八自由度機械臂的軌跡跟蹤控制

覃艷明 趙靜一 馬金玉 王建軍

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

0 引言

21世紀機器人技術的進步會對科學與技術的發展產生重要影響[1]。機器人在工業、農業、服務及醫療等各方面均有廣泛的應用[2-7]。串聯機器人是機器人的重要分支，作為其主要執行裝置的機械臂為此類機器人技術的重要研究課題。

在串聯機器人控制中，大部分的控制目的是使機器人能夠根據計劃的軌跡精確地執行任務。當機械臂執行目標任務時，由軌跡跟蹤控制完成，與此同時，機械結構中存在的間隙和偏差通常會對系統產生影響。學者們對軌跡跟蹤做了大量的研究。HEREDIA等[8]提出了一種基于高增益非線性奇異攝動方法(singular perturbation)的速度觀測器并將其應用于機械臂PID控制中，觀測器用來獲得機械臂輸出速度。該算法的不足是假設系統不確定性是已知的。針對這一問題，KUR等[9]提出了一種自適應PID控制策略，該控制器由反饋環節的自適應PID和前饋部分的輸入學習策略組成。SU等[10]針對兩關節機械臂，考慮了執行器約束的情況下機械臂的全局輸出反饋整定問題，將PID控制與補償措施相結合，通過Lyapunov方法證明了閉環系統的全局漸近穩定性。牛玉剛等[11]提出了一種基于神經網絡的自適應魯棒控制方法，利用RBF神經網絡逼近系統非線性不確定性，通過滑模控制抑制網絡逼近誤差和外界干擾的影響，從而保證閉環系統的穩定性和跟蹤誤差的漸近收斂。PURWAR等[12]在考慮機械臂執行器約束前提下，提出了Chebyshev自適應神經元控制器來估計系統負載變化、未知非線性以及帶有干擾的輸入力矩等結構化或非結構化不確定性。覃艷明等[13]將計算力矩控制器和模糊補償控制器相結合，計算力矩用來控制系統的標稱部分，模糊補償器用來控制系統的不確定部分，模糊補償器的參數基于Lyapunov穩定性理論自適應調節，整個控制器保證了閉環系統的漸近穩定。眾所周知，基于智能技術的不確定方法在理論上存在逼近誤差，且估計速度有限。目前研究的許多控制方法都是基于計算機仿真驗證的，在實際的機械臂系統上試驗的比較少，且較多地局限在SCARA、Puma-560等平面機械臂上。

本文針對八自由度機械臂系統，充分考慮其在實際生產中，機械臂的加工和裝配均存在一定程度的誤差，導致軌跡規劃時各個關節及末端執行器運動的實際位置和理論均產生偏差，致使機械臂偏離期望軌跡、作業失敗等問題，提出了一種新的基于機械偏差補償的方法來提高機械臂末端軌跡跟蹤精度及速度，并用實驗證明了所提控制方法的有效性。

1 問題描述和模型的建立

本文研究的機械臂有8個自由度，其中2個關節為移動副，6個關節為轉動副。根據各部分的三維幾何關系進行建模，按順序對三維模型進行裝配，可得到機械臂的裝配體[13]，如圖1所示。大臂俯仰轉動和左右回轉為復合動作，其他關節驅動是單獨動作，液壓系統為機械臂提供動力，通過全站儀測量系統控制機械臂到達指定位置。各執行動作由執行元件液壓油缸來實現。

1.基座 2.大臂鉸座 3.大臂液壓缸 4.大臂外管 5.中間機構液壓缸 6.大臂內管 7.內管連接件 8.旋轉機構 9.小臂回轉油缸 10.小臂圖1 八自由度機器人機械臂三維模型Fig.1 3D model of 8-DOF robot manipulator

1.1 電液系統模型

為實現整個機械臂的軌跡跟蹤控制，需對每個執行元件進行控制。

單個執行元件的液壓伺服系統由油源、電液伺服閥、液壓缸和負載組成，其中負載為機械臂。如圖2所示[14]，將狀態變量定義為

(1)

