運用合情推理，建構知識體系

顧新佳

【摘要】推理是數學的基本思維方式，新課程標準明確指出要重視學生合情推理能力的培養，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，促進學生合情推理能力的發展。本文通過對分數乘法意義的教學，通過類比、猜想、驗證等合情推理活動，使學生明晰求一個數的幾分之幾是多少可以用乘法計算的合理性，并且通過類比、操作等活動幫助學生建構分數乘法的知識模型，有效促進學生合情推理能力的發展。

【關鍵詞】推理 推理能力 合情推理 類比推理

新課程標準在“課程設計思路”部分明確指出：“推理能力的發展應貫穿整個數學學習過程。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”推理一般包括合情推理和演繹推理。“合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。合情推理又有歸納推理、類比推理等形式。”筆者在執教蘇教版數學六年級上冊“求一個數是另一個數的幾分之幾是多少”一課時，充分運用合情推理，幫助學生理解“求一個數是另一個數的幾分之幾是多少”可以用乘法計算的合理性，并通過類比分數乘整數的計算，幫助學生建立分數乘法的知識模型。

一、運用合情推理，完善數量關系認識

“求一個數是另一個數的幾分之幾是多少”的實際問題，是對乘法運算意義的一次重要擴展，同時也是后面分析并解決分數、百分數實際問題的前提，是分數的認識及其運算內容中的核心知識。筆者在幾次試上的過程中，發現教材在引導學生用整數乘、除法算出紅花有多少朵后，教材直接出示：“求10朵的1/2是多少，可以用乘法計算。”對于這樣的直接告知，學生普遍表示不大理解。于是，筆者運用合情推理中的類比推理，由求“倍數”類推到求“幾分之幾”也可以用乘法來計算。課始，筆者出示三道復習題：

（1）合唱隊有女生16人，男生8人，女生人數是男生的幾倍？

（2）圖書館有科技書80本，文藝書70本，科技書本數是文藝書的幾倍？

（3）李伯伯家養了4只母雞，5只公雞，母雞只數是公雞只數的幾分之幾？

學生答完題后，問：這三道題有什么相同的地方？

生1：這三道題，都是求幾倍的。

生2：我補充一下，這三道題，有的是求誰是誰的幾倍，有的是求誰是誰的幾分之幾。

生3：老師，我再補充一下，其實不管是求誰是誰的幾倍，還是求誰是誰的幾分之幾，都是在求數量之間的倍數關系。

師：幾分之幾也可以表示倍數關系嗎？

生3：我覺得可以，只不過因為是幾分之幾，說明前一個數量比后一個數量小了，我們一般不說“倍”了。

小結：嗯，總結得真好，不管是求一個數是另一個數的幾倍，還是幾分之幾，都表示求數量之間的倍數關系。

《現代漢語詞典》中對“倍數”的解釋是：“倍數，表示一個數除以另一個數的商。”同樣，幾分之幾，也是表示一個數除以另一個數的商。兩者在意義上是相同的。合情推理的本質是“發現—猜想”，本環節從學生已有的知識經驗出發，引導學生通過觀察題組的相同點，讓學生類比出不管是求一個數是另一個數的幾倍還是幾分之幾，都表示倍數關系，使得學生完善了對數量關系的認識。

二、運用合情推理，明晰計算方法

三組復習題過后，學生心中已經建立了對倍數關系的完整認識，在此基礎上，我們繼續設計題組訓練，通過類比推理，幫助學生明晰計算方法。

1.題組類比：幫助學生理解算法的合理性

課件出示三道練習題：

⑴學校田徑隊有20人，跳繩隊人數是田徑隊人數的3倍，跳繩隊有多少人？

⑵水果店運進梨30箱，蘋果是梨的4/3倍，蘋果有多少箱？

⑶小明有郵票40張，小紅的郵票是小明郵票的1/4，小紅有郵票多少張？

前兩題，學生很快根據數量關系，分別用乘法算出了結果。第三題，學生出現了兩種不同的方法：（1）運用整數乘、除法計算;（2）直接用分數乘法計算。

所謂類比推理，是根據兩個或兩類對象在一系列屬性上是相同或相似的，而且已知其中的一個或一類對象還具有其他的屬性，從而推出另一個或另一類對象也具有同樣的其他屬性的推理。求一個數的幾分之幾是多少，可以用乘法計算這個道理我們沒有選擇直接告知學生，而是通過題組訓練，引導學生類比推理，得到三題都是研究數量間的倍數關系，從而順利推出：“求小紅郵票多少張，也可以直接用40×（1/4）來計算。”

但是，類推到這一步并未結束，而是通過學生呈現的兩種算法的進一步對比，通過演繹推理，證明用乘法計算的合理性，從而幫助學生順利完成對算法合理性的把握。

2.題組類比：引導學生驗證結論的正確性

通過三道例題的類比，學生得到了“求一個數的幾分之幾是多少”可以直接用乘法計算，雖然學生也經歷了演繹推理的證明，但畢竟學生是初次接觸類似的算法，要想在學生腦海中建立完整清晰的計算方法模型，就必須強化訓練。于是，筆者繼續出了一組題：

