指向數學抽象素養的教材分析框架與案例剖析①
——以人教A版“函數單調性”為例

鄧翰香 吳立寶 沈 婕

(1.天津師范大學教育學部 300387；2.天津市中小學教育教學研究室 300200)

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱《課標(2017)》)提出數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析六大數學學科核心素養[1]，其中數學抽象位居首位.數學抽象，作為數學產生和發展的思維基礎，反映了數學的本質特征，是數學學科核心素養的重要組成部分[2].教材，作為落實課程目標的重要媒介和課程標準的實施載體，是“理想的課程”與“領悟的課程”的橋梁與紐帶[3].數學教材，蘊含豐富的數學抽象思想，只有充分挖掘才能更好地為培養學生數學抽象素養提供良好的素材與機會.立足現行高中數學教材，探究如何有效培養學生數學抽象素養，一方面為教材編寫與修訂提供參考；另一方面為教師和學生在教和學的過程中發展數學抽象素養提供參考.

2 分析框架

《課標(2017)》指出，數學抽象的主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系[1].本文以此作為數學抽象素養的分析框架來具體分析現行教材.

2.1 獲得數學概念和規則

數學抽象的一個重要表現是數學概念和規則的獲得.根據抽象程度的不同，史寧中教授將數學抽象過程細分為三個階段：一是簡約階段，把握事物本質，把復雜問題簡單化并條理清晰的表達；二是符號階段，去掉事物的具體內容，利用符號和關系術語等表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規律[4].這三個階段相互連接，后一個階段建立在前一階段的基礎之上.數學概念的獲得包括概念形成和概念同化兩種基本方式.數學概念的形成，通常會經歷以上三個階段：首先，從直觀的背景、具體的材料中抽離出事物的本質特征；其次，對抽象概括對象給予一般表示，并且用符號進行表述；最后，根據符號階段得出的結論進行定義，形成概念系統進行應用.

2.2 提出數學命題和模型

數學抽象的一個重要過程是數學命題和模型的提出.數學命題和模型不僅是對數學事實的抽象概括，還具有“工具性”特征，可用于實現“知識遷移”，即來解決某一類問題.因此，對數學命題和模型的抽象不僅需要關注抽象的結果，還需要關注數學抽象的過程[5].學生在體驗和完成學習活動后，獲得模型化解決問題的能力，進而將數學與現實世界進行聯系；同時，學生經歷完整的數學命題的抽象過程，需要理解數學抽象的“基本套路”，獲得數學抽象的基本活動經驗.其中，數學抽象的“基本套路”是上述數學抽象的三個階段的具體步驟(如圖1)：從“辨別”到“抽象”為簡約階段，抽離事物本質；從“概括”到“形式”為符號階段，完成符號表達；從“系統”到“運用”為普適階段，形成理論并運用到具體情境.

圖1

2.3 形成數學方法與思想

數學抽象的一個重要產物是數學方法與思想的形成.數學方法與思想作為數學抽象的產物，蘊含于數學抽象過程中；同時，依托數學方法與思想可以反過來加深對數學抽象的理解.《課標(2017)》提出“運用數學抽象的思維方式思考并解決問題”的表現要求，史寧中教授認為“思維方法的教育是數學思想與思維經驗之和”，因此在培養數學抽象素養的過程中要重視形成數學方法與思想，進而真正認識并形成數學抽象的思維方式.綜合來說，挖掘教材中的數學方法與思想會指向數學抽象素養的提高；數學抽象素養的提升有助于領悟數學方法與思想.

2.4 認識數學結構與體系

數學抽象的一個更高水平是形成數學結構與體系.通過數學結構與體系的抽象可以看清知識的“來龍去脈”，認識到數學理論體系的完善過程，以及不同研究領域之間的聯系與統一性.在高觀點下對知識進行系統梳理以及完整描述某個數學領域的知識體系，可以讓學生理解通過數學抽象所得知識的重要性及必要性，進而展現數學抽象的獨特魅力.

3 以函數單調性為例教材分析

“函數單調性”是人教A版高中數學實驗教科書必修一第一章第三節“函數的基本性質”的內容.基于前面的分析框架，以該節教材內容為例，具體闡釋在函數單調性的教學中如何培養學生的數學抽象素養.

