植保機噴桿的魯棒保性能控制*

王向東，魏 浩

(沈陽工業大學 信息科學與工程學院，沈陽 110870)

在眾多植物保護方法中，化學防治憑借其高效和防治及時等特點，依舊是對作物進行病蟲草害防治的主要方法.植保機械對化學防治的有效實施起著非常重要的作用，但目前我國植保機械仍然存在結構簡單、技術較為落后等問題，從而導致農藥殘留超標和環境污染等眾多問題[1-2].因此，對如何提高植保機械施藥效率、自動化水平等相關課題的研究顯得至關重要.

噴桿式噴霧機作為一種重要的植保機械，具有噴霧壓力高、霧化效果好和作業效率高等優點，隨著我國農業種植規模的快速擴大，其應用也越來越廣[3].但在日常的農業噴藥時，由于噴桿式噴霧機大多具有較長的噴桿，所以田地的不平整性很容易使噴桿產生不利于噴藥均勻性的有害振動.為此，不少學者針對如何降低這類有害振動展開了大量研究并得出許多有效的控制方法，如零極點配置[4-5]和主動力控制[6-7]等.上述這些控制方法雖然都取得了很好的控制效果，但均對模型中存在的不確定因素考慮得不夠充分，而在實際工程問題中，不確定因素或不可預見因素的存在是難以避免的，這些因素在模型中表現為不確定性，某些不確定性的存在對系統的運行品質會產生不良影響[8].

本文將文獻[5]的纜繩懸架傳遞函數模型轉化為狀態空間模型，并考慮到模型中存在的不確定性和外部擾動，應用魯棒保性能控制理論進行控制器的設計，并引入H∞控制理論抑制模型中的外部擾動.魯棒保性能控制不僅可以使存在不確定性的噴桿閉環系統具有二次穩定性，而且還能使該系統滿足某一確定的性能指標上界.最后，為了更直觀地判斷出噴桿能否快速平穩下來，選取噴桿的轉角和角速度作為評判控制器性能的指標，并通過仿真驗證控制器的性能.

1 模型與問題描述

1.1 模型描述

圖1為文獻[4-5]采用的纜繩懸架結構示意圖，Deprez和Anthonis等人首先針對纜繩懸架結構進行了拉格朗日方程建模，得出了該結構傳遞函數的基本結構，之后通過頻率響應函數法求出了該傳遞函數中相應的各個參數，最終得到的傳遞函數為

文獻[5]給出了圖1結構中電機的傳遞函數，即

圖1 纜繩懸架結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of cable suspension structure

由于在建模過程中實驗數據不一定完全精確，從而使該傳遞函數的各項系數難免存在誤差.文獻[4-5]中的噴桿與電機的傳遞函數相乘后所得模型只描述了系統外部控制信號與噴桿轉角之間的關系，存在一定的局限性，導致能夠應用在該模型上的控制方法相對較少.而狀態空間模型可以很好地反映出系統內部狀態及狀態之間的關系，正好彌補了上述局限.本文將上述纜繩懸架的傳遞函數與電機的傳遞函數相乘并轉化為狀態方程，得到了狀態空間模型，其表達式為

(1)

考慮到系統模型存在不確定性，將式(1)轉換為

(2)

1.2 問題描述

為了盡可能加快系統狀態變量的響應速度，減小誤差，并且兼顧系統的輸入能量，給出二次型性能指標，其表達式為

(3)

式中，Q和R為給定的對稱正定矩陣.

針對系統(2)設計狀態反饋控制器，可得

u(t)=Kx(t)

(4)

2 魯棒保性能控制器設計

定義1當w(t)=0時，如果存在一對稱正定矩陣P，對于所有的不確定性，使得二次型Lyapunov函數V(x，t)對時間t的導數滿足

成立，則系統(2)為二次穩定的.

引理1[9]對于任意具有適當維數的矩陣D、F(t)、E，且F(t)滿足FT(t)F(t)≤I，則對任意的ε>0，DF(t)E+ETFT(t)DT≤εDDT+ε-1ETE.

本文給出在控制器(4)作用下，存在不確定性的系統(2)二次穩定，且滿足性能指標式(3)的條件.

定理1對于給定的系統(2)，如果存在正定對稱矩陣P、矩陣K和標量ε>0，使得

(5)

成立，則當w(t)=0時，系統(2)在控制器(4)的作用下是二次穩定的.

