基于響應面的三自由度超聲電機定子設計優化*

牛子杰， 孫志峻， 崔永杰

(1.西北農林科技大學機械與電子工程學院 西安，712100) (2.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

引 言

隨著機器人技術的不斷發展，傳統的單自由度電機很難滿足行業對電機設備的要求，而多自由度(multi-degree of freedom,簡稱M-DOF)電磁電機制造和控制難度大，成本高，傳動裝置復雜[1-2]。超聲電機是利用壓電陶瓷的逆壓電效應，將彈性材料的微觀形變轉變為轉子的宏觀運動的換能元件。其具有速度快、轉矩大、響應快、分辨率高、功率密度高、無電磁干擾[3-4]等特點。因此，超聲電機在實際應用中可以替代一些低功率電磁電動機，同時其靈活多變的設計形式可以滿足不同工程對M-DOF電機的實際需求，具有廣闊的應用前景[5]。

近年來，國內外的專家在M-DOF超聲電機設計方面提出了大量的方案，主要分為組合式和多模態式兩大類。組合式是多個獨立的超聲電機定子并聯驅動同一個球轉子的結構。Masahiko等[6]將M-DOF超聲電機應用于內窺鏡攝像機鏡頭轉向機構。采用3個行波超聲電機定子并聯的形式共同驅動球轉子轉動，旋轉位置精度誤差在2°以內。Nishizawa等[7]將M-DOF超聲電機應用于空間衛星，解決衛星碎片清除問題。通過4個行波超聲電機定子并聯的形式驅動球轉子轉動，分別測試了電機的耐久性和壽命，以達到衛星對電機耐久性的要求。Zhang等[8]提出了利用3個直線超聲電機并聯驅動機械手，實現宏觀與微觀控制。宏觀粗定位誤差在2 mm以內，微觀精細定位誤差在1 μm以內。Wang等[9]研究了3行波環形定子組成的2-DOF超聲電機的摩擦特性以及最優控制策略，得到電機的最大空載轉速和堵轉扭矩分別為92 r/min和90 mN·m。

多模態式M-DOF超聲電機主要是依靠定子的多種共振模態疊加和組合實現球轉子的M-DOF轉動。Yan等[10]采用4個壓電陶瓷片和一個帶凸緣的金屬底座通過粘接組合為一個多自由度定子，利用縱向模式和彎曲模式兩種模態的疊加實現驅動足的三自由度運動，實驗并測試得到驅動足的輸出速度達到327 r/min。Zhang等[11]提出了一種基于3-DOF超聲電機的機器人手指關節，電機采用夾心式的振動器，在電壓作用下實現縱振和彎振的組合，最終獲得最大輸出扭矩約23.5 mN·m。Zhou等[12]提出一種新的2自由度平面直線超聲電機，電機由兩個換能器和兩個等腰三角形構成，通過彎曲振動模態和縱向振動模態疊加生成驅動足的橢圓運動，在400 V的激勵電壓作用下，實現最大推力為3.15 N。Takemura等[13]將3-DOF超聲電機應用于微創手術機械手腕關節結構，利用圓柱狀定子的3種固有振動模式實現球轉子的3-DOF運動，最終設計并加工了手術鉗的腕關節。

以筆者在文獻[14]中提出的一種基于球面接觸副的超聲電機驅動的多自由度關節為研究對象，提出了一種基于響應面模型的3-DOF超聲電機設計與優化策略。對3-DOF超聲電機進行運動學分析建模，通過負載模型分析得到電機最佳驅動頻率范圍，用響應面法對定子最佳頻率對應的模態進行設計和優化，得到滿足設計要求的3-DOF超聲電機。

1 3-DOF超聲電機結構和優化策略

1.1 3-DOF超聲電機結構和工作原理

文獻[14]中提出的3-DOF超聲電機其基本結構如圖1所示。該電機包含3個環形定子，3個柔性底座，1個支架和1個球轉子。定子背面通過環氧膠粘接固化了環形壓電陶瓷片，壓電陶瓷片采用環形超聲電機B05模態的分區極化[15]。3個定子中心線交于一點，呈120°夾角分布。定子表面有齒狀結構，同時齒面形貌是和球轉子表面同曲率半徑的圓弧，保證球轉子和定子能夠緊密貼合。每個柔性底座都有彈性結構，保證電機在裝配完成后球轉子和定子之間具有一定的預緊力。