3.1 教材中的“數學概念和規則的獲得”

從教材知識編排上看，學生在初中階段接觸了一些常見的初等函數的圖象，對函數圖象的增減性有了初步的感性認識.在高中階段學習函數單調性的概念，可以從數和形的直觀感受出發，研究自變量變化時函數值的變化規律，通過定量分析解釋定性結果來理解單調性的概念.從抽象過程上看，單調性的定義是通過函數圖形語言到自然語言、再到符號語言逐步抽象得出的,其中涉及到了基于幾何直觀的抽象、對數學研究對象之間關系的抽象和構建模型抽象，從不同抽象層面上去培養了學生的數學抽象素養.

函數單調性概念的獲得，需要認識到概念的本質.對抽象的數學概念進行剝繭抽絲，通過全面分析做到深入理解.從教材的編排內容可以看出，函數單調性概念的獲得，恰好經歷了史寧中教授提出的“三個階段”的抽象：一是在“簡約階段”中，觀察圖象直觀感受，通過“上升”“下降”描述圖象的變化規律，抽象出函數的本質特征；二是在“符號階段”中，使用數學符號語言表達增(減)函數定義，構造概念關系特征，其中“任意”兩字的理解是一個難點；三是在“普適階段”中，完善單調性的知識體系，運用單調性定義解決問題，通過例題設置提升問題解決水平和思維抽象素養，讓學生在課堂收獲“帶得走的東西”.

3.2 教材中的“數學命題和模型的提出”

函數單調性概念的抽象過程需要通過數學探究活動讓學生去經歷.函數單調性的探究活動設置是讓學生參與到數學命題的建構過程中，獲得對數學抽象過程的體驗與感知，讓學生在認知領域進行數學概念的再發現、再創造，從而培養學生的數學抽象素養.探究活動內容包括：讓學生經歷函數單調性的抽象過程，嘗試從具體的直觀特征到利用符號形式化表達數學定義，構建出概念形成系統并具體應用.以下將基于教材中的數學探究活動的設置，分析教材是如何與上述數學抽象過程的“基本套路”相對應來設置探究活動內容，從而讓學生經歷函數單調性的完整抽象過程.

3.2.1 圖象直觀，抽離本質

教材問題1觀察圖2中的函數圖象，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律嗎？

問題1的設置是為達到數學抽象過程中起初的“辨別”和“分化”兩個步驟.第一步“辨別(刺激模式)”：從學生認知基礎入手，學生在初中階段學習了一些常見初等函數，能夠感受函數圖象的變化規律，由此通過觀察直觀的函數圖象引出課題，達到外部刺激引入情境的效果.第二步“分化(各種屬性)”：依據具體圖象來感知函數的性質，在多種函數的性質中，函數圖象有遞增遞減的屬性是學生從各種特征當中較為容易分化出的一個特性.

圖2

教材問題2研究一次函數f(x)=x和二次函數f(x)=x2的圖象，描述這兩個函數圖象的單調性.

問題2的設置是為達到數學抽象過程中的“類化”和“抽象”兩個步驟.第三步“類化(共同屬性)”：觀察圖3，可以看到，函數f(x)=x的圖象由左至右是上升的；函數f(x)=x2的圖象在y軸左側是下降的，在y軸右側是上升的.對具體函數圖象變化的認識，用圖形語言描述函數圖象特征，抽離出它們所共有的“上升”“下降”的共同屬性.第四步“抽象(本質屬性)”：在引導學生類化出函數“上升”“下降”的共同屬性后，可以自然地揭示出函數“變中不變”的本質特征，也就是函數圖象的“上升”“下降”反映了函數的一個基本性質——單調性.

圖3

3.2.2 抽象概括，符號表達

教材問題3如何描述函數圖象的“上升”“下降”？

問題3的設置是為達到數學抽象過程中的“概括”這一步驟.第五步“概括(形成概念)”：通過問題引導學生從圖形語言過渡到用自變量x與對應的函數值y之間關系的自然語言.以二次函數f(x)=x2為例，結合圖象與列表，讓學生用自然語言描述出函數圖象“上升”“下降”的特征.也就是，函數f(x)=x2圖象在y軸左側“下降”，即在區間(-∞,0]上，f(x)隨著x的增大而減小；圖象在y軸右側“上升”，即在區間(0,+∞)上，f(x)隨著x的增大而增大.

教材問題4怎樣利用函數解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應的f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應的f(x)也隨著增大”？

3.2.3形成理論，拓展應用

增(減)函數定義設函數f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1

單調性定義如果函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間.

教材中增(減)函數定義的給出以及單調性定義的完善是達到數學抽象過程中的“系統”這一步驟.第七步“系統(形成理論)”：通過以上簡約階段、符號階段的逐級抽象，最終得到增(減)函數的一般性定義.解釋說明嚴格單調與單調區間的含義，深化概念的理解，形成完整系統.