證明：將控制器(4)代入系統(2)中可得

選取Lyapunov函數，即

V(x，t)=xTPx

則

xT[(A+BK)TP+P(A+BK)+

(MF(t)Na+MF(t)NbK)TP+

P(MF(t)Na+MF(t)NbK)]x

令

L=(A+BK)TP+P(A+BK)+

(MF(t)Na+MF(t)NbK)TP+

P(MF(t)Na+MF(t)NbK)

根據引理1可知

L≤(A+BK)TP+P(A+BK)+εPMMTP+

ε-1(Na+NbK)T(Na+NbK)

令

S=(A+BK)TP+P(A+BK)+εPMMTP+

ε-1(Na+NbK)T(Na+NbK)+Q+

KTRK

則

(6)

當S<0時，即矩陣不等式(5)成立時，系統滿足定義1，則閉環系統是二次穩定的，定理1得證.

定理2對于給定的系統(2)，如果存在正定對稱矩陣P、矩陣K、標量ε>0和標量γ>0，使得

(7)

成立，則系統(2)在控制器(4)作用下滿足H∞性能約束.

考慮性能指標，即

則

V(x，t))dt

xT(t)x(t)-γ2wT(t)w(t)+xTSx=

令

定理3對于給定的系統(2)，如果存在正定對稱矩陣Z、矩陣D、標量ε>0和標量γ>0，使得

(8)

成立，則系統(2)在控制器(4)作用下滿足性能指標(3).

證明：根據定理1可知，系統(2)在控制器(4)作用下滿足式(6)，即

(9)

將式(9)兩邊對時間t從0～∞積分，并根據系統的二次穩定性可得

即性能指標的上界轉化為正定對稱矩陣P的跡.

將矩陣不等式(7)分別左乘和右乘矩陣diag(P-1，I，I，I，I，I)，并記Z=P-1，D=KP-1，可得線性矩陣不等式(8)，定理3得證.使用Matlab中的LMI工具箱進行求解，控制器由式(4)轉化為

(10)

3 系統仿真

為了驗證控制器(10)對噴桿系統(2)的有效性，取不確定項ΔA與ΔB中的未知參數為

取給定的對稱正定矩陣Q與R為

取標量參數ε=0.000 2，γ=0.5.應用Matlab中的LMI工具箱解線性矩陣不等式(8)，可得

D=[-0.180 1，0.005 4，-0.000 2，-0.000 4]

根據Z=P-1可知

根據矩陣P的特征值大于零可知，矩陣P為正定對稱矩陣.根據D=KP-1可知，控制器的參數矩陣為

K=[-0.970 4，-1.607 6，-0.993 9，-1.045]

由圖2～7可以看出，在角度相同、角速度不同的三種情況下，對比曲線即使未考慮系統存在的不確定性，其響應速度仍然較慢且超調量較大，而且噴桿角度或多或少存在一定的穩態誤差，噴桿最終無法回到與地面相平行的位置.而魯棒保性能控制器作用下的響應曲線，雖然考慮了系統存在的不確定性和外部擾動，但無論是角度還是角速度，其響應速度和超調量均明顯優于對比曲線，這表明魯棒保性能控制器對噴桿有害振動的抑制效果非常明顯，且在三種情況下噴桿角度的穩態誤差均小于0.05 rad，基本平行于地面，遠遠小于對比曲線的穩態誤差.

圖2 情況1)下角度隨時間變化曲線Fig.2 Angle changing with time in case of No.1

圖3 情況1)下角速度隨時間變化曲線Fig.3 Angle velocity changing with time in case of No.1

圖4 情況2)下角度隨時間變化曲線Fig.4 Angle changing with time in case of No.2

圖5 情況2)下角速度隨時間變化曲線Fig.5 Angle velocity changing with time in case of No.2

圖6 情況3)下角度隨時間變化曲線Fig.6 Angle changing with time in case of No.3

圖7 情況3)下角速度隨時間變化曲線Fig.7 Angle velocity changing with time in case of No.3

4 結 論

本文將魯棒保性能控制理論與H∞控制理論引入到植保機噴桿的平衡控制中，并且在模型中考慮了不確定性和外部擾動，得出了既能快速抑制噴桿有害振動，又能使系統滿足給定性能約束和性能指標的魯棒保性能控制器.分別在三種不同的情況下對該控制器的有效性進行了驗證，仿真結果表明，當植保機噴桿處于振動狀態時，本文設計的控制器可使噴桿快速回到平行于地面的狀態，有效抑制噴桿的有害振動.