基于蜂窩晶格聲子晶體的雙頻帶聲拓撲絕緣體*

賈鼎 葛勇 袁壽其 孫宏祥

(江蘇大學理學院,流體機械工程技術研究中心,鎮江 212013)

基于齒輪形散射體的蜂窩晶格聲子晶體,研究設計贗自旋相關的雙頻帶聲拓撲絕緣體.選取不同的散射體結構參數,可以獲得蜂窩晶格聲子晶體的四重偶然簡并狄拉克點與聲拓撲相變.利用兩種不同拓撲相的蜂窩晶格聲子晶體設計實現聲拓撲波導結構,并實驗驗證了贗自旋相關的邊緣模式魯棒性.此外,保持蜂窩晶格聲子晶體的結構不變,同時可以在高頻區域獲得四重偶然簡并狄拉克點與聲拓撲相變.所設計的雙頻帶聲拓撲絕緣體在多頻帶聲通訊與聲信息處理方面具有潛在的應用前景.

1 引 言

近年來,基于拓撲絕緣體對聲波操控已成為聲學領域的研究熱點,在聲通訊、聲信息處理及集成聲學器件等方面具有重要的應用前景.引入環形旋轉氣流類比電子自旋,模擬聲學等效磁場可以有效打破時間反演對稱性,進一步理論實現了聲拓撲絕緣體[1-4],并實驗驗證拓撲絕緣體的邊緣模式[5],然而,精確控制單元結構中的流體速度仍然存在較大的困難.利用聲學三聚體中空腔的聲容對時間進行調制[6],或引入支持順/逆時針傳輸聲波模式的環形諧振腔波導[7-9]能夠設計實現聲Floquet拓撲絕緣體.將電子體系中的能谷態概念引入到二維聲子晶體體系中[10-16],利用不同谷霍爾相的聲子晶體設計實現了支持谷態輸運的拓撲波導結構.引入C6晶體對稱性與時間反演算符構成贗時間反演算符,可以模擬聲量子自旋霍爾效應.基于該物理機理,利用三角[17,18]/蜂窩[19-23]晶格聲子晶體的四重偶然簡并狄拉克點及聲拓撲相變,設計實現了贗自旋相關的聲拓撲絕緣體.除此之外,三維聲學系統中的Weyl點拓撲態[24-27]與高階聲學拓撲絕緣體[28-30]也成為聲學領域的前沿熱點.從上述研究工作可以看出,聲拓撲絕緣體的物理機理與設計方法已取得較大的進展,然而,現有的聲拓撲絕緣體均局限于單個工作頻帶,在設計多頻帶聲學器件[31-34]方面仍然存在著很大的挑戰.

本文提出一種基于蜂窩晶格聲子晶體贗自旋相關的雙頻帶聲拓撲絕緣體.選取不同的散射體結構參數,可以獲得蜂窩晶格聲子晶體的四重偶然簡并狄拉克點及聲拓撲相變.在此基礎上,利用兩種不同拓撲相的蜂窩晶格聲子晶體設計實現聲拓撲波導結構,并實驗驗證了贗自旋相關的邊緣模式魯棒性.此外,保持蜂窩晶格聲子晶體的結構不變,同時可以在高頻區域獲得四重偶然簡并的狄拉克點與聲拓撲相變.

圖1 (a)基于齒輪形散射體組成的蜂窩晶格聲子晶體原胞;(b)聲子晶體 I(r=0.3671b,R=0.455b,θ=20°和α=15.67°)的色散關系Fig.1.(a) Schematic of an airborne honeycomb-lattice sonic crystal (SC) composed of gear-like rods;(b) dispersion relation of SC-I.