圖1 3-DOF超聲電機結構Fig.1 Structure of 3-DOF ultrasonic motor

根據文獻[16]考慮電機結構結合系統辨識方法提出了該電機的力學模型。在該模型中引入理想轉速ωid，理想轉速是定轉子之間沒有相對滑動時的電機轉速，理想轉速的表達式如式(1)所示

(1)

其中：k為定子一周中的波長個數；b為定子直徑；h為定子的有效厚度。

可以看到通過改變驅動電壓的頻率可以實現轉速的控制。電機實際工作中由于定轉子的機械摩擦驅動特性，電機的實際轉速ω并不等同于理想轉速ωid。通過實驗方法，描繪具有相同共振頻率，不同理想轉速(不同尺寸)的定子裝配得到的電機扭矩-轉速特性特性曲線。根據曲線可發現橫坐標(轉速)的截距與電機理想轉速相同，曲線斜率與定子共振頻率相同。由此可得電機的輸出扭矩[16]為

Td=f0(ωid-ω)

(2)

其中：f0為電機的共振頻率，可以通過實驗結合系統辨識得到。

由式(2)可知設計初期，電機的輸出扭矩與電機的共振頻率成比例關系，因此要在設計初期引入對電機輸出扭矩的設計，就對應于對電機共振頻率的設計。在確定的共振頻率點附近對電機結構進行優化，就是保證了電機共振頻率的值不變，從而保證了電機輸出扭矩不變。但是圍繞共振頻率點附近對定子進行優化，保證定子共振頻率值不變則需要解決如下問題：a.定子設計模態與干擾模態分離不徹底；b.定子在相同電壓下振動幅度偏小；c.定子內應力較大，超過了材料的許用應力。

1.2 3-DOF超聲電機定子設計與優化策略

該電機使用的定子所利用的模態為金屬圓環面外正交模態，如圖2所示。在定子背面粘接的壓電陶瓷通高頻電壓信號后，壓電陶瓷由于逆壓電效應產生高頻伸縮效應，該高頻伸縮效應以激勵源的形式誘發定子圓環產生一對正交的振動模態記為B05。這兩種模態均在定子表面產生機械駐波，而兩相機械駐波的疊加則在定子表面產生了行波。

圖2 3-DOF超聲電機定子的工作模態Fig.2 3-DOF working mode of the stator

由圓環形定子的工作原理可知，該電機的定子利用兩相正交模態疊加的形式產生行波，因此設計優化時首先要考慮有效模態與干擾模態的分離問題；同時電機輸出高扭矩和高轉速的前提是定子振幅要大；最后定子在振動過程中內應力不能過大，應該小于材料的屈服極限。要同時滿足這些設計要求，則需要解決多目標優化的問題。筆者依靠響應面近似模型和試驗設計方法來實現3-DOF超聲電機定子設計與優化。具體的做法是選取適當的定子結構參數作為設計變量，利用拉丁超立方抽樣方法在變量空間選擇樣本點，針對不同樣本點的組合，利用(ANSYS parametric design language，簡稱APDL)建立有限元模型并對定子進行模態分析和諧響應分析，得到對應各樣本點的響應值(包括前相頻率和后相頻率、定子表面振幅和定子內應力等)，利用樣本點和響應值建立定子優化的響應面模型，再以遺傳算法進行尋優，具體流程如圖3所示。