小星做了10朵綢花，其中1/2是紅花，2/5是綠花。

（1）紅花有多少朵？

（2）綠花有多少朵？

師：求紅花多少朵，就是求什么？求綠花呢？

生：求紅花多少朵就是求10朵綢花的1/2是多少朵，求綠花多少朵就是求10朵綢花的2/5是多少朵。

學生獨立計算。

根據統計，大約有超過93%的學生選擇直接用乘法計算，并且學生對選用乘法計算的道理講得也非常清晰。

通過上述題組的訓練，學生再一次經歷了求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，進一步鞏固了可以直接用乘法計算結論的正確性。

三、運用合情推理，建構知識體系

1.對比練習，清晰分數乘法意義的結構

從運算的意義來說，分數乘法有兩種意義，既可以表示幾個相同分數連加的和，也可以表示“求一個數的幾分之幾是多少”。為了幫助學生清晰地認識分數乘法的意義，我們設計了一組對比題。

（1）水果店運來12筐蘋果，運來的橘子是蘋果的3/4。橘子有多少筐？

（2）做一個中國結用3/4米彩繩，小英做了12個，一共用彩繩多少米？

學生獨立地做題。

師：兩道題都可以用算式12×（3/4） 來計算，它們表示的意義一樣嗎？為什么？

生1：我認為是不一樣的。第一小題表示求12的 3/4是多少，第二小題表示求12個3/4的和是多少。

師：也就是說12×? 既可以表示12的3/4是多少，也可以表示求12個3/4的和是多少。

師：這兩道題有什么相同的地方嗎？

生2：都是有關分數的實際問題，根據數量關系，都可以用乘法計算。

2.獨立編題，豐富分數乘法意義的認識

學生通過上述兩道題的類比推理后，加強了對分數乘法意義的認識。這時，筆者趁熱打鐵，要求學生編寫一道用分數乘法計算的實際問題。學生根據對分數乘法意義結構的認識，創造性地編寫出了許多符合要求且有價值的實際問題。（如圖1、圖2、圖3和圖4、）

通過題組對比和編題訓練，將第一課時“分數乘整數”意義與本節課學習的“求一個數的幾分之幾是多少”的意義相勾連，學生能夠從對比分析中，感受到分數乘法的意義，幫助學生建立分數乘法意義的知識體系。

四、差異對比，強化對分數乘法意義的理解

在幫助學生鞏固了對分數乘法意義的清晰認識的基礎上，筆者進一步通過類比推理的訓練，強化了學生對分數乘法意義模型的深刻理解。

（1）一堆沙，每次運走1/8噸，4次共運走多少噸？

（2）學校有72個籃球，六（3）班分得這批籃球的2/3，六（3）班分得多少個籃球？

（3）一塊3米長的布，剪去3/5米，還剩多少米？

師：為什么前兩題可以用乘法計算？

生1：第一小題是求4個1/8噸是多少，可以用乘法計算;第二小題是求72的2/3是多少，也可以用乘法計算。

師：為什么第三小題你們用了減法。

生2：因為剪去了3/5米，是實際數量，要用3米剪去3/5米才能算出還剩多少米。

師：做完這三道題，你有什么想說的嗎？

生3：有的分數問題是可以用乘法計算的，有的分數問題是可以用減法計算的。

生4：并不是所有題目都可以用乘法計算的，要看清楚數量關系再計算。

生5：只有當求一個數的幾分之幾是多少或者幾個相同的分數連加的時候才能用分數乘法。

生6：老師，我還想到一道題，就是“長方形的長是4米，寬是3/4米，求長方形的面積是多少”。這也可以用乘法計算，但是它不屬于我們今天學習的情況。

學生通過差異化問題的對比分析，進一步鞏固了對分數乘法意義模型的認識，將學生腦海中的新舊知識有機地聯系起來，形成了完整的知識網絡。

能力的發展絕不等同于知識與技能的獲得，能力的獲得是一個緩慢吸收內化的過程，有其自身的特點和規律。合情推理能力的發展同樣具有其特點和規律，需要我們在平時的教學過程中加強研究。合情推理的實質是“發現”，學生如何將自己通過做題和觀察所得的“發現”表達出來是形成推理能力的重要表現。幾何直觀可以幫助學生清晰地表達自己的推理過程。如在執教蘇教數學版六年級上冊“求一個數是另一個數的幾分之幾是多少”一課時，我們給出了圖例，并引導學生在圖上畫一畫，通過畫圖將算理和算法講清楚。

新課程標準指出：“教師要重視學生合情推理能力的培養，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，促進學生合情推理能力的發展，使學生能有條理地思考問題。”在平時的教學過程中，教師應有效運用合情推理，有助于提升學生的推理能力和對知識體系的理解。

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