立體幾何中三視圖的學習障礙及其對策探究

摘 要：新課改之后高考對三視圖部分的考察越趨于重視，但在實際的學習中因其需要一定的空間思維和空間想象能力而成為學生學習的難點。要想順利突破這一障礙，不僅需要學生培養所需的空間思維，同時還應正確理解與掌握解決三視圖的方法。本文就以學生在學習三視圖時所面臨的障礙進行分析，目的在于找尋突破的辦法，幫助學生克服學習障礙，提高數學學習效率。

關鍵詞：三視圖;學習障礙;解決辦法

英國著名數學家M.阿蒂亞曾說過，“幾何是數學中這樣的一個部分，其中視圖思維占主導地位，而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分，這種區分也許用另外一對詞更好，即‘洞察與‘嚴格，兩者在真正的數學研究中起著本質的作用。即，幾何是直觀邏輯，代數是有序邏輯。”這表明，幾何不只是一個數學分支，還是一種思維方式，它滲透數學的所有分支。三視圖作為高中學習的必修知識，它不僅是高考的必考點，更多的是對學生的學習和生活都發揮很大的作用：（1）幾何直觀和幾何語言都是認識和描述現世世界空間與圖形關系的重要工具。（2）三視圖問題的解決有助于數學思維的發展。（3）有助于發展學生的直覺能力，培養學生的創新精神。（4）有助于發展學生的合情推理與演推理的能力，以及運用圖形語言進行表達與交流的能力。（5）有助于培養學生發現美、鑒賞美、創造美的能力。這些都緊貼新課標對學生的要求，因此研究三視圖具有一定的教育意義。

根據調查發現，在高中的數學教學中，學生對三視圖的學習卻存在很大問題。我們發現主要問題有以下兩個方面：一方面由于2003新課程改革之后三視圖才被作為新添內容加入高中課本，從而導致一部分老師并沒有系統學習這一部分內容，所以在教學過程中是一種邊學邊教的形式，無法準確把握教學要求。另一方面有些學生本身就對空間圖形存在恐懼以及沒有一些好的解決問題的辦法，導致學習出現障礙。

通過對不同的班級學生進行研究，筆者嘗試分析產生學習障礙的成因，對三視圖中常見的問題歸納整理如下：

（一） 教材方面的原因

高中的教材更加偏向于邏輯與理解，相對于初中教材來說難度和跨度更大，雖然學生在初中也已經接觸過立體幾何方面知識，但在初中與高中的教材銜接上還是存在一些問題，從而使一些空間感不強的學生感覺到學習吃力。同時，三視圖是必修二的內容，是文理科學生都要學習的內容，但是文理科學生的空間思維是存在差異的，文科生偏向于直觀思維，理科生偏向于邏輯思維，這也將導致不同的學生對教材的把握程度各有不同。

（二） 學生認知的原因

發生認識論的締造者皮亞杰，稱得上除了弗洛伊德之外的心理學界的一個偉人。在他的觀點中，認識的生長不完全是經驗的作用，而是個人在認識發展的過程發揮了重要作用。這就說明學生并不是空著腦袋走進課堂的，他們具有一定的知識和經驗，他們在學習新知識的時候，也會根據過去的成敗經驗對新內容進行主觀判斷，有些學生在初中時就不喜歡幾何，對幾何缺乏興趣，這樣就會直接影響對新知識的學習，影響數學學習的效率。因此教師要正確運用理論與經驗相結合，幫助學生理解與掌握三視圖。

（三） 學生性別的原因

楊木蘭女士指出女性最顯著的表現是感覺和記憶，男性的優勢在于抽象推理和空間想象推理。女孩擅長處理來自感官的信息和各種記憶資料，而男孩一般在空間技能上表現出色。因此相對于女生來說，男生在學習三視圖上不管是學習能力還是接受能力都要更強一些，這就導致男女生在三視圖的學習中出現兩極分化，但值得慶幸的是，女生在學習上相對于男生來說更加的踏實和努力，從而彌補了一定的性別差異。