圖3 3-DOF超聲電機定子優化設計流程Fig.3 Optimal design flow of 3-DOF ultrasonic motor stator

2 電機定子響應面模型

2.1 數值建模

圖4為3-DOF超聲電機定子的結構尺寸簡圖，其涉及到的結構尺寸參數總共13個，其中變化尺寸參數共5個，主要包括：本設計提到的在水平方向和豎直方向影響電機振動特性的主要尺寸,為P3,P7,P8,P10,P12；固定尺寸8個，包括電機定子滿足結構需求的基本尺寸,為P1,P2,P4,P5,P9，P11,P13；元器件供應商所決定的尺寸；以及由尺寸鏈可以換算得到的尺寸。表1為定子變化尺寸及其設計空間。為了獲得較大的振幅，定子采用QSn6.5磷青銅材料，彈性模量為92 GPa，密度為8 500 kg/m3，泊松比為0.33；壓電陶瓷材料采用PZT-8,密度為7 500 kg/m3, 剛度矩陣cE、壓電矩陣e和介電常數矩陣εs分別如式(3)～(5)所示。

圖4 3-DOF超聲電機定子的結構尺寸簡圖Fig.4 Structure size diagram of the stator of 3-DOF ultrasonic motor

mm

(3)

(4)

(5)

根據圖4和表1所示的定子結構和相關尺寸值，以及定子的固定尺寸值，通過APDL可以建立定子的有限元模型。定子采用8節點6面體的SOLID45單元，壓電陶瓷材料采用8節點6面體的SOLID5單元，最終將定子劃分為40 640個單元，共計50 120個節點，同時定子為自由邊界條件。定子的有限元模型如圖5所示。通過模態置信準則(modal assurance criteria，簡稱MAC)方法。對定子模態進行自動識別時需要選取參考振型[17]，參考振型選取的參考節點為定子齒面最外圈的節點，如圖5所示。圖6為初始尺寸模態計算得到的定子兩相模態對應的兩個機械波長參考節點振動特征。

圖5 定子有限元模型Fig.5 Structure size diagram

圖6 參考節點振動特征Fig.6 Vibration characteristics of reference nodes

2.2 優化目標函數確定

關于3-DOF超聲電機定子的優化涉及到多方面的要求，這些設計要求必須在優化算法的目標函數中得到體現。每個目標函數是對實際設計要求的數學描述，反映定子的某個(或某些)特性。根據結構及振型調整的要求及超聲電機設計的一般準則，定子部分所涉及的所有設計要求(優化目標)可以概括為4個目標函數。

1) 前相干擾模態頻率遠離工作模態頻率。比定子工作模態頻率低的頻率有很多，如果這些頻率與工作模態頻率相近，會導致定子產生不需要的振動位移，從而使得電機輸出性能下降。為了保證電機的性能，要求電機的工作模態頻率盡可能大于這些干擾頻率，差值越大越好。同時為了數據處理方便和目標函數的收斂特性，采用兩者差值的倒數作為優化函數，如式(6)所示

(6)

其中：FAB為定子工作模態對應的共振頻率；FF為前相共振模態對應的共振頻率。

2) 后相干擾模態頻率遠離工作模態頻率。與前相干擾模態一樣，后相干擾頻率也很多，如果這些頻率與工作模態頻率相近，會導致定子產生不需要的振動位移，使得電機輸出性能下降。為了保證電機的性能，要求電機的工作模態頻率盡可能小于這些干擾頻率，差值越大越好。優化函數為

(7)

其中：FL為后相共振模態對應的共振頻率。

3) 定子齒面振幅。超聲電機運動的原理決定了定子齒面振幅對電機性能的影響很大。振幅在一定范圍內越大性能越好。因此定子齒面質點在設計模態下沿著振動方向的振幅值也作為一個目標函數。考慮到函數歸一化處理和收斂性要求，取定子齒面振幅的倒數作為目標函數，如式(8)所示

(8)

其中：ZA為A相激勵時定子齒面的振幅；ZB為A相激勵時定子齒面的振幅。

4) 定子安裝部位內應力。超聲電機運動主要依靠定子的振動將壓電陶瓷的變形放大。對于定子最內圈的安裝部位應該保證變形越小越好，即該部位內應力越小越好。因此安裝部位的內應力作為目標函數如式(9)所示

F4=σ

(9)

其中：σ為定子安裝部位的內應力。

由以上分析可知，3-DOF超聲電機定子的優化為多目標優化設計，直接針對多個目標函數進行優化很難得到好的最優結果。為了便于尋找最優解，本研究采用“統一目標函數”法。首先，將各目標函數都轉化為無量綱的值，并將其限定在[0,1]范圍內，即根據各個目標函數的權重，給各目標函數加權因子；然后將各目標函數與各自加權因子的乘積求和作為最終的目標函數。具體如式(10)所示。

