出，它們都是自洽的，且當Rényi熵中的參數q→1時，熱力學函數、平均值公式等都回到了傳統的玻爾茲曼-吉布斯統計的形式。

得到了可不必遵循熱力學定律的、用于一般復雜性的系統較為簡潔的冪律分布和平均值公式(式(11)-(17)或(52)-(55))。

嚴格證明了冪律分布不能用于忽略相互作用的系統及具有廣延性的熱力學系統。