（四） 學生能力的原因

通過談話的形式，我們發現班里有一部分學生從小學開始就被家長送去生活園，然后由生活園的老師負責輔導家庭作業。我們知道其實有些輔導班里的老師并不是合格的教師，為了學生完成作業，有的甚至直接告訴學生答案，而忽略了引導學生思維能力的培養。漸漸地使學生依賴性增強，獨立思考的能力減弱，碰到問題不能自行解決，總是依靠老師來幫助解決，漸漸形成了失去了老師就不會學習的情況。在小學學習的關鍵期得不到學習能力的培養，將直接影響高中時期的學習，漸漸形成不會學習的現狀，導致學習產生障礙。

（五） 教師教學的原因

高中階段教學內容多，難度大，教師往往只是為了完成教學任務而講課，上課常常忽略學生的主體地位。再加上班級人數眾多，教師也難以照顧到個體差異。在研究的過程中，我們也發現由于下課時間短，學生除了解決個人問題之外，再想去問老師問題的時間少之又少，這也直接導致問題的積攢。在教學內容上，三視圖的教學本身就具有一定的抽象性，如果這個時候教師不能夠很好地通過實物直觀和準確的語言進行講解和描述，不能夠準確把握教學內容的重難點，這也會導致學生在學習中產生困惑，這種困惑如果不能及時得到解決，將直接阻礙后面內容的學習。

為了解決學生學習三視圖的困難，突破立體幾何學習障礙，接下來我們將從以下幾個方面談一談應對策略。

（一） 化抽象為具體

三視圖本身就來源于生活實際，它是把生活的實物摒棄其物理、化學性質，保留人們想象中的空間形式。那么，在開始講述三視圖時，教師可以引導學生從實際出發，通過三個方面觀察實物，不斷在心里建構其模型并不斷豐富自己的表象儲備。上課時，教師可以通過多媒體課件的形式展示常見的幾何體，對于幾何體的制作可以通過常用的幾何畫板或者使用CorelDRAW軟件，幫助對幾何體進行分割和組合，讓學生觀察它的特點，慢慢引導學生過渡到抽象空間思維中，為以后的學習打下基礎。

（二） 激發學習興趣

數學這門課本身就具備極強的邏輯性和思維性，而三視圖這部分更是把數學的特性體現得淋漓盡致，這就導致一些邏輯性不強的學生對它很難產生學習興趣。我們知道學生的學習離不開興趣，有了興趣的驅使才能使學習動機增強。因此，在三視圖的教學中，應更注重學生的直接經驗，讓學生自己動手操作，并提出一些切合學生實際的新穎性的帶有一定趣味性的問題，讓問題既有廣度又有深度，又有挑戰性。

心理學家奧蘇貝爾在有意義接受學習理論中指出，教師應注重基本原理、基本概念的教學，但是對于問題的解答不必一定根據標準答案形式，引導學生用自己的語言進行回答，鍛煉學生的思維力。

根據心理學家班杜拉的自我效能感理論，我們知道，所謂的自我效能感是指個人對自己能否成功從事某一成就的主觀判斷。所以在學生回答完問題之后，不論回答的對與錯，教師都應該做好積極地強化，幫助學生增強學習的信心并有目的地培養其發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

（三） 培養空間想象能力

空間想象能力是學習立體幾何必須具備的能力，但是這種能力并不是天生的，可以通過后天的培養產生的，因此在教學過程中，要充分的重視這一方面。對于空間想象能力的培養，首先要了解模型與三視圖直接的關系，其次是熟悉模型與直觀圖直接的對應關系，最后了解三視圖與直觀圖之間的對應關系。在這三方面內容都非常熟悉的基礎上，空間想象能力才能慢慢建立起來。

（四） 三視圖的理論講解及破解策略

三視圖，顧名思義就是“三個視圖”。將一個物體放置在三投影面體系中，用正投影法分別向三個投影面投影，就得到了物體的三面投影，即三視圖。具體如下：從物體的前面向后面正投影稱為正視圖，也稱主視圖;從物體的左面向右面正投影稱為側視圖也稱左視圖;從物體的上面向下面正投影稱為俯視圖。