2 聲子晶體結構及其色散關系

如圖1(a),蜂窩晶格聲子晶體由齒輪形散射體組成 (散射體間距 b=20 mm,晶格常數齒輪形散射體由光敏樹脂材料3D打印制備,其內外半徑、齒角及旋轉角分別為 r,R,θ及 α.本文采用有限元軟件COMSOL Multiphysics模擬聲拓撲絕緣體特性,數值模擬的材料參數為: 光敏樹脂密度 ρ=1050 kg/m3,楊氏模量 E=5.08×109Pa,泊松比μ=0.35;空氣密度 ρ0=1.21 kg/m3,聲速c0=343 m/s.

調整散射體結構參數 r,R,θ及 α,可以設計實現具有四重偶然簡并雙狄拉克錐的聲子晶體.圖1(b)為蜂窩晶格聲子晶體I的色散關系,其中齒輪形散射體的結構參數為 r=0.3671b,R=0.455b,θ=20° 和α=15.67°.可以看出,聲子晶體I的帶隙在9.11 kHz處閉合,形成四重偶然簡并的狄拉克點(藍點),此時,在布里淵區中心表現出雙狄拉克錐特征.進一步改變參數 r,R,θ及 α,則會破壞聲子晶體I的四重偶然簡并特性,在布里淵區中心得到兩個雙重簡并態.如圖2(a),聲子晶體 II (r=0.375b,R=0.477b,θ=26°和α=22°)對應的帶隙打開,在布里淵區中心出現兩種類似于電子p和d軌道的雙重簡并態,其中p態位于d態下方,表現為拓撲平庸相.圖2(b)為聲子晶體III(r=0.35b,R=0.44b,θ=20°和α=0°)對應的色散關系,與聲子晶體II的特征相反,此時 p態位于d態上方,即聲子晶體能帶出現反轉,表現為拓撲非平庸相.

圖2(c)顯示聲子晶體II與III在布里淵區中心的雙重簡并點(圖2(a)和圖2(b)中的紅點和黑點)對應的本征模式聲壓場分布.可以看出,兩種聲子晶體均存在一對偶極與四極模式,且能帶發生反轉.此時,由于聲子晶體II和III僅具有C6晶體對稱性,則對應的偶極 (px,py) 和四極模式不是關于x與y軸完美對稱.然而,聲子晶體的C6對稱性仍然滿足贗時間反演算符對稱性,從而可以實現聲學量子自旋霍爾效應[35].聲子晶體體模式的贗自旋—1/2態可以通過雜化聲壓場得到[19].

3 超原胞的色散關系

圖3(a)為聲子晶體II與III組成的超原胞結構,數值模擬超原胞的色散關系如圖3(b)所示.可以看出,聲子晶體II與III重疊的體帶隙中(陰影區域,8.74 —9.26 kHz)存在一對邊緣模式 (紅線與藍線),其對應的色散曲線斜率為贗自旋相關的邊緣模式群速度.圖3(c)為 k||=0.05 (圖3(b)中N點)對應的超原胞對稱模S與反對稱模A的場分布,將S模與A模分別雜化為S-iA和S+iA,可以得到M點與N點對應的贗自旋相關的邊緣模式.圖3(d)顯示 k||=± 0.05 (圖3(b)中 M 點與N點)對應的超原胞的聲能流場分布(藍箭頭).可以看出,在超原胞的分界面處,存在著兩個方向相反的聲渦旋,其中M點與N點的聲渦旋手性為逆時針與順時針,分別對應贗自旋+(藍圓形箭頭)和贗自旋-(紅圓形箭頭).從圖中可以看出,兩種贗自旋相關的邊緣模式速度大小相同,方向相反,從而實現贗自旋相關的聲單向傳輸.

圖2 聲子晶體 (a) II (r=0.375b,R=0.477b,θ=26°和α=22°) 與 (b) III (r=0.35b,R=0.44b,θ=20°和α=0°) 對應的色散關系;(c)聲子晶體II與III在布里淵區中心的本征模式聲壓場分布Fig.2.Dispersion relations of (a) SC-II and (b) SC-III;(c) distributions of pressure field for eigenmodes at Brillouin zone center of SC-II and SC-III.

