平面體系的自由度計算及分析步驟芻議

周海龍　安珍　李平　李昊

摘? 要：平面體系的幾何組成分析是結構力學與建筑力學課程的教學重點與難點，自由度等基本概念的理解及基本規則的掌握是學好本章的基礎，作者根據多年的教學經驗，依據學生作業常出現的問題，對自由度的計算給出合理化的公式，并按照“三步走”的思路給出幾何組成分析習題規范的解題步驟，對學生掌握好本章內容，養成嚴謹認真的學習態度具有重要指導意義。

關鍵詞：平面體系;自由度;幾何組成分析;分析步驟

中圖分類號：Ο342? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）31-0032-03

Abstract： The analysis of the geometric composition of the plane system is the teaching focus and difficulty of the course of structural mechanics and architectural mechanics. The understanding of basic concepts such as freedom and the mastery of basic rules are the basis for learning this chapter. Based on years of teaching experience， the author gives a rational formula for calculating freedom based on the problems that often arise in student homework. And in accordance with the "three-step walk" thinking to give the geometric composition of the analysis of the specification of the problem-solving steps， which to master the content of this chapter， to develop a rigorous and serious attitude of learning for students has an important guiding significance.

Keywords： plane system; freedom; geometric composition analysis; analysis steps

平面體系的幾何組成分析就是分析若干桿件所組成的體系是幾何不變體系還是幾何可變體系，有的教材將此過程稱為幾何構造分析或機動分析[1]，其主要目的就是確定體系能否作為工程結構，工程結構要求體系必須為幾何不變體系，另外通過分析體系的內部組成，可以搞清楚桿件部分之間的組成規律，以便選擇合理的計算次序，同時也可以給出體系所屬具體結構類型，靜定結構還是超靜定結構，以方便選擇不同的計算方法，提高計算的效率[2]。因此，本章內容看似文字偏多，計算內容偏少，但重要性不言而喻，它直接影響后續靜定結構與超靜定結構的內力計算，一定程度上也決定著你能否將結構力學學通學透的關鍵環節。基本概念多是本章內容的一個特點，體系分析過程的文字表述也是本章的一個特色，已發表的相關文獻[3-6]較多的集中在分析方法與規則利用技巧等方面進行闡述，對于基本概念與規范的分析步驟論述比較欠缺，因此，筆者根據多年的結構力學教學經驗，對這兩方面的問題，也有些新的體會，在此與學者們交流，以翔讀者。

1 容易混淆的幾個概念

1.1 剛片與鋼片

幾何組成分析中，涉及到相關剛片的選擇，在書寫過程時，很多同學就會把剛片寫為“鋼片”，部分同學屬于筆誤，部分同學是由于不理解其本質含義所導致。剛片是體系中任意幾何不變部分，它是平面剛體，可以是一根梁，一根鏈桿，甚至是基礎等。通常認為其在力的作用下，內部任意兩個質點的距離不會發生改變，剛度無窮大。這是根據本章研究問題的需要引入的一個新概念，這在先前理論力學與材料力學課程中沒有涉及，學生在本質理解上有點困難，需要教師將此概念的本質講清楚;而“鋼片”是涉及到材料的具體屬性，用鋼材制作的構件，它在力的作用下會發生變形，因此是不一樣的概念，不能在此處混用。

理解了這兩個概念，后期的幾何組成分析中鉸結點也不會寫成“絞結點”，剛結點也不會寫成“鋼結點”。

1.2 體系與結構

體系是一個廣義的概念，有平面體系也有空間體系，結構力學主要研究平面桿件體系，有的體系含有基礎，有的體系只是體系本身;而結構是指能夠承受荷載而且骨架作用的部分，這兩者的關系見圖1所示。

理解了這兩個概念，在幾何組成分析出題時就不會出現“試分析如下結構的幾何組成”，結果體系分析的結論為瞬變體系的矛盾表述，實際上老師是要書寫“試分析如下體系的幾何組成”，概念不清，不夠嚴謹，將會對學生產生誤導。

1.3 自由度與約束

體系的自由度是指體系運動時，可以獨立改變的幾何參數數目，或者是用來確定體系的位置所需獨立坐標的數目。因此，在平面內，動點的自由度為2，剛片的自由度為3。

約束是減少自由度的裝置，也稱為聯系。主要的約束形式有鏈桿、鉸結點和剛結點三種。一根鏈桿相當于1個約束;一個單鉸相當于2個約束，一個單剛結點相當于3個約束;復鉸與復剛結點要分別轉化為單鉸與單剛結點;連接n個剛片的復鉸相當于（n-1）個單鉸，連接n個剛片的復剛結點相當于（n-1）個單剛結點。