教材例題

例1根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

教材中例題的設置是為達到數學抽象過程中的“運用”這一步驟.第八步“運用(理論實踐)”：教材安排的兩個例題是從幫助學生把握函數單調性概念的本質出發，體現了“函數單調性”所要達到的教學目標.例1利用圖象法來判斷函數的單調性以及相應的單調區間.例2利用定義證明物理學中的玻意耳定律，使學生了解定義法在討論函數單調性問題中的作用并掌握證明單調性的基本步驟.由此，加深對函數單調性的理解，體會用符號形式化表達數學定義的必要性.同時通過例2的學習，引導學生歸納出利用增減函數定義證明函數在給定區間上的單調性的一般方法步驟，幫助學生初步構建出用定義證明函數單調性的解題模式，增強學生的模型化解決問題的能力及應用意識，也進一步讓學生感受從具體到抽象得出數學方法的數學抽象過程.其中，用定義法證明函數單調性的一般步驟為：①取值，設x1,x2∈D,且x1

以上教學過程中，教材內容在編排上通過逐級設問，引導學生從感性認識到理性認識，逐步抽象出函數單調性，最終提出數學命題.在實際教學過程中，教師需要給學生思考的時間和機會，鼓勵學生積極參與數學探究活動，使學生通過自身嘗試歸納、定義和證明，發展數學抽象素養.

3.3 教材中的“數學方法與思想的形成”

函數單調性的教學不僅要求學生掌握函數單調性的理論知識，參與這一概念的形成過程，而且要讓學生在完成本節課的學習之后，知道如何研究這樣的性質，這一性質的研究對類似性質的研究有什么借鑒，從中挖掘出在數學抽象過程中形成的數學方法與思想.基于這樣的認識，本節課的教學要立足于培養學生數學抽象的思維能力，滲透相應的數學思想方法，體現“數學的方式”，使學生領會到數學地認識并解決問題的思想方法，這樣施教才會更有深度[6].

本節教材在數學抽象過程中體現了抽象與概括、特殊與一般、數形結合、模型化等數學思想方法.教材通過設置問題情境讓學生觀察、歸納、類比，積累思維活動經驗，培養學生的數學抽象能力.例如，教材從研究兩個特殊的函數f(x)=x和f(x)=x2的單調性出發，用圖形語言抽象概括出函數圖象特征，提升歸納的能力；再以函數f(x)=x2為例，通過數形結合，用數學符號語言描述增函數的定義，鼓勵學生類比寫出f(x)=x2在區間(-∞,0]上是減函數的定義；進一步發現，f(x1)和f(x2)推廣到一般函數均可表示為f(x1)和f(x2)，完成從特殊函數單調性的準確表述到一般函數單調性的準確表述；例題設置解決實際問題，培養學生數學應用的意識，體會數學模型思想.基于以上活動，達到在數學抽象的過程中形成數學方法與思想，并且數學方法與思想的形成又深化對函數單調性理解的相互作用效果.

3.4 教材中的“數學結構與體系的認識”

函數單調性作為高中階段學生接觸并研究的第一個函數性質，是后續研究函數的極值與最值的基礎，通過增(減)函數定義的獲得以及函數單調性概念的得出，完善函數單調性的知識體系；同時，教材中利用數學抽象研究函數單調性的步驟與方法，為學生后續研究函數的奇偶性以及具體的基本初等函數的性質提供了依據，從而在函數性質的研究方法層面上逐步形成系統.

4 建議

依托數學抽象素養，從數學內容本質、數學探究活動、數學思想方法、數學抽象之美四個方面入手提出了四點建議，它們在培養數學抽象素養過程中的地位及相互之間的關系如圖4所示.

圖4 教材中數學抽象素養的培養途徑

4.1 抓住教材中的數學內容本質——培養數學抽象素養的基礎

以教材中的數學內容本質為基礎，來培養學生數學抽象素養.數學教材是開展數學教學的基本依據，也是教師進行教學設計的有利工具.“知識作為數學核心素養的生成本源”[7]，只有對教材中數學內容的本質有清晰認識，才會理解數學內容所體現的數學抽象素養，進而有效地引導學生提升數學抽象素養.其一，教材編排應依據知識間的內在邏輯，將數學知識由具體到抽象地逐級呈現，這樣脈絡清晰，使學生能感受數學抽象的過程，抓住內容核心.其二，教師應增強對教材內容的文本解讀能力，高屋建瓴地理解數學知識，理清教材思路，領悟編者意圖，這樣才會對數學內容有一個更準確的理解，如函數單調性的數學抽象素養.這其中教師應重點理解教材中知識的前后關系及整體結構、教材編排的特點，數學知識的背景、內涵、應用及拓展，從而對教材有一個更深刻的把握.與此同時，教師可依據史寧中教授提出的數學抽象的“三個階段”來鉆研教材，有利于教師把握數學內容的逐級抽象，順藤摸瓜理解數學內容本質，培養學生數學抽象素養.

