全國(guó)名校橢圓測(cè)試卷答案與提示

一、選擇題

1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11.A 12.B 13.B 14.A 15.D 16.C 17.D 18.D 19.D 20.A 21.D 22.A 23.A 24.D 25.B 26.C 27.B 28.C

二、填空題

三、解答題

49.(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為=1(a＞b＞0),可知其左焦點(diǎn)為F′(-2,0)。

故橢圓C的方程為

(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,設(shè)其方程為

因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn),所以Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-≤t≤。

另一方面,由直線OA與直線l的距離d=4,得,解得t=±2。

50.(1)根據(jù)c=及題設(shè)條件知

將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得或=-2(舍去)。

故橢圓C的離心率為。

(2)由題意知,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)。

由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|。

設(shè)N(x1,y1),由題意知y1＜0,則：

代入橢圓C的方程,得。②

將① 及c=代入②得

解得a=7,b2=4a=28。

故a=7,b=2。

51.(1)因?yàn)橹本€l的方向向量為v=(1,),所以直線l的斜率k=。

又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(0,-2),所以直線l的方程為

因?yàn)閍＞b,所以橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn),c=2。

又因?yàn)閑=,所以a=,b2=a2-c2=2。

(2)若直線MN⊥y軸,則M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)。

52.(1)設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r,則。

設(shè)|F1F2|=2c,則=bc。

(2)S=|AC||BD|。

上兩式聯(lián)立,解得a2=16,b2=4。

(2)設(shè)直線l：y=kx+1(k≠0),與橢圓的方程聯(lián)立,消去y得：

由k不恒為0得t=4,即存在N(0,4),使得直線NA與直線NB關(guān)于y軸對(duì)稱。

x2+(2b-4)x+b2=0。

因直線y=x+b與拋物線y2=4x相切,所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,b=1。

(2)當(dāng)l與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為

當(dāng)l與x軸垂直時(shí),以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1。

故兩圓相切于點(diǎn)(0,-1),因此,所求的點(diǎn)T如果存在,只能是(0,-1)。

事實(shí)上,點(diǎn)T(0,-1)就是所求的點(diǎn),證明如下。

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(0,-1)。

若直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l：y

因此,TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(0,-1)。

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,-1)滿足條件。

55.(1)因 為BF1⊥x軸,得到點(diǎn)

橢圓C的方程是

56.(1)由題意2a=8,,解得a=4,b2=12。

橢圓C的方程為

(2)當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí),P(0,2),Q(0,-2)

57.(1)設(shè)P(x,y),由得A(3x,0),。|AB|=3,得9x2+=9,P的軌跡E的方程為

(2)①當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)AB的方程為y=kx+1。

②當(dāng)AB與坐標(biāo)軸垂直時(shí)也成立。

故直線MN恒過(guò)點(diǎn)。

(2)因?yàn)锳(-2,0),B(0,1),所以kAB=。由CD∥AB,設(shè)直線CD的方程為y=+m。

由已知,得M(-2m,0),N(0,m)。

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2)。