(10)

其中:βi為各目標函數的加權系數；Fi為各子目標函數。

本實驗中加權系數共取βa,βb,βc,βd4組，如式(11)所示。

(11)

2.3 優化子目標響應面函數的確定

表1中的P3,P7,P8,P10,P12為可變參數，選擇5個尺寸作為設計變量，則實驗設計變量如式(12)所示。

(12)

同時采用拉丁超立方抽樣實驗設計方法，進行5因素設計。本研究所取得變化尺寸均是直接影響到定子振動特性的尺寸。在選取變化尺寸的時候主要考慮半徑方向，厚度方向相互獨立的尺寸，即一個尺寸的改變不會影響其他尺寸的變化，從而保證了變量間的獨立性，為拉丁超立方抽樣提供了條件。由表1可得初始值為[1.0,1.5,1.2,3.1,1.0]，同時可得各設計變量的取值范圍如式(13)所示。

(13)

通過多學科優化設計軟件Optimus，對各子目標函數進行拉丁超立方抽樣實驗設計[18]，得到56組數據，表2所示的為其中的20組數據。其中，x1～x5分別對應可變尺寸P3,P7,P8,P10,P12，為了獲得高質量的響應面模型，筆者采用二階泰勒級數展開可獲得如下子目標函數模型。

表2 拉丁超立方抽樣實驗樣本

Tab.2 Experimental sample of Latin hypercube sampling

序號P3P7P8P10P12F1(x)F2(x)F3(x)F4(x)x1/mmx2/mmx3/mmx4/mmx5/mm1/Hz1/Hz1/μmPa10.871 20.423 11.158 93.235 90.980 81.64×10-42.10×10-45.73×1052.34×10621.120 90.619 51.269 92.532 20.918 51.10×10-32.45×10-46.32×1053.68×10630.846 00.313 21.105 63.283 40.866 22.80×10-42.48×10-45.47×1052.17×10641.175 80.487 91.192 12.675 30.835 85.66×10-42.78×10-45.51×1053.97×10650.938 30.344 01.059 13.203 31.174 22.89×10-42.75×10-45.52×1052.07×10660.878 80.404 71.098 43.356 00.877 71.55×10-42.68×10-45.58×1052.30×10671.083 70.727 11.386 52.506 90.815 82.01×10-32.48×10-41.11×1062.44×10680.846 40.766 41.108 92.521 30.815 06.38×10-42.48×10-46.77×1053.70×10690.905 20.438 81.112 53.148 50.927 31.54×10-42.24×10-45.64×1052.29×106

1) 子目標函數F1的響應面模型如式(14)所示，其中a0～a20分別為各項的系數。

(14)

由表2數據結合Optimus可得a0～a20的值分別見表3所示。同時得到決定系數R2=86%。

表3 子目標函數F1的系數

Tab.3 The coefficient of the objective function F1

a0～a6取值a7～a13取值a14～a20取值a0-6.8×10-3a74.0×10-3a14-4.5×10-3a1-5.3×10-6a82.3×10-3a15-4.9×10-2a2-9.6×10-3a9-1.4×10-2a16-7.8×10-3a3-1.8×10-2a101.0×10-2a17-6.3×10-3a4-3.5×10-3a112.4×10-2a187.9×10-3a5-6.9×10-3a123.4×10-3a194.2×10-3a6-1.9×10-2a13-2.3×10-2a205.1×10-3

2) 子目標函數F2的響應面模型如式(15)所示，其中b0～b20分別為各項的系數。

(15)

可得b0～b20的值分別見表4所示。同時得到決定系數R2=86%。

表4 子目標函數F2的系數

Tab.4 The coefficient of the objective function F2

b0～b6取值b7～b13取值b14～b20取值b0-7.4×10-3b74.3×10-3b14-1.4×10-3b14.3×10-3b82.3×10-3b15-5.7×10-2b2-1.5×10-2b9-1.5×10-2b16-8.1×10-3b3-2.0×10-2b101.2×10-2b17-9.5×10-3b4-2.1×10-3b112.7×10-2b181.1×10-2b5-5.9×10-3b125.9×10-3b196.6×10-3b6-2.2×10-2b13-2.5×10-2b206.4×10-3

