溯本探尋下的“深潛”
——以《和與積的奇偶性》為例

侍行行 蘇州市楓橋中心小學

筆者將通過對《和與積的奇偶性》這一課題的剖析和研究。嘗試探尋知識本質，從生活的角度，讓學生在剖析生活現象中，探尋自然數的有趣本質與規律。

首先，讓我們一起來解讀課題：和，即兩個或多個（兩個以上）加數相加的結果；積，即兩個或多個（兩個以上）乘數相乘的結果；奇偶性，即一個數是奇數或者是偶數。所以《和與積的奇偶性》這節課的主要目的是通過觀察，猜想，舉例，驗證等的方法，體會數運算結果的奇偶性變化規律，并對其進行學習和探究。下面，是我想與大家一起分享的對這節課探尋本質的些許教學思考。

一、觀察生活現象，回歸對數的本質的思考和探尋

生活中常用到奇數與偶數（也即單數和雙數），那么奇數、偶數的本質是什么呢？我相信它一定存在于我們生活中的某種現象——那個定義背后，最初的“兩兩配對”。

為什么是兩兩配對，而不是三三配對，四四配對等等，因為只有將一些事物進行兩兩配時才會出現并只出現兩種情況：完全配對和只余1的不能完全配對。本節課，為了激發學生的學習興趣和熱情。我帶領學生從游戲入手。那既然是游戲，公平性是一項游戲最基本的規則。“一個成人和一個3 歲的孩子玩抓黑豆的游戲，怎樣設定游戲規則是公平的？”學生思考的時候很投入，在討論交流后，我們確定“用奇數和偶數來作為比賽規則是最公平”。

追問中引導學生深入思考：對于一個不太會數數的孩子來來說，如果不數數，怎樣也能知道豆子個數是奇數還是偶數？兩兩配對，因為只有2 種可能，一種是始終會剩下一顆黑豆無法配對，這種情況下黑豆數是奇數個；而能兩兩完全配對的情況下，黑豆數的個數為偶數個。因此，這樣的游戲規則排除了個體因素，只和黑豆個數的奇偶性有關。

通過游戲的表象，學生初次觸及奇數、偶數的本質。即，奇數的本質就是奇數本身兩兩不能完全配對，且總是余一；偶數能的本質就是偶數本身能都兩兩完全配對，且沒有剩余。

二、體會生活中實際，感受奇偶性對生活的影響

為什么要討論這一問題——奇數和偶數的產生于社會生活和生產密切相關。用生活現象來激發學生的學習的熱情，基于對數學與生活緊密聯系的思考，我選取的角度是：生活中常見的比賽和選舉。

比賽中，參賽的人數有什么特點？參賽的人數可多可少，不是奇數就是偶數，可是不管一個隊的參賽人數是奇數還是偶數，賽場上兩個隊參賽的總人數總有一個相同的特點。就是一定是兩隊總人數一定是偶數。即：奇數＋奇數=偶數，偶數＋偶數=偶數。那么對于兩個加數不同的情況是不是也可以驗證呢？（可以通過舉例，和推理來說明，這兩點都是成立的。）由生活的現象，探知這一規律，學生對奇數＋奇數=偶數，偶數＋偶數=偶數的規律，學生可以建立更加清晰的“兩兩配對”的表象。同時，筆者認為想要討論“對于兩個加數不同的情況上述結論是否還是成立？”可以從拆一個偶數開始，如果把一個偶數拆出1 個偶數，那另一部分必然是偶數，把一個偶數拆出1 個奇數，那另一部分必然是奇數，這也反向驗證了奇數＋奇數=偶數，偶數＋偶數=偶數的規律。

在舉例的環節中，可以詢問學生舉例可以舉得完嗎？是呀，舉也舉不完，那誰能用說一說為什么奇數＋奇數=偶數，偶數＋偶數=偶數？引導學生從奇數和偶數的本質上來說一說：因為奇數本身兩兩配對總是余1，兩個奇數都余下1，合到一起又可以配對，因此奇數＋奇數=偶數；偶數本身可以兩兩完全配對，所以兩個偶數本身還是可以兩兩完全配對的，所以偶數＋偶數=偶數。

