妙用反例促教學

劉娟

[摘 ?要] 在培養學生數學核心素養的前提下，教師利用學科教學和不斷實踐，探索和提高學生的邏輯推理能力. 教學中不斷滲透反例教學，可以幫助學生牢固掌握知識點，證明命題不成立，進而鞏固知識，防微杜漸.

[關鍵詞] 反例教學;一元一次方程;證明

“反例”就是一些例子，它與某一命題的條件相符卻與該命題的結論相悖. 換句話來說，就是說明某一命題不成立的例子. 從另一個角度去看，由于這些例子可以證明某一命題不成立，那都可以看作“反例”. 數學課堂教學中，需要探討的“反例”都具有一定的數學意義，并立足于數學已證實的理論和邏輯推理的基礎之上. 數學中的有些問題，即使是通過絞盡腦汁的推演也毫無頭緒，這時通過舉反例這種“另類”的證明方式，卻可以證實“這一命題不成立”屬實. 數學學科的發展離不開“反例”與“證明”的推動，當然，數學教學的推進也同樣需要它們的參與. 簡潔、直觀，具有說服力這一系列特征讓“反例”更好地立足于數學教學，并發揮著獨一無二的作用. 如何合理地運用反例推進教學進程，不斷激發學生思考問題的能力，培養學生的核心素養呢？筆者結合自身的教學實踐與經驗，借助實例為引，談一談反例在初中數學教學中的巧妙運用.

借助反例，鞏固知識點的理解

學生在數學學習中，經常會被一些易混淆、難理解的知識點所困擾. 他們時常無法理清知識點中蘊含的本質屬性，即便是教師數次強調和提示也無濟于事，他們依然會錯. 此時若適時地將“反例”引入講解中，并借助“反例”鞏固學生對此知識點的理解，必將取得出乎意料的效果.

例如，學生在學習判定三角形全等時，涉及一種判別方式為“如果一個角和夾這個角的兩條邊對應相等，那么這兩個三角形全等”. 在這個判別方法中，“夾這個角的兩條邊”這一條件需著重強調. 因此，教師可以在此處提出這樣一個問題：“如果兩個三角形中，一個角和兩條邊都對應相等，那么這兩個三角形一定全等嗎？”這里教師提出的問題與數學教材中涉及的定理有所偏差，不少學生都能進行正確的判斷，認為這個觀點不一定成立. 此時，教師可以適時進行追問：“哪位同學可以舉一個反例說明這個觀點？”學生進行合作探討，教師巧妙抓住機會，進行引導：“我們是不是可以借助一個方法來進行說明呢？比如圖形. ”經教師此番提醒，學生們頓時興趣倍增，一個個都躍躍欲試，嘗試著畫圖. 此后，經過獨立思考，合作交流，總結歸納出了如下的反例：

如圖1所示，在等腰三角形ABC中，D為邊BC上的任意一點，且AB=AC，那么三角形ABD和三角形ACD中，∠B和∠C相等，并且滿足邊AB=AC，邊AD=AD，而很顯然三角形ABD與三角形ACD不全等.

如圖2所示，有三角形ABC，現將邊CB延長至點D，連接AD，并且AD=AC，那么三角形ABC與三角形ABD中，公共角∠B=∠B，并且滿足邊AD=AC，邊AB=AB，而很顯然三角形ABC與三角形ABD不全等.

如圖3所示，有等腰梯形ABCD，其中AB=CD，連接BD，現三角形ABD與三角形CDB中，∠ADB=∠CBD，并且滿足邊AB=CD，邊BD=BD，而很顯然三角形ABD與三角形CDB不全等.

借助以上的教學情境和反例推進，學生做出如下總結：在運用此判別法進行判別時，關鍵條件為“一個角以及夾這個角的兩條邊”，而這里所說的“兩條邊”不是任意的兩條邊. 與此同時，借助于“反例”證實了命題“如果一個角與兩條邊對應相等，那么這兩個三角形全等”錯誤. 通過反例，圍繞培養學生的數學核心素養，創新問題情境，并激發學生深度思考，加深了學生對知識點的透徹認識和牢固掌握.

借助反例，證明命題不成立

數學教學中，可以證明一個命題不成立的具體方法有以下兩種：一種是通過正面直接證明，二是借助反例證明. 教師在引導學生理解和掌握數學概念時，正例的參與必不可少，還需借助反例從多個不同角度去鞏固概念. 在習題訓練中，學生可以借助“反例”更好地理解和解決判斷題這一題型. 例如，判斷以下的命題是不是真命題：

（1）已知兩個角為互補關系，那么這兩個角中有一個角是銳角，一個角是鈍角.

（2）一個無理數與另外一個無理數相加的和一定是無理數.

（3）已知兩個三角形面積相等，那么這兩個三角形是全等三角形.

以上命題中的數學語言對于初中學生來說較抽象化，極易出錯，假如運用反例來證明就相對容易一些. 比如問題（1）中，我們只需要出示反例“兩個直角也為互補關系”;問題（2）中，我們只需要出示反例“+-=0”;問題（3），我們只需要出示反例“已知Rt△ABC與Rt△DEF，前一個直角三角形的兩條直角邊都是2，面積是2，后一個直角三角形的兩條直角邊是1與4，面積也是2”，由此可見，二者的面積相等卻不是全等三角形.

從上述例子可以得出，舉反例有以下優點：借助一個反例就可以輕松證實命題不正確. 因此，教師應主張學生找尋反例，借助反例有效準確地解決數學問題.

借助反例，鞏固知識

教師在數學課堂教學中，可以借助反例，引導學生進一步鞏固知識內容，實現高效課堂教學[1].

學生在對這個例子進行觀察時，洞察到了以下錯誤：在進行去分母時，方程式右邊“1”漏乘了“6”;在去分母之后，“4x-1”未加上小括號;在去括號時，“3x-1”中的“-1”漏乘了“2”;在進行移項時，“-4x”忘記在從等式右邊移至左邊時更改符號.

這道題是反例中最具典型的例子，它囊括了學生在“解一元一次方程”時會犯的所有錯誤. 在指導學生逐一解決這些問題后，教師可以要求學生在每次練習前都將這些反例進行回顧，并思考一下注意點有哪些，進而更好地杜絕錯誤，理清思路，解答問題. 數學教材中涉及的諸多例題全都是正例，作用在于引導學生規范解題，積累解題經驗[2]，與此同時，適時將反例穿插運用能更好地促進學生理解. 因此，在數學教學中，教師需將兩者結合起來，合理運用，幫助學生鞏固知識，預防錯誤，實現教學相長，并逐步形成解題智慧.

總之，數學教學活動，不僅需要傳授學生數學知識，更需要滲透產生數學知識的技巧. 借助反例教學這一載體，能更好地幫助學生鞏固理解，及時糾錯，激發學生創造力，提升學生的數學品質，培養學生的核心素養.

參考文獻：

[1]王光明. 高效數學教學行為的特征[J]. 數學教育學報，2011，20（1）：35-38.

[2]羅增儒. 數學解題學引論[M]. 西安：陜西師范大學出版社，2008.