3) 子目標函數F3的響應面模型如式(16)所示，其中c0～c20分別為各項的系數。

(16)

可得c0～c20的值分別見表5所示。同時得到決定系數R2=88%。

表5 子目標函數F3的系數

Tab.5 The coefficient of the objective function F3

c0～c6取值c7～c13取值c14～c20取值c0-6.6×105c75.9×105c14-9.4×105c1-4.6×104c84.7×105c15-8.7×106c2-1.7×106c9-2.5×106c16-1.6×106c3-3.2×106c101.9×106c17-1.1×106c4-5.6×105c114.1×106c181.5×106c5-1.3×106c126.9×105c196.8×105c6-3.5×106c13-4.1×106c208.3×105

4) 子目標函數F4的響應面模型如式(17)所示，其中d0～d20分別為各項的系數。

(17)

可得d0～d20的值分別見表6所示。同時得到決定系數R2=88%。

表6 子目標函數F4的系數

Tab.6 The coefficient of the objective function F4

d0～d6取值d7～d13取值d14～d20取值d02.8×106d7-3.7×105d147.6×105d16.7×105d8-2.1×105d151.5×106d2-1.2×105d91.3×106d167.4×105d36.1×105d10-2.4×105d171.2×105d4-1.7×105d11-5.0×105d186.9×104d54.8×105d124.8×105d194.0×105d67.5×105d139.2×105d204.8×105

2.4 響應面函數分析

根據子目標函數響應面表達式(14)～(17)及子目標函數系數表3～6的分析可以得到如下結論：影響子目標函數F1的主要優化變量為P3和P8；影響子目標函數F2的主要優化變量為P7和P8；影響子目標函數F3的主要優化變量為P7和P8；影響子目標函數F4的主要優化變量同樣為P7和P8。

3 電機定子優化設計

3.1 自適應遺傳算法

由于本研究涉及到的優化參數較多，優化目標函數的基函數項也比較多，因此文中采用自適應遺傳算法進行優化。自適應遺傳算法是一種簡化的模擬生物遺傳和變異過程的算法。本研究用到的自適應遺傳算法是一種基于真實值的連續參數優化算法[18-19]，結合本研究的實際工程情況，自適應遺傳算法主要參數設置為：父代數為20，種群大小為50，步長突變因子為1.3，停止準則為1×10-5。

3.2 數據分析

根據式(12)提供的4種加權系數的組合，結合自適應遺傳算法，建立各子目標函數與最終的目標函數之間的關系；依靠響應面模型對最終的目標函數Fo bj進行優化。優化結果如表7所示，其中*為最優結果組。

對比表7中的4種加權系數組合得到的優化結果，可以得到第3組的優化結果為最優。其中總體優化目標函數Fo bj在4個組合中趨于最小值0.048 8。F1，F3和F43個子優化目標的收斂值也是4個組合中的最小值。子優化目標F2的收斂值在4個組合中并非最小值原因在于：根據式(14～17)得到四個子優化目標的主要影響尺寸變量為P7和P8，同時根據圖6可以看出這兩個尺寸在一個方向上，屬于耦合尺寸，因此想要尋求最優解只能在兩個尺寸之間找到一個平衡點，保證多數優化目標最優的同時少數或者單個優化目標滿足基本要求。

該組總體優化目標函數Fo bj和4個子優化目標函數F1～F4的收斂情況分別如圖7的(a～e)所示。經過了85次迭代，總體優化目標和4個子優化目標都收斂于固定值。

表7 不同加權系數對應的優化結果

圖7 目標函數收斂情況Fig.7 Convergence of objective function

3.3 數據驗證

為了驗證表7中優化結果的正確性，本研究利用ANSYS軟件對各組優化后的尺寸進行了有限元計算，同時將優化目標進行反規格化處理。將有限元計算的結果與響應面模型優化的結果進行對比分析(如表8所示)驗證了響應面模型優化的正確性。

