高頻諧振疲勞機載荷測量誤差建模分析及試驗夾具優化設計

高紅俐 朱楷勇 龔 澳 姜 偉

浙江工業大學特種裝備制造與先進加工技術教育部/浙江省重點實驗室，杭州，310014

0 引言

疲勞破壞是機械零部件和結構失效的最常見形式。研究表明，大量的斷裂都與疲勞裂紋的產生和擴展密切相關[1-3]，目前尚不能完全通過有效的理論方法來研究疲勞裂紋萌生、擴展和斷裂的機理，金屬材料疲勞裂紋擴展(fatigue crack growth，FCG)試驗作為探索機械零部件疲勞斷裂特性的一種重要方法，對提高機械產品的可靠性、延長使用壽命有著十分重要的意義[4-5]。緊湊拉伸(compact tensile，CT)試件是疲勞裂紋擴展試驗中最常用的試件，眾多的研究者采用CT試件進行疲勞試驗，對材料的各種性能進行了研究[6-9]。

金屬材料FCG試驗主要包括電液伺服式強迫振動低頻疲勞試驗和電磁諧振式高頻疲勞試驗。基于共振原理的電磁諧振式疲勞試驗系統具有工作頻率高、能量消耗低、試驗時間短、試驗波形好等優點，被廣泛用于CT試件的FCG試驗。為保證試驗結果準確性和系統工作穩定性，必須對試驗過程中的動態試驗載荷進行高精度測量和控制。在動態試驗載荷測量過程中，首先須進行試驗機靜態載荷的標定。因為測力傳感器與試件之間通過上夾具和法蘭連接，振動和慣性力的影響導致試件真實受力與測力傳感器測得的示值并不相等，即存在動態載荷測量誤差，因此，要對疲勞試驗動態試驗載荷進行精確標定。目前，疲勞試驗機動態力校準相關國家標準[10]主要適用于電液伺服式強迫振動疲勞試驗系統，不能精確地進行電磁諧振式高頻疲勞試驗系統動態試驗載荷的校準。

國內外學者對疲勞試驗動態力的校準進行了相關的研究。胡剛等[11]建立了電磁諧振和電液伺服式疲勞試驗機的三自由度無阻尼振動系統模型，得到了動態載荷測量誤差的解析表達式，但其建立的模型忽略了阻尼的影響，大大地降低了電磁諧振式疲勞試驗結果的精確度。HESSLING[12]提出了一種基于測量疲勞試驗振動系統頻率響應的動態試驗載荷標定方法，但未考慮試驗過程中CT試件疲勞裂紋擴展造成的試件剛度變化所引起的動態載荷測量誤差。文獻[13-14]考慮了試件上疲勞裂紋擴展造成的動態載荷測量誤差，但仍將夾具和CT試件的連接作為剛性連接，且將夾具作為剛體。

疲勞試驗機夾具是夾持試件和傳遞載荷的重要機構，在進行FCG試驗時，CT試件通過銷軸與疲勞試驗機的夾具連接，所以該部分機械結合面接觸剛度[15-16]和夾具的剛度都會影響動態試驗載荷的傳遞和測量精度。本文在綜合考慮疲勞裂紋擴展和CT試件連接接觸剛度的情況下，研究CT試件夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響，利用有限元軟件對夾具進行結構的優化設計，提高了試驗機動態載荷的測量精度。

1 電磁諧振式FCG試驗動態載荷測量誤差模型

1.1 系統動態試驗載荷測量

本文以國內主流的電磁諧振式疲勞試驗機PLG-100為研究對象，其主機機構和CT試件安裝如圖1、圖2所示，系統主要包括機架、靜態載荷加載系統、動態載荷加載系統、試驗載荷測量系統和減振系統[13]。試驗載荷測量系統包括電阻應變片式測力傳感器、傳感器信號調理電路和計算機。試驗靜態載荷(系統起振后表現為平均載荷)通過靜態加載系統作用在試件上。動態載荷加載系統是多自由度彈簧-質量振動系統，當電磁激振力頻率和振動系統固有頻率一致時，系統發生共振，使正弦交變試驗載荷作用在試件上。試件上的載荷通過夾具和法蘭作用在測力傳感器的彈性元件上，使其發生變形，引起電阻應變片電阻的變化，通過相應的傳感器信號調理電路測得作用在試件上的試驗載荷。

