衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒反饋濾波器方法研究

丁明亮 趙 昂

中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，洛陽(yáng) 471000

在“三軸陀螺+姿態(tài)角敏感器”的衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)中，陀螺儀提供高輸出率、低噪聲的姿態(tài)量測(cè)信息，但其量測(cè)誤差會(huì)隨著時(shí)間不斷增長(zhǎng)。而外部的姿態(tài)敏感器則提供了低輸出率、高噪聲的姿態(tài)信息，但量測(cè)誤差是有界的。為了獲得更加準(zhǔn)確的姿態(tài)信息，擴(kuò)展卡爾曼算法(EKF)一直被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)中。其一階泰勒展開(kāi)的非線性近似，存在一定的截?cái)嗾`差，狀態(tài)偏導(dǎo)雅可比矩陣也增加了計(jì)算負(fù)擔(dān)，無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)，以及粒子濾波(PF)也存在同樣的問(wèn)題[1-3]。

卡爾曼濾波為線性最優(yōu)、最小方差濾波器，但需同時(shí)滿足系統(tǒng)模型與噪聲統(tǒng)計(jì)信息準(zhǔn)確的要求，這在實(shí)際系統(tǒng)中，往往是很難達(dá)到的。上述處理非線性問(wèn)題的拓展方法也面臨同樣問(wèn)題。“最優(yōu)”只反映了卡爾曼濾波在統(tǒng)計(jì)上的特性，很難解釋真實(shí)的工程系統(tǒng)。衛(wèi)星在空間系統(tǒng)中運(yùn)行，對(duì)運(yùn)算載荷的要求很高[4-5]，濾波算法中的大量矩陣求逆運(yùn)算增加了系統(tǒng)運(yùn)算負(fù)擔(dān)，如果能犧牲有限的估計(jì)精度，換取計(jì)算量的大幅下降，對(duì)工程實(shí)現(xiàn)有很重要的意義。

衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)本身為一閉環(huán)系統(tǒng)，因?yàn)闉V波器的輸出信息需要反饋到陀螺，對(duì)陀螺誤差進(jìn)行校正[6]。由分離定理可知，對(duì)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行研究并不會(huì)影響最終的姿態(tài)估計(jì)精度[2]。Hughes[7]將濾波估計(jì)與反饋合并為控制反饋模型進(jìn)行研究，把原系統(tǒng)改變?yōu)榭捎^可控系統(tǒng)，但并沒(méi)有給出具體的濾波方法。Ruiter[8]在控制反饋模型基礎(chǔ)上，將整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以解耦為時(shí)變與時(shí)不變2大部分，忽略了時(shí)變部分的影響，將原來(lái)系統(tǒng)視為定常系統(tǒng)，這樣就可以離線提前對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的最終穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行求解。但并沒(méi)有考慮角速度(控制反饋濾波器中視為系統(tǒng)不確定性)的影響。對(duì)于存在不確定性因素的系統(tǒng)模型，通常應(yīng)用魯棒濾波器進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，目前衛(wèi)星估計(jì)魯棒算法研究都基于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波模型[6-9]，并沒(méi)有應(yīng)用于控制反饋模型。

本文將控制反饋模型中的時(shí)變部分作為系統(tǒng)不確定性考慮，使用魯棒濾波方法求解。該方法既保留了離線提前計(jì)算濾波參數(shù)，節(jié)約計(jì)算資源的特點(diǎn)，又比不考慮系統(tǒng)時(shí)變因素控制反饋濾波器的估計(jì)精度有所提升。

1 衛(wèi)星姿態(tài)控制反饋濾波器

1.1 反饋控制的衛(wèi)星姿態(tài)濾波模型

本節(jié)中介紹如何通過(guò)反饋誤差量，將傳統(tǒng)的衛(wèi)星姿態(tài)濾波模型改變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)。陀螺儀的量測(cè)模型可以假設(shè)為：

ωg=ω+b+ng

(1)

(2)

