基于混合拉普拉斯模型和EM算法的圖像降噪方法

張正杰

（蘇州市軌道交通集團(tuán)有限公司，蘇州 215004）

一般來(lái)說(shuō)，圖像在生成和傳輸過(guò)程中常常因受到各種噪聲的干擾和影響而使圖像降質(zhì)，這對(duì)后續(xù)圖像的處理將產(chǎn)生不利影響。噪聲可以理解為“妨礙人們的感覺(jué)器官對(duì)所接受的信源信息理解的因素”。目前，圖像去噪在數(shù)字圖像處理技術(shù)中的重要性越加明顯。

近年來(lái)，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時(shí)頻特性，因而實(shí)際應(yīng)用也非常廣泛。在去噪領(lǐng)域中，小波理論也同樣受到了許多學(xué)者的重視，他們應(yīng)用小波進(jìn)行去噪，并獲得了非常好的效果[1、2]，具體來(lái)說(shuō)，小波去噪方法的成功主要得益于小波變換具有如下特點(diǎn)[3]：（1）低熵性（2）多分辨率 （3）去相關(guān)性（4）選基靈活性。基于這些特點(diǎn)，提出一種基于混合拉普拉斯模型和EM算法的圖像降噪方法。

1 小波去噪問(wèn)題的描述

設(shè)噪聲圖像 G（i，j）=X（i，j）+n（i，j），降除噪聲的問(wèn)題可以認(rèn)為是如何將X（i，j）從G（i，j）中恢復(fù)出來(lái)。對(duì)噪聲圖像進(jìn)行小波變換后得到WG（i，j）=WX（i，j）+n（i，j）。

常用的傳統(tǒng)的低通去噪濾波方法有滑動(dòng)平均窗（均值濾波方法）、線性濾噪、中值濾波、基于秩-階濾波（排序量）的方法、基于馬爾可夫場(chǎng)模型[4]和基于偏微分方程（PDE）的方法[5]等。用這些方法可以去除大部分的噪聲小波系數(shù)，同時(shí)較好地保留圖像的高頻細(xì)節(jié)信號(hào)。但仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，用這種方法去噪，并沒(méi)有考慮圖像本身的能量分布特點(diǎn)，不可避免地會(huì)造成各個(gè)子帶去噪的不平衡，不利于圖像的恢復(fù)。

2 最大后驗(yàn)估計(jì)與混合拉普拉斯模型

2.1 最大后驗(yàn)估計(jì)

設(shè)噪聲圖像g=x+n，其中，n是獨(dú)立的均值為0的高斯白噪聲，g是觀測(cè)到的含有噪聲的信號(hào)，x是不含噪聲的原始信號(hào)，而在小波域問(wèn)題就可以被描述成：y=w+n，其中，y是觀測(cè)到的含噪信號(hào)的小波系數(shù)，w是無(wú)噪原始信號(hào)的小波系數(shù)，n為獨(dú)立的均值為0的高斯白噪聲。

w的最大后驗(yàn)估計(jì)定義為

定義f（w）=log（Pw（w），這樣通過(guò)對(duì)對(duì)上式求導(dǎo)，并令其為0，即：

便能夠得到w的最大后驗(yàn)估計(jì)。

2.2 單一拉普拉斯模型

有了w的最大后驗(yàn)估計(jì)，接下來(lái)便要估計(jì)觀測(cè)信號(hào)小波系數(shù)的分布模型，若假設(shè)無(wú)噪信號(hào)的小波系數(shù)服從單一的拉普拉斯概率密度函數(shù)，則：

2.3 混合拉普拉斯模型

若假設(shè)無(wú)噪信號(hào)的小波系數(shù)服從混合拉普拉斯概率密度函數(shù)，可得

與y的關(guān)系可以表示為：

2.4 混合概率密度函數(shù)

本小節(jié)將一個(gè)拉普拉斯概率密度函數(shù)與一個(gè)高斯概率密度函數(shù)的卷積表示成一個(gè)概率密度函數(shù)，以方便下節(jié)用EM算法進(jìn)行參數(shù)計(jì)算。將y=x*n（“*”代表卷積）的概率密度函數(shù)簡(jiǎn)記為，可得：