圖1 電磁諧振式疲勞試驗機結構Fig.1 Structure of electromagnetic resonance fatigue testing machine

圖2 CT試件的安裝Fig.2 Installation of CT specimen

由于測力傳感器與CT試件通過上法蘭和夾具連接，上法蘭和夾具有一定的質量，所以在系統振動過程中存在作用于測力傳感器彈性元件的慣性力，使測力傳感器的測量值與作用在試件上的實際值存在一定誤差。

1.2 動態載荷測量誤差數學模型

1.2.1動態載荷多自由度振動系統動力學模型

通過研究系統各機械部分的連接及相互作用可知，減振彈簧與機架質量、主振質量(電磁銜鐵、工作臺和下法蘭夾具的質量)及激振質量(平衡鐵和電磁鐵線圈的質量)一起產生一個遠低于試驗頻率的共振頻率，從而阻止機架相對于地面的振動，故試驗機在工作狀態時，整體機座相對于地面基本保持靜止狀態，可以把電磁諧振式疲勞試驗機建模為三自由度有阻尼線性振動系統，如圖3所示，其中，m1、m2、m3分別為上夾具及法蘭質量、主振質量和激振質量，k1、k3、k4分別為測力傳感器、激振彈簧和主振彈簧的剛度。Fe=F0sinωt，為電磁激振力，F0為電磁激振力幅值，ω為電磁激振力頻率，x1、x2、x3分別為對應質點質量m1、m2、m3的運動位移，c1～c4為系統阻尼系數。本文考慮CT試件連接機械結合面的影響，將k2定義為試件夾具組合剛度(包括試件剛度ks、夾具剛度kf和CT試件連接機械結合面接觸剛度kc)。

圖3 三自由度有阻尼振動模型Fig.3 3-degree-of-freedom damped vibration model

根據圖3建立的振動系統動力學模型和牛頓第二定律，可得諧振式疲勞試驗振動系統動力學方程：

(1)

振動系統的質點質量由試驗機使用說明書提供，上夾具和法蘭質量m1=21.12 kg，主振質量m2=200 kg，激振質量m3=280 kg。疲勞試驗振動系統工作時，各種結構都工作在彈性范圍內，則k1、ks、k3、k4均為彈性剛度，可采用有限元方法進行計算[17]。

1.2.2動態載荷測量誤差數學表達式

根據圖2和胡克定律可知，作用在試件上的試驗載荷

FT=k2(x2-x1)

(2)

式中，k2為試件夾具連接組合剛度；x2為工作臺的位移；x1為上法蘭和夾具的位移。

根據多自由度線性振動系統理論，式(2)可寫為

FT=k2Asin(ωt+φ)=Assin(ωt+φ)

(3)

式中，A、φ分別為x1、x2兩個正弦矢量合成振幅和相位；As為試件所受試驗載荷幅值。

測力傳感器所受載荷為

Fc=k1x1=k1A1sin(ωt+φ1)=Acsin(ωt+φ1)

(4)

式中，A1、φ1為x1正弦矢量振幅和相位；Ac為測力傳感器測得的試驗載荷幅值。

根據疲勞試驗相關國際標準可知，影響疲勞試驗結果的主要是試驗載荷幅值，因此定義動態載荷測量的相對誤差為

(5)

(6)

式中，C1為試驗載荷輸出矩陣，C1=k2[-1 1 0 0 0 0]；C2為傳感器測量載荷輸出矩陣，C2=k1[1 0 0 0 0 0]。

系統在諧振頻率下工作，利用MATLAB編程，根據系統幅頻特性，取振幅最大時的頻率為共振頻率，利用式(6)求解得到共振頻率時系統的穩態輸出響應x1、x2、x3，將其代入式(3)～式(5)即可求得諧振式疲勞裂紋擴展試驗的動態試驗載荷測量誤差。