由表8可以看出第3組優化結果：前相干擾頻率與工作模態頻率之間的差值響應面優化結果為3 952 Hz，有限元計算得到的前相干擾頻率與工作模態頻率之間的差值為4 018 Hz；后相干擾頻率與工作模態頻率之間的差值響應面結果為2 824 Hz，有限元計算得到的前相干擾頻率與工作模態頻率之間的差值為2 787 Hz；振動幅值響應面優化結果為1.88 μm，有限元計算的結果為1.92 μm；內應力響應面優化結果為2.05×106Pa，有限元計算的結果為2.33×106Pa。計算結果表明前相干擾頻率差值，后相干擾頻率差值，振動幅值和內應力及實際計算一致性較好，同時均滿足要求，可見采用的統一目標函數法基本可實現多目標優化設計的需求。根據表7第3組加權系數組合得到的優化結果，將尺寸參數圓整到精度為0.01 mm，利用ANSYS軟件重新計算，并與定子初始值計算得到的結果進行比較，結果如表9所示。

表8 定子優化結果反規格化數據與ANSYS計算結果對比驗證

Tab.8 Comparison of inverse optimization data and ANSYS calculation results of stator optimization results

分組序號結果分類β1β2β3β41/F1(x)1/F2(x)1/F3(x)F4(x)HzHzμmPa1優化結果ANSYS驗證1.0×10-21.0×10-21.0×10-71.0×10-82 9233 2144 1494 0221.841.872.06×1063.68×1062優化結果ANSYS驗證5.0×10-35.0×10-32.0×10-82.0×10-92 0702 1085 2365 0871.791.722.12×1062.45×1063優化結果ANSYS驗證2.0×10-32.0×10-35.0×10-85.0×10-83 9524 0182 8242 7871.881.922.05×1062.33×1064優化結果ANSYS驗證5.0×10-35.0×10-31.0×10-72.0×10-93 4243 4583 5343 5921.811.862.07×1062.24×106

表9 初始值與終止值對照

Tab.9 Comparison between initial value and

termination value

優化相關變量優化前優化后優化參數P3/mm1.000.95P7/mm0.500.35P8/mm1.201.02P10/mm3.103.37P12/mm1.000.90優化目標1/F1(x)/Hz1 0254 0181/F2(x)/Hz1 5322 7871/F3(x)/μm0.971.92F4(x)/MPa5.982.33目標頻率/kHz23.6722.88前相干擾頻率/kHz22.6418.87后相干擾頻率/kHz25.2925.67

3.4 實驗驗證

本實驗采用PSV多普勒激光干涉儀對根據優化前后尺寸加工得到的定子進行掃描和測振。主要測量得到定子的共振頻率和共振頻率下定子的振幅，實驗過程中定子的激勵峰值電壓為100 V。由實驗可得定子的振動模態如圖8所示，同時實驗得到定子振幅如表10所示。

由圖8可得測試得到的定子振動模態與計算保持一致。根據表10的實驗結果分析可得：優化后的定子z方向的振幅明顯增大，證明了本研究提出的定子優化方案的有效性。

圖8 實驗得到的定子振動模態Fig.8 Vibration mode of the stator obtained from the test

優化A相B相FA/kHzzA/μmFB/kHzzB/μm優化前23.380.8523.540.90優化后22.861.9522.852.00

4 結束語

針對3-DOF超聲電機定子的多目標優化問題，筆者提出一種基于響應面模型的多目標優化方法，對定子前相干擾頻率、后相干擾頻率、齒面振幅和內應力進行了多目標優化。優化結果表明，優化后的定子前相干擾頻率與目標頻率之間的差值大于3 500 Hz，定子后相頻率與目標頻率的差值大于2 500 Hz，定子齒面振幅大于1.9 μm，定子內應力小于2.5 MPa，均滿足定子設計的基本要求。同時該方法使得普通的有限元計算中手動選擇參數變為自動計算獲得最優解，為更復雜的多目標優化設計提供了思路，大大縮短了優化設計的周期。