基于實(shí)測(cè)資料和非侵入式隨機(jī)有限元法的結(jié)構(gòu)可靠度分析及其應(yīng)用

季 昀，孟亞運(yùn)

(1. 國家能源局大壩安全監(jiān)察中心，杭州 310000；2. 中國電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州 310000； 3. 中國電建集團(tuán)中南勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，長沙 410000)

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度理論是研究定量描述系統(tǒng)不確定性因素的一種理論。一般認(rèn)為，1946年A.M. Freudenthal 發(fā)表的《The safety of structures》標(biāo)志著可靠度理論在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域研究的開始。之后，出現(xiàn)了考慮基本變量概率分布類型的一次二階矩法(FORM)、二階可靠度方法(SORM)、Monte-Carlo法等實(shí)用化方法。然而，盡管以FORM、SORM等方法為代表的結(jié)構(gòu)可靠度算法得到了廣泛的應(yīng)用，但它們都僅適用于功能函數(shù)簡(jiǎn)單且為顯式形式的情形[1]。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中的大量結(jié)構(gòu)系統(tǒng)屬于復(fù)雜非線性系統(tǒng)[2]，其功能函數(shù)通常是隱式的，此時(shí)FORM、SORM等方法將不再適用。Monte-Carlo方法雖然同時(shí)適用于求解功能函數(shù)為隱式與顯式時(shí)的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)與失效概率，但由于它在分析小失效概率的可靠度問題時(shí)要求的抽樣次數(shù)太多、計(jì)算效率太低而難以適用。

正是由于使用上述計(jì)算方法進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠指標(biāo)與失效概率求解有諸多不便，F(xiàn)aravelli[3]、Bucher與Bourgund[4]、Gavin與Yau[5]和Nguyen[6]等人將Box與Wilson[7]提出的響應(yīng)面法(Response Surface Method, RSM)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠度分析領(lǐng)域，并取得了良好的效果。經(jīng)典的響應(yīng)面法是將原有結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的功能函數(shù)用序列二次多項(xiàng)式進(jìn)行替代，隨后以中心復(fù)合抽樣或者拉丁超立方抽樣等抽樣方法獲得樣本點(diǎn)，應(yīng)用回歸方法確定該序列多項(xiàng)式的待定系數(shù)，最后針對(duì)獲得的顯式替代功能函數(shù)求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)與失效概率。從本質(zhì)上來說，經(jīng)典響應(yīng)面方法的基本思路為采用序列多項(xiàng)式替代原有結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型并擬合系統(tǒng)輸入輸出，這與近年來發(fā)展起來的Metamodel(或稱surrogate model，model of model，代理模型)方法在基本思路上是一致的，只是相對(duì)而言，Metamodel的概念內(nèi)涵更加寬泛一些[8]。除了經(jīng)典響應(yīng)面法外，Metamodel還包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[9,10]、Kriging模型[11]、支持向量機(jī)[12,13]以及隨機(jī)響應(yīng)面等多種近似模型。

隨機(jī)響應(yīng)面法憑借其明確的物理意義和數(shù)學(xué)意義上的收斂特性(在功能函數(shù)平方可積的條件下)，近年來在結(jié)構(gòu)可靠度分析領(lǐng)域得到了一定的推廣和應(yīng)用[14,15]，但目前在水工結(jié)構(gòu)工程中應(yīng)用尚不多見。將隨機(jī)響應(yīng)面法與工程結(jié)構(gòu)分析的有限元法采用“非侵入式”方法相結(jié)合，可得非侵入式隨機(jī)有限元法，這有別于20世紀(jì)末提出的隨機(jī)有限元法[16]。此外，目前結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)的物理力學(xué)參數(shù)大多直接選取設(shè)計(jì)值進(jìn)行分析，然而，結(jié)構(gòu)在運(yùn)行期的物理力學(xué)參數(shù)往往較設(shè)計(jì)值有一定差別。鑒于此，本文提出了一種基于實(shí)測(cè)資料反演力學(xué)參數(shù)與隨機(jī)響應(yīng)面法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算模式，并將其應(yīng)用于重力壩結(jié)構(gòu)可靠度分析。

1 結(jié)構(gòu)可靠度隨機(jī)響應(yīng)面法簡(jiǎn)介

隨機(jī)響應(yīng)面法與經(jīng)典響應(yīng)面法最大的區(qū)別在于其響應(yīng)面函數(shù)形式為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量構(gòu)成的Hermite正交多項(xiàng)式，而非直接由輸入隨機(jī)變量構(gòu)成的序列多項(xiàng)式。1938年，Wiener首次采用隨機(jī)多項(xiàng)式(Wiener's polynomial chaos)來研究系統(tǒng)隨機(jī)過程的基本理論，這可以看作是有關(guān)隨機(jī)響應(yīng)面研究的最早案例。Cameron和Martin[17]從數(shù)學(xué)理論上證明，任意一個(gè)隨機(jī)過程的二階矩可以分解為服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的隨機(jī)變量組成的有限項(xiàng)多項(xiàng)式，并且該多項(xiàng)式是收斂的。Hermite正交多項(xiàng)式正是最早被證明具有該特性的多項(xiàng)式，因此，一般情況下，Hermite多項(xiàng)式又直接被稱作隨機(jī)多項(xiàng)式。