4.2 設置教材中的數學探究活動——培養數學抽象素養的載體

以教材中的數學探究活動為載體，來培養學生數學抽象素養.學生的抽象經驗需要在探究活動中積累，抽象能力需要到探究活動中發展，數學抽象素養需要在數學抽象經驗的積淀和升華中培養[8].其一，教材應該設置相應的數學探究活動，構建學習情境，讓學生積累數學抽象的基本活動經驗，通過知識和方法的內化，不斷提高自身的數學抽象素養能力.其中，教材中數學探究活動的設置需要基于數學抽象的階段性特點、數學知識的抽象度和學生的數學抽象思維水平，依托數學抽象的“基本套路”，將數學探究活動與數學抽象過程的程序方式相對應，由淺入深設置數學探究活動.這樣才會使得每一步活動具有新的探究意義，逐步達到從具體到抽象的過程.其二，教師在課堂上借助教材引導學生進行數學探究活動的過程中，要依據學生學習的心理基礎和思維特點進行逐級引導，重現抽象的整個過程，讓學生體驗并熟悉數學抽象的“基本套路”，不斷提升數學抽象素養.

4.3 領悟教材中的數學方法與思想——培養數學抽象素養的核心

以教材中的數學方法與思想為核心，來培養學生數學抽象素養.學生能夠領悟蘊涵在知識中的數學方法，形成理解和分析問題的學科思維能力是數學核心素養生成的最高表現[9].其一，教材編寫要體現數學方法與思想，將數學方法與思想“顯性化”，依托數學思想方法來加深對數學抽象的理解.在某種意義上，數學的方法是數學知識更高層次的抽象[10].同時，教材例題的選擇要恰當，有利于幫助學生應用教材內容進行數學解題，在模型化解決問題的過程中加深對數學抽象的理解.其二，教師在教學過程中，可以采用觀念轉變教學、拋錨式教學、支架式教學等建構主義學習理論下的教學模式，讓學生親身經歷、實踐操作、自主構建，形成靈活運用數學方法與思想解決問題的能力；在引導學生經歷數學抽象的過程中，重視學生對教材所蘊含的數學方法與思想的理解掌握，促進學生思維的發展.

4.4 展現教材中的數學抽象之美——培養數學抽象素養的靈魂

以教材中的數學抽象之美為靈魂，來培養學生數學抽象素養.數學抽象研究發展的突破口為關注人的發展，通過對數學抽象之美的展現，改變學生對數學抽象枯燥乏味的刻板印象，突出數學教材的“心理性”，引起學生的學習興趣[11].為此，首先從數學抽象的結構體系入手，展現數學抽象的“來龍去脈”.通過創設問題情境，讓學生發現有一大類數學問題解決不了，這就是抽象的“來龍”；在學習了系統的概念定理后，學生通過自己的努力可以解決一大類數學問題，會用抽象的概念描述生活中的一些現象，這就是數學抽象的“去脈”.在學習符號化系統性很強的數學概念、定理時，倘若教師直接把系統的知識“丟”給學生，就會增大學生的認知負荷，降低學習的積極性.從現實出發，逐級引導學生進行學習，讓學生在這個過程中感受概念中的每一個符號都是親切可愛并且有緣由的，從而展現數學抽象的理性之美，如通過梳理數學知識的歷史進程，用數學抽象的內在魅力讓學生喜歡數學抽象，感受學科文化的全面熏陶；還可以通過抽象素養的小故事，如哥尼斯堡七橋問題、笛卡爾與直角坐標系的建立、數系的擴充與復數的引入等.不管教材還是日常教學，充分利用故事的隱喻性讓學生感受數學抽象推進著數學的不斷發展，進一步擺脫學生初次學習高度符號化數學概念的生疏印象，體驗數學概念在歷史長河中逐級抽象，不斷完善的過程.教材內容呈現數學抽象的“來龍去脈”，注重知識形成的系統性，在單元“小結”部分進行升華，由此來幫助學生理解數學抽象所獲得的知識，對數學知識結構有一個更深的把握.