數學科普的華彩篇章

《大哉數學之為用——華羅庚科普著作選集》，華羅庚著，上海教育出版社2019年8月出版

華羅庚不僅是應用數學理論的研究者，也是數學文化的傳播者。他在生命的后半程里，走出書齋，到學校、到工農業(yè)生產一線，走了祖國27個省市，傾情進行科學傳播與普及工作。他寫了大量的數學科普文章，從對傳統(tǒng)數學問題的發(fā)掘演繹，到把抽象高深的數學原理作通俗化的創(chuàng)造性解析，再到在生產生活實際中推廣數學方法的應用，深入淺出，娓娓道來，引人入勝，使具備中學數學水平的人就能入門學習。這些作品得到了國內外數學界和教育界的高度贊譽。

請看華羅庚談“蜂房問題”的華彩篇章。

蜜蜂是無與倫比的偉大建筑師，在人類有史以前就用蜂蠟建造出了密合度最高、所需材料最簡、可使用空間最大的蜂房，其展現出的數學才華，令人類嘖嘖稱奇。藝術家們模仿蜂巢做出了各種藝術品，工程師們利用蜂巢原理來改善房屋的建筑性能，科學家通過對蜂房的研究，把蜂房的原理應用到了通信、飛機和航天器等領域……數學家華羅庚是怎么看待蜂房問題的呢？

1.始于“有趣”

華羅庚是在一本通俗讀物中看到有關蜂房的內容描述的，18世紀初，法國學者馬拉爾琪曾經測量過蜂窩的尺寸，得到一個有趣的發(fā)現，六角形窩洞的六個角都有一個一致的規(guī)律：鈍角等于109°28'，銳角等于70°32'。法國物理學家列奧繆拉由此得到一個啟示，蜂窩的形狀是不是為了使材料最節(jié)約而容積最大呢？瑞士數學家克尼格也得出了類似的結論：要消耗最少的材料制成最大的菱形容器，它的鈍角和銳角的角度接近于上述的數值。華羅庚為此深深著迷：小小蜜蜂在人類有史以前所已經解決的問題，竟要18世紀的數學家和物理學家用高等數學才能解決呢！

2.繼之“困惑”

什么樣的六角形窩洞的鈍角等于109°28'，銳角等于70°32'？六角形六內角的和等于720°，每個角平均120°，而109°28'與70°32'都小于120°，因而不可能有這樣的六角形！“六角形”和“菱形”都是平面圖形的術語，怎么用來刻畫一個立體結構“窩洞”或“容器”呢？

3.于是“訪實”

華羅庚請教了昆蟲學家，找個實物蜂房來觀察，才知道既說“六角”又說“菱形”的意義。原來從正面來看蜂房是由一些正六邊形所組成，每一個角都是120°，并沒什么角度的問題。問題在于房底。蜂房并非六棱柱，而是把六棱柱的一端切下三個同樣的角，并搬移堆砌，使它的底部由三個相同的菱形所拼接而成。而蜂巢就是由兩排這樣的蜂房底部和底部相接而成的。

4.初步“解題”

初步形成并解決一個數學問題：怎樣切出來使所拼成的三個菱形做底的六棱柱的表面積最小？

5.“淺化”“慎微”

嘗試尋找最簡單的數學工具解決問題，并小心留意，提出的幾何問題和解題時所討論的代數問題不一定是完全等價的。

6.退而“疑古”

經計算而得的容積一樣而用材最省的數據比例與實測蜂房的尺寸數據并不相合，因而使人不得不懷疑前人已得的結論。華羅庚為此感嘆：往事幾百年，祖述前賢，瑕疵訛謬猶盈篇，蜂房秘奧未全揭，待咱向前！

7.切入“正題”