第一次追問：兩隊上場參賽的隊員的總數可以是奇數嗎？學生一定知道是不可以的，因為隊員總數不能兩兩完全配對，那么總有一隊比另一隊至少多一人，所以不公平。

第二次追問：如果多一人的隊伍的人數是奇數個，那么少一人的隊人數是奇數還是偶數？如果多一個隊的人數是偶數個，那么少一人的隊人數是奇數還是偶數？ 在不斷的追問中，促使學生思考：奇數兩兩配對總余1，而偶數總能兩兩完全配對。對此，學生可以通過已經建立的表象，挖掘出“奇數＋偶數=奇數 或 偶數＋奇數=奇數”的本質。

如果在比賽中出現這種情況可不好，那是不是說總數是奇數就不好呢？不是的，在我們對某種新決策進行投票，對選舉新的班委等等表達自己同意或者不同意時，通常投票總數是奇數的情況會更好，因為不管怎么投票，總是不會出現平票的現象。學生可以通過百圓片來表達自己的想法，另一方一定是偶數，或者一方是偶數票，另一方一定是奇數票；最不濟的情況就是一方比另一方多1 票，或者少一票。為了保持總票數的奇數票，所以不管大小關系如何，如果一方票數是奇數，那么另一方一定是偶數。所以奇數加偶數和一定是奇數。

三、探尋奇偶性的復雜性，深化學生思維

在對生活現象的思考與交流中，學生發現兩個數的和的奇偶性，那么多個數的和的奇偶性又具有什么特點？循序漸進的學習給學生帶來的除了扎實的基本功，還有有條理的思維。但是學生自主的探究和驗證依然離不開老師有效的指導和點撥。因此我從以下這個點入手：

接下來可以讓學生翻開數學書，打開至任意兩頁，你有什么發現？那么至少幾個連續自然數的和一定是偶數呢？這里我利用百數表，讓學生自己舉例驗證。最終發現至少3 個不行，因為如果是偶數開頭，偶數結尾，中間只有一個奇數，那結果一定是奇數；開頭是奇數時，結尾是奇數，有2 個奇數1 個偶數，和是偶數。所以，至少4 個連續自然數，開頭是奇數，結尾一定是偶數；開頭是偶數，結尾一定是奇數。奇數一直都是有2 個。

通過引導學生觀察、猜想和舉例發現不管有多少個偶數相加，它們的和依舊是偶數，但是奇數的個數的變化會導致和的奇偶性的變化。那奇數個數是怎樣影響和的奇偶性的呢？學生在百數表中自行選擇奇數，記錄選擇奇數的個數，計算的結果，形成表格。通過對記錄和計算結果的觀察，比較，分類初步判斷奇數的個數為偶數個時，和為偶數，奇數個數為奇數個時，和為奇數。舉例后，可以追問學生為什么會這樣？（兩個奇數配對成一個偶數，如果最后有一個奇數落單，其他都變成偶數，那么偶數加奇數就是奇數，如果最后沒有奇數落單，都兩兩配對成偶數，那么和就是偶數）

最后可以出現變式題組練習。這一練習是為了讓學生打開學生的思維，由計算驗證到尋找規律的思維的過程中，學生學會觀察和比較，歸納總結。讓學生的思維不拘泥于線性思維，而是能發散為網狀思維，培養學生的聯系，推理能力。當學生最終要面對不是連續的自然數時，學生需要思考問題的本質——真正決定和的奇偶性的，其實是加法算式中奇數的個數。這樣的學習對培養學生的問題意識，提升學生的思維品質有不可忽視的益處。

通過對生活現象的觀察和思考，在猜想，舉例，推理，驗證等一系列的活動中，我們已經尋得兩數相加和的奇偶性，與多個數相加和的奇偶性的規律。那么積的奇偶性呢？你打算怎么研究？ 問題的拋出，不是為了給學習畫上句號，而是為了讓學生的思維可以飛的更久一些。使學生更進一步地去思考：“減法和除法中差和商的奇偶性又是怎樣的？”

對本節課的思考鞭策著筆者對數學課堂的不斷思考，促使筆者在今后的教學中更加注重培養學生的思維方法，數學的眼光以及用數學的眼光來觀察、 欣賞、思考生活中的數學“味道”。