一維Hermite正交多項(xiàng)式的具體表達(dá)式為：

(1)

其遞推公式為Hi(x)=xHi-1(x)-(i-1)Hi-2(x),i≥3，即H0(x)=1，H1(x)=x，H3(x)=x3-3x，H4(x)=x4-6x2+3。

根據(jù)Cameron-Martin定理[17]，對(duì)于平方可積空間L2(R,μ)內(nèi)的任意函數(shù)f(x)，都存在一個(gè)Fourier-Hermite展開，滿足：

(2)

式中：fi為對(duì)應(yīng)Hermite多項(xiàng)式Hi(x)的系數(shù)。

當(dāng)式(2)中的變量x用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量ξ替代時(shí)，可將其改寫為：

(3)

式中：fi為對(duì)應(yīng)Hermite多項(xiàng)式Hi(ξ)的系數(shù)，可以通過適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@得一定的樣本點(diǎn)，然后由回歸方法求得。

由此可見，任意平方可積空間內(nèi)的函數(shù)都可以用Hermite多項(xiàng)式進(jìn)行近似表達(dá)，且選取的Hermite多項(xiàng)式階數(shù)越高，則逼近誤差越小，因?yàn)镠ermite多項(xiàng)式構(gòu)成了平方可積空間的正交基，這一性質(zhì)是經(jīng)典響應(yīng)面采用的序列多項(xiàng)式所不具備的。此外，由于一般工程中所遇到的問題中的函數(shù)基本都是滿足平方可積這一特性，這也使得將其用于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)或者是功能函數(shù)的擬合成為可能。

總體說來，隨機(jī)響應(yīng)面法就是通過采用隨機(jī)多項(xiàng)式展開來近似擬合結(jié)構(gòu)的隨機(jī)輸入與隨機(jī)響應(yīng)之間關(guān)系的方法。采用隨機(jī)多項(xiàng)式擬合功能函數(shù)后，可采用FORM、SORM、幾何法等傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法求解相應(yīng)的失效概率和可靠指標(biāo)。具體計(jì)算流程如下。

(1)收集有關(guān)信息和數(shù)據(jù)，分析結(jié)構(gòu)可靠度問題類型，確定輸入隨機(jī)變量向量x。將輸入隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量隨機(jī)向量ξ。

(2)選用合適形式的Hermite展開多項(xiàng)式構(gòu)成隨機(jī)響應(yīng)面中的響應(yīng)面函數(shù)，以此近似擬合原結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復(fù)雜的功能函數(shù)。

(3)選用合適的配點(diǎn)方法獲得隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)的概率配點(diǎn)。將各配點(diǎn)作為原模型的輸入，計(jì)算原模型相應(yīng)的輸出值。

(4)用回歸方法計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)，獲得隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)的最終表達(dá)式。

(5)針對(duì)上一步確定的隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式，采用幾何法或Monte-Carlo模擬法等方法求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)與失效概率。

(6)計(jì)算結(jié)束。

2 基于實(shí)測(cè)資料和非侵入式隨機(jī)有限元法的結(jié)構(gòu)可靠度分析模式

本文提出基于實(shí)測(cè)資料和非侵入式隨機(jī)有限元法的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法，主要分為力學(xué)參數(shù)反演、構(gòu)建功能函數(shù)、結(jié)構(gòu)可靠度求解3個(gè)方面。一般地，重力壩結(jié)構(gòu)可靠度分析包括抗滑穩(wěn)定可靠度、壩踵抗拉可靠度以及壩趾抗壓可靠度等，以下以重力壩的壩踵抗拉可靠度(以下簡(jiǎn)稱重力壩抗拉可靠度)為例進(jìn)行分析。具體操作流程如下：

(1)建立位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)值的統(tǒng)計(jì)模型，分離出其中的水壓分量。大壩位移統(tǒng)計(jì)模型一般如下：

δ(δx、δy或δz)=δH+δT+δθ=

(4)

(2)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)得到的壩體與地基彈性模量取值范圍，確定若干對(duì)壩體與地基彈性模量的組合。