3 EM算法

混合模型會(huì)有比單獨(dú)的概率密度函數(shù)更多的參數(shù)，而隨著參數(shù)數(shù)量的增加，通過(guò)觀測(cè)信號(hào)對(duì)參數(shù)的估計(jì)的準(zhǔn)確度就會(huì)降低，所以選擇適量的參數(shù)并對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)很重要，現(xiàn)引入EM算法來(lái)解決參數(shù)估計(jì)的問(wèn)題。

3.1 EM Algorithm

設(shè)給定的訓(xùn)練樣本是x={x1，x2，…，xm}，樣本間相互獨(dú)立，我們想找到每個(gè)樣本隱含的類別z，能使得p（x，z）最大。EM是一種解決存在隱含變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的有效方法。對(duì)于每一個(gè)樣本i，讓Qi表示該樣本隱含變量z的某種分布，Qi滿足的條件是根據(jù)Jensen不等式，要想讓等式成立，需要讓隨機(jī)變量變成常數(shù)值。對(duì)式子做進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到一般的EM算法的步驟如下：

循環(huán)重復(fù)直到收斂

{

（E步）對(duì)于每一個(gè)i，計(jì)算：

（M步）計(jì)算：

}

即E步固定θ，優(yōu)化Q，M步固定Q，優(yōu)化θ，循環(huán)直至收斂。

3.2 EM算法求解混合拉普拉斯模型參數(shù)

E-step：

M-step：

估計(jì)混合模型的方差：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本論文采用的無(wú)噪圖像是一張大小為512×512像素的灰色標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖，只經(jīng)過(guò)灰度化將圖像的三維矩陣轉(zhuǎn)換成一維矩陣。

4.1 無(wú)噪圖像小波系數(shù)模型驗(yàn)證

本節(jié)驗(yàn)證無(wú)噪圖像的小波系數(shù)是否符合提出的混合拉普拉斯模型，對(duì)于混合模型參數(shù)的估計(jì)也采用EM算法。其結(jié)果如圖1-3所示，其中圖1代表無(wú)噪圖像第一層小波系數(shù)的分布直方圖，圖2代表無(wú)噪圖像第二層小波系數(shù)的分布直方圖。

圖1 無(wú)噪圖像第1層小波系數(shù)的分布直方圖

圖2 無(wú)噪圖像第2層小波系數(shù)的分布直方圖

從結(jié)果來(lái)看，無(wú)噪圖像的小波系數(shù)近似符合混合拉普拉斯模型，由EM算法迭代出的參數(shù)也符合圖像小波系數(shù)的分布。

4.2 噪聲圖像小波系數(shù)驗(yàn)證

本節(jié)驗(yàn)證疊加了噪聲的圖像經(jīng)小波變換后的小波系數(shù)的分布，是否符合混合Lapgauss概率密度函數(shù)，疊加的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為10。結(jié)果分別如圖3-6所示。其中圖3代表含噪圖像第一層小波系數(shù)的分布直方圖，圖4代表含噪圖像第二層小波系數(shù)的分布直方圖。

圖3 含噪圖像第1層小波系數(shù)的分布直方圖

圖4 含噪圖像第2層小波系數(shù)的分布直方圖

從結(jié)果來(lái)看，噪聲圖像的小波系數(shù)分布也符合混合Lapgauss概率密度函數(shù)。

4.3 圖像降噪結(jié)果

降噪效果分析

經(jīng)過(guò)降噪處理后的圖像其均方根誤差為3.7，相較于疊加的高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為10，經(jīng)過(guò)處理后，圖像的噪聲大小下降了近66.67%，取得了較為不錯(cuò)的效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了一種基于圖像小波系數(shù)分布方法的圖像降噪方法。對(duì)實(shí)際的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像的降噪過(guò)程中，驗(yàn)證其近似符合混合拉普拉斯模型，并利用EM算法計(jì)算混合模型的參數(shù)，原理簡(jiǎn)單、算法清晰、流程明確，在對(duì)圖標(biāo)準(zhǔn)圖像的測(cè)試中也取得了較為理想的效果，能夠有效并且快速地對(duì)圖像進(jìn)行降噪處理。

但是在本文提出的方法中，主要考慮了當(dāng)圖像較為符合混合拉普拉斯模型的情況。若圖像的小波系數(shù)為其他的分布，或者噪聲為其他分布時(shí)，相應(yīng)的結(jié)果便不會(huì)很理想，所以對(duì)模型以及相應(yīng)的公式推導(dǎo)還有很大的提升空間。