其次要了解視圖與物體的方位關系，所謂方位關系，指的是繪圖者（或看圖者）面對正面（即主視圖的投射方向）來觀察物體為準，看物體的上、下、前、后、左、右六個方位在三視圖中的對應關系。但實際上許多學生只對于長方體這種方正的圖形，才有長、寬、高的概念，其實任何物體均有長、寬、高三個方向尺寸，分析的前提必須先規定物體的長、寬、高尺寸方向。教師應強調正對主視圖的水平方向為物體的長度方向，那么此時其寬度和高度方向就自然地確定下來了。由此可見，每一視圖只能反映物體兩個方向的尺寸，且每兩個視圖反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的內在聯系。將其歸納一下，就是我們所熟知的“主視俯視長對正，主視左視高平齊，左視俯視寬相等”。若是教師在教學中能對以上內容加以細致講解，相信學生對三視圖的掌握會更加容易。

理論的講解主要是幫助學生更好地理解三視圖，而在具體的解決問題之中，則需要一些破解策略，方能更快解決問題。三視圖涉及的圖形大致可分成兩類：一類是基本幾何圖形，一類是簡單組合圖形。對于基本幾何圖形又可分為兩類，含有曲面的曲面幾何體（如圓柱、圓錐、圓臺和球）和不含曲面的幾何體（如棱柱、棱錐、棱臺等），對于簡單組合圖形，也可分為兩類，疊加類組合體（如小正方體組合體）和切割類組合體。

1. 圖形特征法

三個視圖中有兩個視圖是平行四邊形，一般就是柱，是什么柱，看另外一個視圖的外輪廓，如果是三角形，則是三棱柱;如果是四邊形，則是四棱柱;如果是圓形，則是圓柱。

三個視圖中有兩個視圖是三角形，一般就是錐，是什么錐，看另外一個視圖的外輪廓，若果是三角形，則是三棱錐;如果是四邊形，則是四棱錐;如果是圓形，則是圓錐。

三個視圖中有兩個視圖是梯形，一般就是臺，是什么臺，看另外一個視圖的外輪廓，如果是三角形，則是三棱臺;如果是四邊形，則是四棱臺;如果是圓形，則是圓臺。

三個視圖外輪廓中，有兩個視圖是扇形，一般就是球的一部分。

2. 圖形切割法

高中階段的立體圖形，基本上都是由長方體、正方體、圓柱、圓錐或球體切割出來的，因此在實際解決問題的過程中，始終把握住這一點，再去觀察三個視圖的具體特征，嘗試推斷應該是由哪種物體切割而成。推斷出之后，就可以先把它繪制出來，再通過連接輔助線的方法對圖形進行切割并不斷比對三視圖，直到切割出所求幾何體為止。這種方法一般不可能一次就能切割準確，需要反復嘗試幾次，因此需要學生具有一定的耐心和信心。

例：已知下圖是空間幾何體的三視圖，畫出該幾何體。

解：物體三個視圖的構成都是矩形，長方體截角后，截面是一個三角形，在每個視圖中反映為不同的三角形，因此該幾何體為：

本題的解決需要學生先判斷原幾何體是由什么切割出的，再根據圖形特征畫出原圖。

3. 拆分組合法

對于三視圖來說，除了有切割體，還有組合體，即由兩個或兩個以上基本幾何體疊加而成的立體，通常分為上下兩部分，而且上下兩部分有明顯的分界線，那么拆分組合法的基本步驟：①看三視圖，把三視圖各個部分分開;②把對應的主視圖、左視圖、俯視圖排在一起;③按照圖形特征法將其還原;④將還原后的各個幾何體重新疊加。對于三視圖中的組合體類型來說，題目內容相對簡單，把握住這幾點，應該能順利解決問題。

例：由5個小立方塊搭成的幾何體，其三視圖分別如下，請畫出這個的幾何體。

解：先畫出幾何體的正面，再側面，然后結合俯視圖完成幾何體的輪廓，如下圖所示：

本題主要考查學習對于組合體三視圖掌握情況，學生應該在畫三視圖之前，先把幾何體的結構弄清楚，確定一個正前方，從三個不同的角度進行觀察.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來，繪制三視圖.也就是由客觀存在的幾何物體，從觀察的角度，得到反應出物體形象的幾何學知識。

本文主要是是對高中生立體幾何中三視圖的學習障礙的研究，研究的內容包括產生障礙的原因和解決障礙的對策。目的是希望幫助學生能夠更好地認識立體幾何，更好地培養良好的數學思維和良好的數學學習習慣，能夠在學習的過程中，收獲成功的喜悅。

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作者簡介：

戴云天，安徽省蕪湖市，安徽師范大學。