1.3 CT試件連接剛度模型、計算及分析

如圖2所示，試件通過銷軸與夾具連接，安裝在工作臺上的夾具將載荷傳遞到試件上。根據系統子結構綜合法，建立試件夾具連接剛度模型(包括子結構和子結構機械結合面)，如圖4所示。子結構包括上夾具、下夾具和試件，用自身彈性剛度和結構阻尼來表示。子結構機械結合面包括銷軸與夾具之間的兩對法向接觸表面和銷軸與試件之間的一對法向接觸表面，用法向接觸剛度和阻尼來表述。其中，kc1為試件和銷軸的接觸剛度，kc2為夾具和銷軸的接觸剛度，cc1為銷軸與試件之間的法向接觸阻尼，cc2為銷軸與夾具之間的法向接觸阻尼，cs為試件的結構阻尼，cf為夾具的結構阻尼。

圖4 試件夾具連接剛度模型Fig.4 Connection stiffness model of specimen and fixture

材料的結構阻尼及無摩擦時試件和夾具、試件和銷軸的法向接觸阻尼均很小，對連接剛度的計算影響微乎其微[15]，本文在剛度計算時忽略阻尼的影響，則試件夾具組合剛度計算公式為

(7)

圖5為銷軸與試件、夾具接觸面示意圖，銷軸與試件、銷軸與夾具的連接可歸結為半徑為R1圓柱體與半徑為R2凹圓柱面的接觸問題，根據Hertz接觸理論，接觸面為寬2b、長l的矩形，其矩形中心的壓縮量為[18]

(8)

式中，F為作用在銷軸上的力；E*為當量彈性模量。

進一步可得到銷軸連接時的結合面接觸剛度

(9)

(10)

圖5 銷軸與試件、夾具接觸面示意圖Fig.5 Schematic diagram of contact surface between pin shaft with specimen and fixture

由式(9)、式(10)知，結合面接觸剛度kc與連接結構的尺寸、材料及所作用的試驗載荷有關，由于CT試件與夾具的連接尺寸是確定的，因此CT試件機械結合面接觸剛度只和試驗載荷、夾具和試件材料有關，在疲勞裂紋擴展試驗中，對接觸剛度起主要影響作用的是平均載荷(靜態載荷)。

2 夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響分析

根據上節的理論分析，在主機結構確定的情況下，動態載荷測量誤差和系統阻尼、試件剛度、夾具剛度及CT試件機械結合面接觸剛度有關。試件剛度與材料及疲勞裂紋擴展長度有關，夾具剛度是由夾具的材料和結構決定的，CT試件機械結合面接觸剛度與靜態試驗載荷、夾具和試件材料有關。本小節在綜合考慮了這些因素的情況下研究夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響。

2.1 裂紋擴展長度的影響

選取16MnR試件，設系統阻尼比為0.1，將不同靜態載荷、裂紋擴展長度時的CT試件剛度、CT試件夾具接觸剛度及其他參數代入式(6)，得到不同靜態載荷、裂紋擴展長度a時的夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響規律曲線。由圖6可以看出，動態載荷測量誤差隨夾具剛度的增大而減小，夾具剛度較小時，夾具剛度的變化對動態載荷測量誤差影響較大；隨裂紋擴展長度的增大，動態載荷測量誤差增大，裂紋擴展長度較小時，夾具剛度對動態載荷測量誤差影響較小。根據不同靜態載荷計算結果知，動態載荷測量誤差隨靜態載荷的增大而減小，施加的靜態載荷越大，夾具剛度對動態載荷測量誤差影響越小。

圖6 裂紋長度不同時動態載荷測量誤差-夾具剛度曲線(Fs =5 kN)Fig.6 Dynamic force measurement error-fixture stiffness curve under different crack lengths (Fs=5 kN)

2.2 系統阻尼的影響

選取16MnR試件，將不同靜態載荷Fs、不同系統阻尼比ζ且裂紋擴展長度為0時的CT試件剛度、CT試件夾具接觸剛度及其他參數代入式(6)，得到不同靜態載荷、系統阻尼時夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響規律曲線。

由圖7可以看出，動態載荷測量誤差隨夾具剛度的增大而減小；隨系統阻尼比ζ的增大，動態載荷測量誤差增大，系統阻尼比較小時，夾具剛度對動態載荷測量誤差影響較小。根據不同靜態載荷計算結果知，動態載荷測量誤差隨靜態載荷的增大而減小，施加的靜態載荷越大，夾具剛度對動態載荷測量誤差影響越小。