其中，xp為油缸活塞的位移，p1、p2分別為液壓油缸有桿腔和無桿腔的壓力，A1、A2為兩腔截面積，所以狀態方程可以寫成如下形式：

(2)

其中，m為活塞和負載折算到活塞上的總質量，bh為黏性阻尼系數，kh為負載剛度，FL為負載力。忽略兩腔的體積變化，C=V1/β≈V2/β[14]，V1、V2為兩腔體積，β為體積彈性模量。r為兩腔面積比，Kv為伺服閥流量信號增益。u為輸入信號，此處指伺服閥的給定電流。

圖2 液壓伺服系統結構Fig.2 Hydraulic servo system structure

1.2 機械臂的間隙和撓度

機械臂的裝配間隙和自重引起的擾度會造成機械臂的實際位置尺寸和理論值有一定的誤差，假設此誤差為Δξ1，則每個油缸的實際長度

(3)

2 位置跟蹤系統的控制器設計和穩定性分析

2.1 ESO擴張狀態觀測器

擴張狀態觀測器[15](extended state observer, ESO)是自抗擾控制器[16](active disturbance rejection controller, ADRC)的核心單元, 它不僅能得到不確定對象的狀態，還能獲得對象模型中的內擾和外擾的實時作用量，可以通過ESO 消除閉環系統的靜差。閉環系統能夠自動補償對象模型的內擾和外擾，使其變為線性系統的標準形——積分器串聯型，從而實現動態系統的動態反饋線性化。ESO除了可以作為ADRC的單元外，也可作為狀態觀測器來觀測系統狀態。

2.2 控制器設計

圖1中，大臂液壓缸的兩條液壓缸同步伸縮可實現大臂的俯仰運動，一伸一縮可實現大臂的擺動運動，大臂外管和大臂內管之間安裝有伸縮油缸來實現大臂的伸縮運動。

為簡化描述，以大臂實現俯仰及擺動的兩條油缸和大臂伸縮油缸為研究對象，研究機器人機械臂的軌跡跟蹤過程中，同時協調主臂以上三個油缸運動。其中，俯仰及擺動油缸液壓伺服系統中油缸長度分別為la和lb，伸縮油缸液壓伺服系統中的油缸長度為lc。

由于油缸的狀態方程相似，故本文只設計了一個電液系統的控制器。定義ξ1=la，根據系統的擾動，定義誤差向量

(4)

其中，ξ1d為Ga系統中液壓缸的計算長度，它是根據全站儀測量系統測量機械臂終端位姿，并可以通過機械臂運動學的逆運算[13]得到的，ξ2d是ξ1d對應的導數項，ξ3d為根據式(2)得出的虛擬控制輸入。根據式(2)～ 式(4)，系統狀態空間方程可以變換成

(5)

(6)

根據式(6)，虛擬控制輸入ξ3d和系統控制輸入u可由以下應用ADRC的方式求出:

(7)

(8)

其中，Z1、Z2是對向量X1、X2的估計。因此，兩個子系統的自抗擾狀態反饋控制率設計為

(9)

由式(9)不難看出，虛擬控制律ξ3d由一個PID控制器和一個干擾補償構成，而控制律u由一個PI控制器和一個干擾補償組成，其中，PID部分主要負責保證系統跟蹤的暫態和穩態性能，而干擾補償部分主要的作用是補償不確定因素對系統輸出的影響。

(10)

(11)

根據系統設計的控制器，整個系統的控制結構圖見圖3。

圖3 串級ADRC控制系統結構框圖Fig.3 Block diagram of cascade ADRC control system

2.3 穩定性分析

在上述自抗擾控制策略的作用下，閉環系統的穩定性和收斂性將由Lyapunov穩定性定理及LaSalle不變集原理給出證明。

構造一個正定的Lyapunov函數：

(12)