其中,ω為載體姿態(tài)角速度，?表示四元數(shù)乘法，四元數(shù)矢量q則可以表示成(q1-3,q4)，q1-3為載體姿態(tài)方向，q4為標(biāo)量，表示姿態(tài)角的大小。設(shè)陀螺的估計(jì)四元數(shù)誤差為(Δqg, Δqg4)，星敏感器的四元數(shù)誤差為(vm, Δqm4)，則該兩項(xiàng)的差值四元數(shù)可以表示為：

(3)

y=Δqgm=Δqg-vm

(4)

估計(jì)的載體坐標(biāo)系相對(duì)于真實(shí)的載體坐標(biāo)系的角速度可以寫(xiě)成：

Δω=ωg-T(Δqg,Δqg4)ω

(5)

T為姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，由式(1)，(2)，(5)可以得到陀螺姿態(tài)估計(jì)誤差四元數(shù)的動(dòng)態(tài)方程[10]：

(6)

即：

(7)

(8)

(9)

如果衛(wèi)星的姿態(tài)角速度為0，可以得出：

(10)

設(shè)：

(11)

由以上定義，可以得出陀螺估計(jì)誤差的閉環(huán)系統(tǒng)為：

(12)

由于A,K,H,G為常值矩陣，該閉環(huán)系統(tǒng)為離散時(shí)不變系統(tǒng)。

1.2 反饋控制濾波器的穩(wěn)定反饋增益求解

線性時(shí)不變系統(tǒng)如果給定系統(tǒng)與量測(cè)的噪聲協(xié)方差矩陣Q和R，卡爾曼濾波的估計(jì)方差矩陣P最終將收斂，形成穩(wěn)定的濾波增益。同理，根據(jù)式(12)，設(shè)P=Ε{xxT}可以得到以下的黎卡提方程：

(13)

(A-KH)TPs+Ps(A-KH)T+
KRKT+GQGT=0

(14)

上式在存在2個(gè)未知矩陣K與Ps，增益K的設(shè)定需要使估計(jì)協(xié)方差最小，即Ps的跡最小。 如果陀螺與星敏感器的三個(gè)姿態(tài)方向的噪聲統(tǒng)計(jì)信息相同，則可以設(shè)

(15)

r，qq，qb為常值標(biāo)量，則濾波增益的穩(wěn)定解可以表示為[10]：

(16)

其中：

(17)

(18)

(19)

至此，只需要設(shè)定與星敏感器量測(cè)噪聲相關(guān)參數(shù)r，陀螺姿態(tài)四元數(shù)噪聲qq和陀螺常值漂移噪聲qb三個(gè)標(biāo)量信息，就可以求解最終的增益矩陣Ks。

2 衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒反饋濾波器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(9)可以分析得出：當(dāng)衛(wèi)星存在姿態(tài)角速度時(shí)，濾波器的狀態(tài)方程中存在一個(gè)時(shí)變項(xiàng)：

(20)

如果依然使用時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值增益，則會(huì)對(duì)估計(jì)產(chǎn)生一定的誤差。本文將該部分作為系統(tǒng)的不確定項(xiàng)處理，即：

(21)

再通過(guò)魯棒濾波的方法，重新求取穩(wěn)定時(shí)刻的濾波參數(shù)。這樣雖不能消除該項(xiàng)對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，但是可以將影響降低。

離散時(shí)不變系統(tǒng)的魯棒濾波算法可以通過(guò)求解雙代數(shù)Riccati方程，得出最終的濾波參數(shù)[11]。相比于采用線性不等式約束的方法[6]，該方法只需要矩陣的代數(shù)運(yùn)算，工程性更強(qiáng)。下面對(duì)該方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的概述。

考慮到以下時(shí)不變離散不確定系統(tǒng)：

xk+1=(A+δAk)xk+wk
yk=(C+δCk)xk+vk

(22)

其中不確定性參數(shù)δAk與δCk，上式可以寫(xiě)成以下范數(shù)有界表達(dá)式：

xk+1=(Ak+H1,kFkEk)xk+wk
yk=(Ck+H2,kFkEk)xk+vk

(23)