圖7 系統阻尼比不同時動態載荷測量誤差-夾具剛度曲線(Fs =5 kN)Fig.7 Dynamic force measurement error-fixture stiffness curve under different system damping ratios(Fs =5 kN)

2.3 夾具材料的影響

選取16MnR試件，設系統阻尼比為0.1，將不同靜態載荷、不同夾具材料且裂紋擴展長度為0時的試件剛度及其他參數代入式(6)，得到不同靜態載荷、夾具材料時夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響規律曲線。

圖8 不同夾具材料時動態載荷測量誤差-夾具剛度曲線(Fs =5 kN)Fig.8 The dynamic force measurement error-fixture stiffness curve under different fixture materials (Fs =5 kN)

由圖8可以看出，動態載荷測量誤差隨夾具剛度的增大而減小；夾具材料不同時，動態載荷測量誤差隨夾具剛度的變化不同，且材料的彈性模量越大影響越小。根據不同靜態載荷計算結果知，動態載荷測量誤差隨靜態載荷的增大而減小，施加的靜態載荷越大，夾具剛度對動態載荷測量誤差影響越小。

3 基于有限元的夾具優化設計

3.1 夾具結構設計分析

通過上一節的分析可以得出，在一定范圍內，夾具剛度增大，動態載荷測量誤差減小，但當夾具剛度增大到一定值后基本不變。另外，隨著夾具材料彈性模量及夾具尺寸的增大，夾具剛度增大，夾具和銷軸的接觸剛度也變大，動態載荷測量誤差減小。由于夾具尺寸的增大，夾具質量增大，故在系統工作過程中，夾具的質量慣性力增大，進而使動態載荷測量誤差增大。本小節將綜合考慮這些因素對夾具進行優化設計。夾具材料采用16MnR、40Cr和T8碳素工具鋼，根據夾具連接尺寸及結構，設計了不同結構尺寸的夾具，如圖9所示。

3.2 夾具剛度有限元計算

本文利用ANSYS軟件分析計算夾具剛度，由于上夾具和下夾具相同，故僅對上夾具進行分析。首先建立夾具有限元模型，根據受力特點對夾具模型進行網格劃分，之后對夾具上部分施加固定約束，分別對下部兩個孔的下半圓施加不同的均布載荷，最后進行求解。夾具1為試驗機原有夾具，材料為16MnR。按照上述方法，在建立的夾具有限元模型中，對其施加不同的載荷(2 kN、4 kN、…、20 kN)，求夾具豎直方向上的形變量，施加載荷Fs=14 kN時，加載點的形變量ε為 8.961 μm，由剛度計算公式k=Fs/ε求解得夾具1剛度為1.56 GN/m。同理，夾具材料為40Cr，施加載荷為2 kN時，由有限元豎直方向形變圖知，加載點的形變量為7.23 μm，解得夾具剛度為2.766 GN/m；夾具材料為T8，施加載荷為2 kN時，由有限元豎直方向形變圖知加載點的形變量為6.84 μm，解得夾具剛度為2.924 GN/m。

(a) 夾具1

(b) 夾具2

(c) 夾具3

(d) 夾具4圖9 夾具結構尺寸Fig.9 Structural dimension of fixtures

分析夾具2計算出的剛度，可知夾具材料為40Cr時已不能達到剛度要求，故夾具3將采用T8作為夾具材料，在夾具2的基礎上對夾具外形做出改變，施加載荷為2 kN時加載點形變量為3.91 μm，解得夾具3的剛度為5.115 GN/m。夾具4在夾具3基礎上對尺寸作相應修改，材料為T8，施加載荷為2 kN時，加載點形變量為3.32 μm，計算得剛度值為6.024 GN/m。

3.3 夾具優化分析

由2.1節的分析可知，CT試件裂紋擴展長度不同時，夾具剛度對動態載荷測量誤差影響不同。通過圖6可以看出，CT試件裂紋擴展長度為18 mm時，夾具1～夾具4的動態載荷測量誤差分別為5.4%、4.5%、3.6%和3.5%，因此夾具1、2對動態載荷測量誤差的影響較大，夾具3、4對動態載荷測量誤差的影響較小且接近，所以夾具3為最優的夾具設計。夾具設計完成后，對夾具和CT試件連接所使用的銷軸進行接觸應力分析，完成了強度校核[19]，所設計夾具滿足強度要求。