圖3 (a)聲子晶體II與III組成的超原胞結構,紅虛線表示兩種聲子晶體之間的界面;(b)超原胞對應的色散關系;(c)超原胞的對稱模S與反對稱模A聲壓本征場分布(圖(b)中N點,k||=0.05);(d)超原胞的邊緣模式聲能流場分布(圖(b)中M點與N點,k||=± 0.05)Fig.3.(a) Schematic of a supercell composed of SC-II and SC-III.Red dashed line represents the domain wall between two SCs;(b)dispersion relation of the supercell;(c) simulated pressure eigenfunctions (S and A modes) of the supercell at point N (k||=0.05) in Fig.(b);(d) simulated acoustic energy flow for pseudospin-dependent edge modes at points M and N (k||=± 0.05) in Fig.(b).

4 聲學拓撲絕緣體的魯棒性驗證

圖4(a)為 3 D打印的基于聲子晶體 II與III的聲拓撲波導樣品.為了驗證邊緣模式的魯棒性,在所設計的聲拓撲波導中引入兩種不同類型的缺陷: 無序與彎曲.數值模擬頻率為 9.1 kHz 的聲波分別通過無缺陷、包含無序與彎曲缺陷的三種類型聲拓撲波導產生的聲能量密度場分布,分別如圖4(b)—圖4(d).可以看出,贗自旋相關的邊緣模式能夠繞過拓撲波導中的無序與彎曲缺陷(圖4(c)與圖4(d)),高效通過聲拓撲波導,與無缺陷聲拓撲波導對應的聲傳播特性基本相同.

圖4 (a) 基于聲子晶體 II與 III的聲拓撲波導樣品,紅虛線表示兩種聲子晶體的界面.數值模擬頻率為 9.1 kHz (體帶隙內) 的聲波通過三種類型的拓撲波導產生的聲能量密度場分布,三種拓撲波導分別對應(b)無缺陷,含內置(c)無序與(d)彎曲缺陷.綠色星與箭頭分別表示聲源位置和聲傳播方向Fig.4.(a) Photograph of a topological waveguide composed of SC-II and SC-III.Red dashed line represents the domain wall of two SCs.Simulated distributions of acoustic intensity field at 9.1 kHz (within bulk band gap) through topological waveguides with three different configurations,corresponding to (b) without defects,and with (c) a disorder and (d) a bend.Green star and arrows represent source positions and propagation directions.

為了進一步驗證聲拓撲波導的魯棒性,實驗測量三種不同類型聲拓撲波導的聲透射譜.實驗裝置如圖5(a)所示,高度為8 mm的實驗樣品放置在兩個平行玻璃板 (尺寸 2 m×2 m)之間,在平行玻璃板的四周放置楔形吸音海綿實現準消聲波導環境.揚聲器 (Knowles,7.2×9.5×4.1 mm3)由功率放大器驅動,放置在樣品左側,麥克風(B ＆ K-4961型)放置在樣品右側5 mm處掃描測量聲信號,利用PULSE Labshop軟件記錄紅虛線上不同位置的聲信號幅值譜,對同一頻率下不同位置聲信號幅值的平方進行積分求和,并利用聲源不同頻率的幅值平方進行歸一化,即可得到實驗測量的聲透射譜.

圖5(b)為實驗測量三種類型聲拓撲波導對應的聲透射譜.可以看出,與無缺陷聲拓撲波導(紅實線)對應的測量結果相比,內置無序與彎曲缺陷的聲拓撲波導的聲透射譜幾乎不變,從而說明邊緣模式幾乎不受缺陷誘導的背向散射影響,實驗驗證了贗自旋相關的邊緣模式魯棒性.此外,與圖3(b)中的工作頻帶(陰影區域)相比,圖5(b)中的工作頻帶 (陰影區域,8.89—9.41 kHz)向高頻區域偏移 150 Hz左右,這主要與實驗測量的室溫(303 K)相關.為了驗證該因素,數值模擬室溫為303 K對應的超原胞色散關系 (空氣密度 ρ0=1.165 kg/m3,聲速 c0=348.9 m/s),結果如圖5(c)所示.可以看出,此時工作頻帶同樣向高頻區域偏移150 Hz左右,與圖5(b)中對應的實驗結果符合很好.