(24)

δk,m為迪拉克函數(shù)，任一個(gè)狀態(tài)濾波器可以表示成：

(25)

ek+1=Grek+(A-Gr+UrC)xk+
(ΔAk-UrΔCk)xk+wk-Urvk

(26)

(27)

其中

(28)

(29)

通過(guò)得到的Pr值，設(shè)以下矩陣參數(shù)：

(30)

那么以下代數(shù)Riccati方程存在穩(wěn)定解Qr：

(31)

則估計(jì)算子的濾波增益可以寫(xiě)成：

(32)

濾波方程為：

(33)

值得注意的是式(12)為反饋后的狀態(tài)方程，式(18)是普通的預(yù)測(cè)與量測(cè)的濾波器方程，為了使式(29)與式(12)表達(dá)方式一致，可以將vm直接作為量測(cè)即Ck=δCk=0。

魯棒濾波器通過(guò)設(shè)定系統(tǒng)不確定度的上界來(lái)保證濾波估計(jì)精度，所以其參數(shù)是根據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的可能最大角速度求解的(即提前對(duì)衛(wèi)星的最大角速度進(jìn)行假設(shè)，再根據(jù)假設(shè)值求解)，該方法存在一定的保守性。根據(jù)式(20)，衛(wèi)星姿態(tài)角速度實(shí)際影響的是估計(jì)誤差四元數(shù)的方向信息Δqg，并不影響其幅值Δqg4。Ruiter[8]指出即使不對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)角速度項(xiàng)進(jìn)行考慮，對(duì)最終的濾波精度影響也是有限的。

本文的魯棒反饋濾波器算法則考慮了該部分對(duì)整個(gè)衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)精度的影響，可在原控制反饋濾波器的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提升估計(jì)精度，同時(shí)滿足可以離線計(jì)算濾波穩(wěn)態(tài)參數(shù)，減少計(jì)算量的優(yōu)點(diǎn)。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 仿真數(shù)據(jù)

針對(duì)存在衛(wèi)星角速度與不存在衛(wèi)星角速度2種情況進(jìn)行仿真。將反饋控制濾波方法和魯棒反饋控制濾波方法的濾波結(jié)果分別與傳統(tǒng)的EKF方法進(jìn)行比較，并統(tǒng)計(jì)3種情況的估計(jì)誤差均方差(MSE)：

(34)

陀螺的最大角速度為10(°)/s，魯棒濾波器參數(shù)為H1=[(10π/180)2I3×3, 01×3]T，E=[I3,03]，ε=1.15。

3.2 仿真結(jié)果與分析

衛(wèi)星無(wú)角速度時(shí)，3種濾波結(jié)果如圖1，圖中由上而下分別為X,Y,Z三個(gè)姿態(tài)軸方向的估計(jì)誤差，X軸方向?yàn)椴蓸訒r(shí)間。通過(guò)對(duì)圖1的觀察，紅色曲線反映的EKF方法在濾波初期波動(dòng)較大，這是因?yàn)槌跏茧A段EKF的濾波增益主要決定于初始估計(jì)誤差協(xié)方差P, 而根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，為了能夠使濾波快速收斂，P在初始時(shí)刻的數(shù)值往往設(shè)置較大，從而產(chǎn)生較大的濾波增益，使估計(jì)誤差結(jié)果出現(xiàn)波動(dòng)。在濾波器達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)(此處考慮濾波時(shí)間800s后)，3種濾波方法的估計(jì)誤差差別不大。具體的量化結(jié)果MSE在表1中給出。