4 實驗及結果分析

4.1 實驗方法

如圖10所示，實驗裝置主要由高頻諧振式疲勞試驗機、載荷控制器、動態試驗載荷誤差測量模塊和計算機組成。動態試驗載荷誤差測量模塊由在裂紋尖端貼有電阻應變片的CT試件(稱為CT試件測力傳感器)、NI USB-9237應變測量模塊和裝有動態誤差測量程序的計算機組成。實驗時，首先將CT試件測力傳感器裝夾在疲勞試驗機上，當試驗載荷作用到試件上時，引起傳感器輸出電壓的變化，將此信號通過NI應變測量模塊進行轉換后輸入到計算機，通過傳感器的標定曲線將CT試件測力傳感器測得的電壓轉換為作用在試件上的載荷；試驗載荷的測量值則由系統測力傳感器測量，通過動態載荷誤差測量程序計算得到式(4)定義的動態載荷測量的相對誤差。

圖10 實驗系統平臺Fig.10 Experimental system platform

首先選用16MnR和鋁合金材料分別制作成不同裂紋長度(0、4 mm、8 mm、12 mm)的一系列標準CT試件，為避開尖端塑性區，分別在不同裂紋長度試件裂紋尖端前3 mm處采用正反面對稱方式貼上電阻應變片，并將應變片的輸出端接入NI USB-9237應變測量模塊，采用全橋的連接方式，橋路輸出電壓通過USB接口輸入到計算機內進行處理。

進行CT試件測力傳感器標定時，首先將傳感器、標準測力傳感器按圖11所示的方式安裝到疲勞諧振式試驗機上，通過靜態載荷加載系統施加不同的載荷于試件，讀出標準測力傳感器的示值，記錄CT試件測力傳感器相應輸出的電壓，得到其標定曲線。標定好后，更換不同材料不同裂紋長度的CT試件測力傳感器，繼續按上述方法進行標定。

圖11 標定安裝示意圖Fig.11 Installation diagram of calibration process

4.2 實驗結果及討論

將不同材料、裂紋長度的CT試件測力傳感器分別裝夾在試驗機上，然后施加不同靜態載荷進行實驗標定，得到CT試件測力傳感器的標定數據，標定曲線見圖12。

(a) 16MnR試件

(b) 鋁合金試件圖12 靜態標定曲線Fig.12 Static calibration curve

圖13為CT試件裂紋擴展長度與動態載荷測量誤差的關系曲線。由圖13分析可知，隨CT試件裂紋的擴展，動態載荷測量誤差增大，且夾具剛度越小，對誤差的影響越大。由計算結果知，當施加的靜態載荷增大時，動態載荷測量誤差減小，同一工況下，抗拉強度大的試件材料動態載荷測量誤差小。對比4種夾具的實驗結果可以看出，夾具1對動態載荷測量誤差的影響最大，夾具4對動態載荷測量誤差的影響最小；但當夾具剛度增大到一定值，其對動態載荷測量誤差的影響已經非常小了，所以夾具3為最優設計的夾具。由此可見，夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響的變化規律與前面理論分析基本吻合。

(a) (16MnR試件

(b) 鋁合金試件圖13 CT試件裂紋擴展長度-動態載荷測量誤差 (Fs=5 kN)Fig.13 CT specimen crack growth length-dynamic load measurement error(Fs=5 kN)

5 結論

本文通過建立CT試件夾具連接剛度模型和三自由度有阻尼線性振動系統力學模型，采用Hertz接觸力學理論對CT試件夾具連接剛度進行了計算和分析，得到了動態載荷測量誤差產生的原因，并分析了夾具剛度對動態載荷測量誤差的影響。隨著夾具剛度的增大，動態載荷測量誤差減小，但當夾具剛度增大到一定值后，測量誤差基本保持不變。通過改變夾具形狀和材料來改變夾具剛度，設計了4種不同結構的夾具，并通過ANSYS軟件分析了其剛度，得出了不同夾具的系統動態載荷測量誤差，進一步得出最優夾具，最后通過實驗驗證了夾具優化設計的合理性。