由此看來蜂房問題并不是一個單純的“體積給定，求用材最小”的數學問題，必須把蜜蜂的“體態(tài)”入算，從考慮它的身長、腰圍入手，怎樣情況用材最省？通過推算，在“量體裁衣”的考量下，形狀為尖頂六棱柱的蜂房是最省材料的結構。這生動地說明了生物本身與環(huán)境的關系的統(tǒng)一性。至此，蜂房的數學問題算是得到了解決。

8.進而“設問”

華羅庚認為，以上只不過從六棱柱（或四方柱）出發(fā)，按一定的切拼方法做了些研究而已。實質上，這樣的看法未入事物之本質。為什么僅從六棱柱出發(fā)，而不能從三角柱、四方柱或其他柱形出發(fā)，乃至于為什么要從柱形出發(fā)？更不要說切拼之法也是千變萬化了！甚至于為什么要從切拼得來！越想問題越多，思路越寬。比如，由蜂房問題可以引出有名的晶體問題——怎樣的體可以作為晶體？也就是說，用同樣的體可以無窮無盡地、無空無隙地填滿整個空間。由柱體填滿空間問題還可想到其等價問題：怎樣的樣版可以填滿平面的問題。進而設想填滿一個球或一個圓柱的問題……

由蜂房啟發(fā)出來的問題，真是讓人浮想聯翩、由此及彼、由表及里、回味無窮啊！

華羅庚并未就此止步，為了讓進入大學之后的學生還能咀嚼回味思考，他又從“代數”“幾何”“推廣”“極限”“抽象”等方面對蜂房問題進一步作了深入探討。

華羅庚之所以把自己的思考過程源源本本地娓娓道來，是想借由對蜂房問題的解析，為我們提供一個思考、解決疑難問題的生動的樣例：有趣—困惑—訪實—解題—淺化—慎微—疑古—正題—設問—數形結合—推而廣之—極限抽象……這樣一個思維過程是科學家，特別是數學家，認識問題、解決問題的一般途徑。思維方式是探索未知的導航器，習慣于思考聯想的人一定會走得深些遠些;沒有思考聯想的人，雖然讀破萬卷書，依然看不到書外的問題。

以上資料取自華羅庚《談談與蜂房結構有關的數學問題》一文。1984年，上海教育出版社出版了《華羅庚科普著作選集》，該書中收錄的每一篇文章都得到了華羅庚的過目和認可，上文便是其中的一篇。《選集》出版后獲得了無數榮譽，最近的一次是在2018年被評為“改革開放40年中國最具影響力的40本科學科普書”之一。2019年初，上海教育出版社對這部名著作了修訂，重新編輯整合梳理，概括提煉內在主旨，書名為《大哉數學之為用——華羅庚科普著作選集》（同時出版的還有華羅庚的弟子王元先生的大作《大哉言數——王元科普著作選集》）。讀者可以從書中了解到華羅庚傳奇的求學經歷，偉大的數學成就，深邃的數學思想和非凡的數學普及工作。

也許有人會問：現在華羅庚的科普作品是否已經過時？答案當然是否定的。就像2000多年前歐幾里得的經典幾何學，始終是初中數學繞不開的內容，華羅庚當年總結的數學思維規(guī)律、數學建模思想，至今都是數學學習的“金鑰匙”;華老談及“楊輝三角”“祖沖之的圓周率”“數學歸納法”“有限與無窮，離散與連續(xù)”等內容的篇目，觀點高屋建瓴，敘述透徹本原，分析入木三分，如果能讀懂讀透，則勝過讀很多本一般數學普及讀物;華老獨特的“由薄到厚，再由厚到薄”的讀書法，“下棋找高手，弄斧到班門”的求學法，“搜煉古今”的治學法，都是非常高明的。

華羅庚先生的學生、中國科學院院士王元先生曾經有言：華老已經離開我們了，他留給我們的精神財富是豐富的，我們要把他的學問、品德與情操告訴后人，使后人從他的事跡中得到啟發(fā)與教益。在我們看來，《大哉數學之為用——華羅庚科普著作選集》一書并不只是傳播數學知識，還承載了上述深刻意義。