圖1 衛(wèi)星無(wú)角速度旋轉(zhuǎn)三軸姿態(tài)角估計(jì)結(jié)果

衛(wèi)星存在角速度時(shí)，在仿真中三軸都設(shè)置了10(°)/s的旋轉(zhuǎn)角速度，3種濾波結(jié)果如圖2。

圖2 10(°)/s旋轉(zhuǎn)角速度三軸姿態(tài)角估計(jì)結(jié)果

由圖2可知，在濾波初期的收斂階段，EKF估計(jì)誤差依然波動(dòng)較大。為了更明確地對(duì)比反饋濾波與魯棒反饋濾波的性能優(yōu)異，圖3給出了2種濾波器0(300s濾波估計(jì)結(jié)果，即濾波收斂前的輸出結(jié)果。由圖可知，魯棒反饋濾波器(綠色曲線)的估計(jì)誤差更加平穩(wěn)，尤其在X姿態(tài)軸方向。

圖4給出了穩(wěn)態(tài)時(shí)刻(本文認(rèn)為800s～2000s)3種濾波器的輸出結(jié)果。由圖可知，EKF在穩(wěn)態(tài)時(shí)刻，性能優(yōu)于其他2種濾波器，3種濾波器的估計(jì)結(jié)果差異不大。具體的量化結(jié)果MSE在表1中給出。

表1 不同時(shí)段下3種濾波器估計(jì)指標(biāo)MSE結(jié)果對(duì)比

圖3 0～300s反饋濾波與魯棒反饋濾波估計(jì)結(jié)果對(duì)比

圖4 穩(wěn)定狀態(tài)800～2000s三軸姿態(tài)角估計(jì)結(jié)果

通過(guò)以上對(duì)比研究，在衛(wèi)星無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度時(shí)，3種濾波方法的估計(jì)精度差距不大。EKF在濾波收斂階段0～300s估計(jì)誤差大于反饋控制與魯棒反饋濾波器，但穩(wěn)態(tài)階段800～2000s估計(jì)誤差則優(yōu)于其他2種濾波器。在全部采樣時(shí)間0～2000s計(jì)算估計(jì)誤差均方差，反饋控制濾波器與魯棒反饋控制濾波器的估計(jì)性能十分接近，都優(yōu)于EKF濾波器。

在衛(wèi)星存在旋轉(zhuǎn)角速度時(shí)，任何時(shí)段里，魯棒反饋濾波器的估計(jì)性能都要優(yōu)于反饋控制濾波器。在濾波收斂階段，三軸精度提升40.74%，22.72%，6.6%，在穩(wěn)定階段三軸精度提升了6.59%，28.3% ，6.62%，全局估計(jì)精度提升了12% ，21.05%，4%。

傳統(tǒng)的EKF濾波器無(wú)論在衛(wèi)星有無(wú)角速度，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，估計(jì)性能優(yōu)于以上2種濾波器，表明在線計(jì)算濾波器的實(shí)時(shí)性能依舊好于離線計(jì)算。但在線計(jì)算對(duì)衛(wèi)星的運(yùn)算性能提出了更高的要求，離線計(jì)算可以節(jié)省大量的計(jì)算資源，更利于工程實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于控制反饋濾波模型的魯棒反饋濾波器，應(yīng)用該濾波器對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，首先將原有系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程中的時(shí)變部分進(jìn)行分離，并將該部分作為系統(tǒng)的不確定度進(jìn)行考慮，然后通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI)的魯棒濾波器算法求解最終的濾波參數(shù)。該方法可以離線計(jì)算，相比傳統(tǒng)的EKF濾波器，可以大幅節(jié)省計(jì)算資源。同時(shí)，在衛(wèi)星存在旋轉(zhuǎn)角速度時(shí)，本文的設(shè)計(jì)方法比控制反饋濾波器的三軸的估計(jì)精度分別提升了12%，21.05%和4%，與EKF的性能差距進(jìn)一步縮小。仿真結(jié)果表明，在穩(wěn)態(tài)情況下，魯棒反饋濾波器估計(jì)精度雖然不及EKF濾波器，但差距并不大，在估計(jì)精度要求有限的情況下可以替代EKF，具有很高的工程適用性。該方法在衛(wèi)星更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的性能將在未來(lái)繼續(xù)深入研究。