保持算子?-乘積冪等性的映射

董改芳

朔州師范高等專科學校， 山西 朔州 036002

關于算子代數上保持問題的研究已經得到了許多有意義的成果[1～7].設H是復的無限維的完備的不定內積空間，B(H)是由H上所有有界線性算子構成的代數,Ω?B(H),I∈Ω,C*I1(H)?Ω，且?A∈Ω,Gcv{A,I}?Ω,Φ是Ω上保持算子?-乘積冪等性的映射，Φ(I)=I.文獻[6]給出了Φ的具體形式.本文證明了此結論對于dimH≥3也成立，并給出Mn(C)上Φ的具體形式.

1 符號及概念

I是單位元,C*,R*是非零復數集和實數集，I*(H),I1(H)是B(H)的非零冪等元和一秩冪等元集合.dimH表示H的維數.rank(P),rng(P),ker(P)是P的秩、值域和零空間.B(H)同構于n級矩陣代數Mn(C).I*(H),I1(H)分別記I*(n),I1(n).稱Φ為Ω上保持算子?-乘積冪等性的映射，若?A,B∈Ω,AB+∈I*(H)?Φ(A)Φ(B)+∈I*(H).Gcv{A,I}={λA+(1-λ)I,λ∈C}為A，I的廣義凸組合.

2 主要結果

AB+∈I*(H)?Φ(A)Φ(B)+∈I*(H)

??c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算子U∈B(H),U+U=c-1I使得Φ(A)=cUAU+對所有的A∈Ω成立.

3 證明

引理1[8]Φ(0)=0,Φ為單射,且Φ雙邊保冪等元.

引理2[8]Φ雙邊保一秩冪等元.

引理3[8]設P,Q∈I1(H),則P⊥Q?Φ(p)⊥Φ(Q).

證明 文獻[8]已證明結論對于dimH≥4成立,下面證明結論對于dimH=3也成立.我們先證明一個斷言:

斷言1設dimH=3,P1,P3,P3∈I1(H),則下列條件等價:

(i)P1Pj=0,i≠j,i,j=1,2,3.

(ii)對?R∈I(H)，PiR∈I*(H),i=1,2,3,蘊涵R=I.

證明 設(ii)成立.我們斷言:如果i≠j,則rng(Pi)∩rng(Pj)={0}.用反證法,假設H0=rng(P1)∩rng(P2)≠{0},由于P1,P2,P3∈I1(H),故必有rng(P1)=rng(P2)=H0.于是存在H的一組基(不必正交)使得

則顯然PiR∈I*(H),i=1,2,3,但R≠I,矛盾.

記Pi=ei?fi,i=1,2,3,我們斷言:{e1,e2,e3}是線性無關的.否則,由前一斷言知,H1=span{e1,e2,e3},dim(H1)=2.令R∈I(H),rng(R)=H1,則PiR∈I*(H)但R≠I.

現在驗證P1,P2,P3是相互正交的.仍用反證法,假設P1P2≠0,則有〈e2,Jf1〉=α≠0.因為H=span{e1-α-1e2}⊕span{e2-e3},?R∈I(H)使得rng(R)=span{e2,e3},ker(R)=span{e1-α-1e2},顯然Re1=α-1e2,故〈Rei,Jfi〉=1對每個i=1,2,3都成立，此蘊涵PiR∈I*(H)對每個i=1,2,3都成立,但R≠I,又得矛盾.到此,斷言1得證.

下面我們給出定理1的證明

定理1的證明充分性顯然,下面來證必要性.

情形(1).當H為無限維時,定理1成立.文獻[8]中已證明.

如果Φ(P)=UPτU-1對所有的P∈I1(n)成立，那么

Φ(e1?e1)Φ(e1?e1)+=U(e1?e1)τU-1(U(e1?e1)τU-1)+=Ue1?(U-1)+e1(Ue1?(U-1)+e1)+

=Ue1?(U-1)+e1J-1(U-1)+e1?JUe1=〈J-1(U-1)+e1，(U-1)+e1〉Ue1?JUe1∈I*(n)

所以〈J-1(U-1)+e1，(U-1)+e1〉〈Ue1，JUe1〉=1.

作為現實社會的延伸，網絡空間也同樣充滿了各國之間的分歧和沖突。個別西方國家依靠自己的網絡技術優勢，壟斷網絡資源和網絡話語權，實施網絡霸權。某些西方發達國家為了懲罰或推翻非親西方的發展中國家，往往會以切斷其國家的網絡服務為借口進行要挾，逼迫發展中國家就范；或者利用網絡空間對于發展中國家進行意識形態滲透，造成社會的混亂；更有甚者直接利用網絡工具煽動和策劃發展中國家內部的反政府力量進行推翻現有政府的活動。這些活動必然會加深發展中國家與這些發達國家之間關于網絡規則、網絡秩序和網絡治理理念的分歧與對抗。

Ψ(A)=cU+Φ(A)U,(?A∈Ω)

則對?P∈I1(n),Ψ(P)=cU+Φ(P)U=cU+cUPτU+U=Pτ,且Ψ(I)=I.對?A,B∈Ω,AB+∈I*(H)?Ψ(A)Ψ(B)+=cU+Φ(A)U(cU+Φ(B)U)+=cU+Φ(A)UcU+Φ(B)+U=cU+Φ(A)Φ(B)+U∈I*(H).故Ψ也滿足定理的條件.

由于

則有

設τ(t)=αeiθ1,τ(s)=βeiθ2,其中α=|π(t)|,β=|π(s)|則

所以我們知

α4+2α2β2+β4=1

(1)

又因為

t4+s2=1,所以τ(t)2+τ(s)2=1.從而α2ei2θ1+β2ei2θ2=1

(2)

而式(2)等價于

(3)

定理1在有限維Hilbert空間可以表述為下面的定理2.

由定理1,我們可以得到以下推論3,其描述了有限維Hilbert空間上保持算子*乘積冪等性的映射.

推論3設n≥3,Ω?Mn(C),I∈Ω，C*I1(n)?Ω，且?A∈Ω,Gcv{A,I}?Ω.