理解了這兩個概念，為進行自由度的正確計算奠定了基礎。

2 體系自由度的計算

體系的自由度計算通常就是指計算計算自由度（W），計算自由度是從計算角度反映加約束前后體系自由度的變化，它是幾何組成分析的一個輔助手段。

在應用公式（1）與（2）進行自由度計算時，要注意把握以下幾點：

（1）要注意區分一般桿件體系與鉸結鏈桿體系。當體系完全由鉸結點連接的桿件組成的體系稱為鉸結鏈桿體系（例如桁架）;當體系中有剛結點存在的體系稱為一般桿件體系（例如剛架），廣義一般桿件體系，本文將其定義為具有封閉剛剛架的體系。

（2）公式（1）中未計入剛結點，是因為當考慮單剛結點時，相應的剛片數也增加;增加1個單剛結點，相當于增加3個約束;相應地，剛片數目也增加1個，相當于增加3個自由度，所以對于整個體系的自由度沒有影響。故一般在計算自由度時，不考慮單剛結點，按單一剛片考慮計算體系的自由度。

（3）公式（1）中對于組合結點，計算單剛結點時把鉸結鏈桿當作不存在的，而當計算鉸結點數目時，則把剛接各桿看作一個剛片。

（4）公式（1）適用于廣義一般平面桿件體系，而公式（2）只能適用于鉸結鏈桿體系，公式（1）的應用范圍遠遠大于公式（2）的應用范圍，能用公式（2）計算的體系，當然也可以用公式（1）計算，只不過相對公式（1）而言，公式（2）更加簡單一些。

3 平面體系的分析步驟及示例

3.1 分析步驟

（1）計算體系的計算自由度W。若體系中有基礎相連，當W>0時體系為幾何可變體系;

若無基礎相連，當W>3時為幾何可變體系。對于W≤0或W≤3的情況，則根據第二步進行分析。

（2）利用幾何組成分析的三個規則進行分析。

（3）給出分析結論。對于幾何不變體系，應指出有無多余聯系，若有，應指出有幾個多余聯系;若為幾何可變體系，可指明是瞬變體系還是常變體系。

3.2 示例

試分析圖5所示體系的幾何組成。

解：（1）計算體系的自由度

W=2J-（b+r）=2×9-（15+3）=0

（2）進行幾何組成分析

如圖5所示，由于體系本身與基礎通過三根鏈桿相連，故基礎可去掉，只分析體系本身即可。首先將上部二元體B-D-G拆掉，將△ABE作為基本剛片，在此基礎上增加二元體A-C-B，C-F-E，得到擴大的剛片Ⅰ。將△EGI作為基本剛片，在此基礎上增加二元體G-H-I得到擴大的剛片Ⅱ。剛片Ⅰ與Ⅱ通過鉸E與FH鏈桿相連，由兩剛片規則知，原體系為幾何不變且無多余聯系。

通過上述示例，可以大致總結出幾何組成分析過程書寫的基本思路是：

（1）基礎可否去掉;

（2）二元體能否拆掉;

（3）基本剛片（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）的選擇或擴大剛片（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）的選擇;

（4）剛片之間連接的說明;

（5）規則的說明，采用的是兩剛片規則還是三剛片規則;

（6）分析的結論。

學生只要按照以上提綱去書寫，就不會出現只有分析結論沒有分析過程短短幾個字的表述，也不會出現無從下手的感覺，經過一定量習題的訓練，相關的原理也會逐漸掌握的比較扎實。

4 結束語

本文選擇抽象而難懂的平面體系幾何組成分析章節為例進行了闡述，力爭通過筆者多年的教學經驗，對相關原理及方法進行闡明，首先重點介紹了剛片與鋼片、體系與結構、自由度與約束等幾個最容易混淆的基本概念;接著對于體系的計算自由度，按照廣義一般桿件體系與鉸結鏈桿體系給出了兩個計算公式，通過三個示例，介紹了該公式的具體應用;最后給出了幾何組成分析的“三步走”步驟，對分析過程的書寫也給出了相應的書寫提綱，通過示例對分析步驟與分析思路進行了印證，有了方法思路的引導，無從下手的問題將得到根本解決。

參考文獻：

[1]李廉錕.結構力學[M].6版.北京：高等教育出版社，2017.

[2]周海龍，李曉麗.建筑力學[M].北京：中國水利水電出版社，2017.

[3]邱秀梅，戴景軍，孫建武.平面體系幾何組成分析的方法技巧[J].力學與實踐，2009，31（2）：80-81.

[4]張琳楠，徐春暉，秦太驗.平面體系機動分析的一般方法[J].力學與實踐，2014，36（6）：738-741.

[5]郇筱林，王崇革.平面體系幾何組成規則的理解和簡化分析技巧[J].力學與實踐，2018，40（6）：696-699.

[6]孫旭峰.結構力學中的換鉸法應用芻議[J].力學與實踐，2019，41（1）：91-94.