圖5 (a)實驗裝置示意圖;(b)實驗測量無缺陷與內置無序與彎曲缺陷的聲拓撲波導對應的聲透射譜;(c)超原胞在室溫為303 K對應的色散關系Fig.5.(a) Experimental setup;(b) measured transmission spectra for topological waveguides without and with two types of defects;(c) dispersion relation of the supercell at 303 K.

圖6 聲子晶體 (a) I,(b) II和 (c) III在高頻區間 (24.44 kHz 左右)的色散關系;(d)高頻區間對應的聲子晶體 II與 III在布里淵區中心的本征聲壓場分布Fig.6.Dispersion relations of (a) SC-I,(b) SC-II and (c) SC-III in high-frequency region (around 24.44 kHz);(d) distributions of pressure field for eigenmodes at Brillouin zone center of SC-II and SC-III in high-frequency region.

5 聲拓撲絕緣體的雙頻帶特性

如圖6(a),聲子晶體 I在頻率 24.44 kHz 處,同時存在另一個四重偶然簡并的狄拉克點,與圖1(b)結果類似,聲子晶體在布里淵區中心表現出雙狄拉克錐特征.當改變散射體結構參數r,R,θ及α時,聲子晶體II和III在高頻區間對應的帶隙同樣打開,并出現能帶反轉.如圖6(b),在布里淵區中心處,聲子晶體II對應的f態位于g態下方;而聲子晶體III的f態則位于 g態上方 (圖6(c)).圖6(d)顯示高頻區間對應的聲子晶體II和III在布里淵區中心雙重簡并點(圖6(b)和6(c)中紅點與黑點)的本征聲壓場分布.可以看出,兩種聲子晶體均存在一對八極與十極模式,能帶同樣發生反轉.然而,與低頻區間對應的場分布相比,聲子晶體II和III對應的本征聲壓場分布的差異明顯增大.

圖7為圖3(a)的超原胞在高頻區間的色散關系.與圖3(b) 類似,在高頻區間,兩種類型聲子晶體重疊的體帶隙中同樣存在一對邊緣模式.然而,與圖3(b)的結果相比,圖7中邊緣模式的帶隙明顯增大,這主要由聲子晶體II與III在高頻區間對應的本征場分布具有更大的差異引起,如圖6(d)所示.因此,所提出的基于齒輪形散射體的聲拓撲絕緣體可以同時在兩個工作頻帶中同時實現贗自旋相關的邊緣模式.

圖7 超原胞在高頻區間 (24.44 kHz 左右)的色散關系Fig.7.Dispersion relations of a supercell in high-frequency region (around 24.44 kHz).

6 結 論

本文基于兩種不同拓撲相的蜂窩晶格聲子晶體,設計實現了贗自旋相關的雙頻帶聲拓撲絕緣體.結果表明: 調節齒輪形散射體的結構參數,可以獲得蜂窩晶格聲子晶體的四重偶然簡并狄拉克點與聲拓撲相變.在此基礎上,利用兩種不同拓撲相的蜂窩晶格聲子晶體設計實現聲拓撲波導結構,并實驗驗證了贗自旋相關的邊緣模式對無序和彎曲兩種類型缺陷的魯棒性.此外,保持蜂窩晶格聲子晶體的結構不變,數值模擬得到高頻區域的四重偶然簡并狄拉克點與聲拓撲相變.所設計的聲拓撲絕緣體可以在兩個不同頻帶中同時實現贗自旋相關的邊緣模式,在多頻帶聲通訊與聲信息處理方面具有重要的應用前景.