(3)建立壩體與地基結(jié)構(gòu)分析的有限元模型，分別計(jì)算第(2)步中對(duì)應(yīng)的不同壩體與地基彈性模量組合情況下的大壩在監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移值。

(4)將第(3)步得到的位移值作為輸入，對(duì)應(yīng)的壩體及地基彈性模量作為輸出，應(yīng)用非線性模型(如徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]，RBFNN)建立3者的映射關(guān)系。

(5)將第(1)步中得到的監(jiān)測(cè)點(diǎn)位移統(tǒng)計(jì)模型中的水壓分量作為第(4)步建立的非線性模型的輸入，即可得到一組壩體與地基彈性模量。可以認(rèn)為，該組壩體與地基彈性模量即為真實(shí)的壩體與地基彈性模量。

(6)確定輸入隨機(jī)變量向量x，一般為上游水位、壩體彈模和壩基彈模等，其中，壩體和壩基彈模均值取為第(5)步的反演值。將各輸入隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量隨機(jī)向量ξ。

(7)確定重力壩的失效模式，在此基礎(chǔ)上建立重力壩的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。

表1示，在合并組和單純CRC組中，Duke分期分布差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，χ2=8.93，P=0.03；經(jīng)兩兩比較，A期與B期差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P=0.002，校準(zhǔn)后的檢驗(yàn)水準(zhǔn)α=0.007。

(8)選用合適形式的Hermite展開多項(xiàng)式構(gòu)成隨機(jī)響應(yīng)面中的響應(yīng)面函數(shù)，以此近似擬合重力壩結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隱式功能函數(shù)。

(9)選用合適的配點(diǎn)方法獲得隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)的概率配點(diǎn)。將各配點(diǎn)作為原模型的輸入，調(diào)用有限元軟件計(jì)算重力壩有限元模型相應(yīng)的輸出值。

(10)用回歸方法計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)，獲得隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)的最終表達(dá)式。

(11)針對(duì)上一步確定的隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式，采用幾何法或Monte-Carlo模擬法等方法求解重力壩的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)與失效概率。

(12)計(jì)算結(jié)束。

3 工程應(yīng)用

3.1 工程概況

某水電站擋水建筑物為混凝土重力壩，大壩為2級(jí)水工建筑物等級(jí)，正常蓄水位為150.00 m。大壩自左岸向右岸分為10個(gè)壩段，最大壩高為112.00 m，位于5號(hào)壩段。5號(hào)壩段最大壩高為112.00 m，壩頂寬度6.0 m，壩體上游面高程84.00 m以上為豎直面，以下坡度為1∶0.3，下游面折坡點(diǎn)高程為145.00 m，折坡點(diǎn)以下坡度為1∶0.75。地基巖性主要為石英砂巖、粉砂質(zhì)泥質(zhì)巖石、細(xì)砂巖等，上覆第四系松散堆積物，主要有殘坡積塊及河床沖積漂塊石等。

3.2 力學(xué)參數(shù)反演

建立該壩段的二維有限元分析網(wǎng)格模型，壩基在上下游方向各延伸200 m，壩基深度取為200 m，整體有限元網(wǎng)格及壩體有限元網(wǎng)格分別見圖1和圖2。模型中一共包括1 955個(gè)節(jié)點(diǎn)，1 840個(gè)單元，且均為四節(jié)點(diǎn)四邊形單元。x向?yàn)榇髩紊舷掠畏较颍粂向?yàn)榇髩胃叨确较颉Ｔ诘鼗纳舷掠蝹?cè)各節(jié)點(diǎn)施加法向約束，在地基的底部各節(jié)點(diǎn)施加固定約束。分析中僅考慮上游水壓力以及壩體、地基自重荷載的作用。

圖1 壩體及壩基有限元網(wǎng)格模型

圖2 壩體有限元網(wǎng)格模型 圖3 位移測(cè)點(diǎn)EX2-4埋設(shè)位置

首先，應(yīng)用式(4)對(duì)5號(hào)壩段水平位移測(cè)點(diǎn)EX2-4的測(cè)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)回歸分析，得到統(tǒng)計(jì)回歸方程的相關(guān)系數(shù)為0.929 3，表明回歸模型正確，同時(shí)也表明大壩目前基本處于彈性工作狀態(tài)。當(dāng)上游水位為141.33 m時(shí)，從該統(tǒng)計(jì)回歸模型中分離出該測(cè)點(diǎn)順河向位移的水壓分量為8.435 mm。

然后，按照壩體混凝土型號(hào)及壩基巖體試驗(yàn)分別得到的壩體與壩基彈性模量取值范圍，將壩體與壩基彈性模量組合為36種工況，通過有限元分析得到各種組合情況下的測(cè)點(diǎn)EX2-4處的順河向位移值，見表1。