其中，Ei=Xi-Zi，V對時間t求微分：

(13)

存在如下不等式：

(14)

(15)

由式(14)和式(15)得

(16)

由圖3可以看出，所有其他的油缸系統都與該系統相似，因此，觀測增益矩陣Lj和控制增益矩陣Kj也可以由不等式(10)和式(11)求得。

3 系統仿真驗證

機器人機械臂液壓系統主要參數見表1。

表1 系統主要參數Tab.1 Main parameters

為了模擬不同的連續曲線，分3種情況設置參考曲線ξ1d，它是由整個坐標系xd(t)、yd(t)、zd(t)的值決定的。

(1)設置一條水平線，所以zd(t)≡z0，xd(t)從-R～R變化，R=1m。

在仿真中，俯仰、擺動和伸縮電液系統的擾動衰減水平參數γ為0.1和0.2。兩個系統的參數ε均為0.4。解線性矩陣不等式(10)和式(11)，控制器增益矩陣K和觀測增益矩陣L如下。

俯仰和擺動系統：

L1a=L1b=

伸縮系統：

L1c=[-1 -6.552 5×1031.027 3×103

-1.366 8×103]T

三種情況下的仿真結果如圖4～圖6所示，可以看出：①可以根據初始條件給出每個油缸的實時設定長度，且在三種仿真情況下，系統都能保證油缸位置的快速響應，同時超調量和穩態誤差也能滿足實際需求；②每個油缸的跟蹤誤差曲線是有界的，且滿足實際要求；③通過控制器運算出的輸入電流滿足實際工況需求，且均在輸入范圍內(0～20 mA)。

為了更好地驗證所設計控制器的有效性，將ADRC和傳統的前饋PID算法進行比較，初始條件和情況(3)一樣，比較結果如圖7所示。通過對比可以看出，兩種控制方法都可以在有限的時間內跟蹤給定曲線，但是通過誤差對比，所設計的ADRC控制器有更好的穩態誤差和跟蹤精度。

4 實驗

為了驗證所設計控制器的有效性，搭建了實驗平臺進行實驗驗證。實驗平臺[13]如圖8所示，機械臂固定在底座上，幕布上的點代表末端要到達的位置點。

針對Ga和Gb系統油缸軌跡跟蹤進行實驗，根據仿真結果，給定油缸的實際電流，實時通過位移傳感器采集位置信號，兩個油缸的跟蹤誤差如圖9所示。

圖4 情況 (1)仿真結果Fig.4 The simulation results of case 1

圖5 情況(2)仿真結果Fig.5 The simulation results of case 2

圖6 情況(3)仿真結果Fig.6 The simulation results of case 3

圖7 兩種控制器仿真比較結果Fig.7 The contrast of two controllers’ simulation results

由圖9可以看出，根據ADRC控制器計算出的電流輸入曲線，經過放大器驅動油缸動作，其位置曲線能快速準確地跟蹤給定曲線。但是，圖9和圖6中的誤差相比，誤差明顯大一個數量級，達到毫米級，這是由于實際工況中仍然存在著未知的干擾以及模型的不精確，但是在此基礎上應用ADRC控制器，系統仍能保持穩定，且跟蹤曲線誤差保持在2 mm以內，證明了所設計的控制器的有效性和可靠性。

圖8 實驗平臺Fig.8 The experiment equipment

(a) Ga油缸位置誤差

(b) Gb油缸位置誤差圖9 位置誤差曲線Fig.9 Position error curve

5 結論

(1)本文以一種八自由度冗余機器人機械臂為研究對象，提出了一種基于串級ADRC的控制策略，針對機械臂撓度的不確定性和機械裝配的偏差，建立了新的干擾抑制控制器。

(2)針對3種曲線采用MATLAB軟件對控制系統進行了仿真分析，并搭建實驗平臺進行實驗，驗證了控制方法的正確性、可靠性和穩定性。