表1 壩體與地基彈性模量組合方案

將表1中的位移值向量作為輸入，對(duì)應(yīng)的壩體與地基彈模組合作為輸出，然后應(yīng)用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非線性擬合，得到3者之間的映射關(guān)系。將統(tǒng)計(jì)回歸模型中分離得到的測(cè)點(diǎn)EX2-4順河向位移的水壓分量8.435 mm代入訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到壩體彈性模量為21.88 GPa，壩基彈性模量為4.64 GPa。

利用上述反演得到的壩體與壩基彈性模量進(jìn)行有限元正分析，得到測(cè)點(diǎn)EX2-4位置的順河向位移值為8.367 mm，與統(tǒng)計(jì)回歸模型中的水壓分量的相對(duì)誤差為0.8%。

綜上所述，通過對(duì)該水電站5號(hào)壩段擋水段的力學(xué)參數(shù)反演分析，得到該壩段的壩體彈性模量(綜合彈模)均值為21.88 GPa，壩基彈性模量為4.64 GPa。

3.3 構(gòu)建功能函數(shù)

在構(gòu)建功能函數(shù)前，首先需確定基本隨機(jī)變量。結(jié)合該水電站重力壩的受力特性，取大壩上游水位Hu、壩體彈性模量Ec以及壩基彈性模量Er3個(gè)變量作為結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本輸入隨機(jī)變量。大壩上游水位的均值取為正常蓄水位150.00 m，壩體與地基彈性模量的均值取為3.2節(jié)中根據(jù)監(jiān)測(cè)資料反演分析的結(jié)果。各輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性見表2。

表2 各輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性

以重力壩抗拉可靠度分析為例，重力壩抗拉可靠度的真實(shí)功能函數(shù)為：

Z=g(x)=min {0.07wb,wc}-wt

(5)

式中：x為重力壩結(jié)構(gòu)可靠度分析的輸入隨機(jī)變量向量；wt為踵的拉應(yīng)力區(qū)寬度；wb為壩底寬度；wc為壩踵至帷幕中心線的距離。

根據(jù)式(5)，建立本實(shí)例的重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度功能函數(shù)為：

Z=g(x)=g(Hu,Ec,Er)=6.79-wt

(6)

式中：x為輸入隨機(jī)變量向量；wt為重力壩壩踵的拉應(yīng)力區(qū)寬度，m。

與式(6)意義類似，如果壩踵的拉應(yīng)力區(qū)是連續(xù)的，還可以以壩基面上距離壩踵6.79 m處的豎向應(yīng)力σy的正負(fù)來構(gòu)建重力壩的抗拉功能函數(shù)：

Z=g(x)=σy

(7)

式中：σy為壩基面上距離壩踵0.07倍壩底寬度處的豎向應(yīng)力，應(yīng)力符號(hào)以拉為正，以壓為負(fù)。

在應(yīng)用隨機(jī)響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度之前，首先須將輸入的非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量向量x=[x1,x2,x3](x1代表大壩上游水位Hu，x2代表壩體彈性模量Ec，x3代表壩基彈性模量Er)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]。

采用自編結(jié)構(gòu)可靠度隨機(jī)響應(yīng)面法程序，得到二階隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)如下：

(8)

3.4 結(jié)構(gòu)可靠度求解

以式(8)作為重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度的功能函數(shù)，應(yīng)用幾何法求得重力壩抗拉可靠指標(biāo)為1.629，對(duì)應(yīng)的失效概率為5.17%。根據(jù)文獻(xiàn)[14]的研究，對(duì)于失效概率大于等于10-3的情況，二階隨機(jī)響應(yīng)面法可滿足結(jié)構(gòu)可靠度分析的要求，因此，本文采用二階隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)作為功能函數(shù)是合適的。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)為[-0.765, -0.387, -1.385]，將其轉(zhuǎn)換至原始變量空間為[143.115 m, 20.609 GPa, 3.355 GPa]。采用Monte-Carlo抽樣并結(jié)合MATLAB內(nèi)置的概率密度擬合函數(shù)求得重力壩結(jié)構(gòu)功能函數(shù)響應(yīng)概率密度曲線，見圖4。

圖4 某重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度概率密度曲線

4 結(jié) 語

本文提出將實(shí)測(cè)監(jiān)測(cè)資料反演和非侵入式隨機(jī)有限元法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度分析模式，并給出了具體的算法流程。將該方法應(yīng)用于工程實(shí)例，得到了良好的結(jié)果。研究表明：采用實(shí)測(cè)資料反演力學(xué)參數(shù)，可以使得輸入隨機(jī)變量的取值更為接近結(jié)構(gòu)真實(shí)運(yùn)行狀態(tài)；本文提出的算法適用于重力壩等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)可靠度分析。

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