一種建模不確定性的四旋翼無(wú)人機(jī)魯棒跟蹤控制

石振東,屈 薔,程 陳

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,南京 211106)

1 引 言

近年來(lái),四旋翼無(wú)人機(jī)備受關(guān)注,其以靈活性、垂直起降、自主懸停等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于影視拍攝、軍事偵察和交通運(yùn)輸?shù)让裼煤蛙娛骂I(lǐng)域[1].四旋翼無(wú)人機(jī)調(diào)節(jié)四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速完成平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),是一個(gè)四輸入、六輸出的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng);在飛行過(guò)程中,四旋翼無(wú)人機(jī)不可避免得受到風(fēng)等的影響,且其阻力系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)法精確測(cè)量,故四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)耦合、參數(shù)不確定且容易受外部擾動(dòng)的非線性系統(tǒng),這使得四旋翼無(wú)人機(jī)軌跡跟蹤控制困難[2,3].

關(guān)于四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)以及非線性問題,文獻(xiàn)[4-6]引入虛擬向量,將四旋翼無(wú)人機(jī)閉環(huán)系統(tǒng)解耦為內(nèi)環(huán)和外環(huán)子系統(tǒng),這種內(nèi)外環(huán)線性方法應(yīng)用最為廣泛,但是其解耦的條件嚴(yán)格,外環(huán)子系統(tǒng)需快速跟蹤期望位置,否則會(huì)影響軌跡跟蹤效果;文獻(xiàn)[7-9]基于T-S模糊控制理論建立四旋翼無(wú)人機(jī)T-S模糊模型,設(shè)計(jì)T-S模糊控制器實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤,這種T-S模糊模型可從任意精度逼近四旋翼無(wú)人機(jī)模型,其精度越高,模糊規(guī)則數(shù)量越多,大量的模糊規(guī)則會(huì)導(dǎo)致控制器難以獲得,在實(shí)際的應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn).文獻(xiàn)[10,11]在四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)假設(shè)偏航角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角均接近于0得到線性模型,設(shè)計(jì)了PID控制器并取得了良好的實(shí)驗(yàn)效果,這種線性化方法為后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)降低了難度.

在飛行過(guò)程中,阻力系數(shù)會(huì)隨四旋翼飛行環(huán)境發(fā)生變化,且繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)法精確測(cè)量,這使得四旋翼系統(tǒng)存在不確定參數(shù),一些文獻(xiàn)針對(duì)這些不確定參數(shù)展開了研究.文獻(xiàn)[6,12]利用自適應(yīng)控制方法估計(jì)阻力系數(shù),文獻(xiàn)[13]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性逼近能力處理空氣阻力的影響,但是文獻(xiàn)[6,12,13]的控制器參數(shù)難以調(diào)節(jié);文獻(xiàn)[14]采用魯棒補(bǔ)償器抑制模型不確定性,這種不確定參數(shù)的處理方法較為復(fù)雜;文獻(xiàn)[15]考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在標(biāo)稱值±10%的情況,并設(shè)計(jì)魯棒H∞控制器進(jìn)行抑制,這種處理方法簡(jiǎn)單有效,魯棒H∞控制器的求解可采用線性矩陣不等式(LMI)求解方法,直接通過(guò)矩陣運(yùn)算獲得,且其可抑制外部擾動(dòng).基于此,本文采用魯棒H∞控制器處理不確定的阻力系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,并對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行抑制,增強(qiáng)四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的魯棒性.

本文針對(duì)四旋翼Qball2模型中參數(shù)不確定性的問題提出了一種魯棒H∞跟蹤控制方法.首先,建立四旋翼無(wú)人機(jī)X通道、Y通道、Z通道的誤差系統(tǒng);然后,考慮到飛行環(huán)境變化引起的阻力系數(shù)的不確定性、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性以及外部擾動(dòng),對(duì)X通道、Y通道和Z通道設(shè)計(jì)了魯棒H∞反饋控制器進(jìn)行抑制并跟蹤參考軌跡;最后,根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理得到使X通道、Y通道和Z通道閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的LMI充分條件.與內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器的仿真結(jié)果證明了所提方法的優(yōu)越性和魯棒性.

2 四旋翼無(wú)人機(jī)模型與預(yù)備知識(shí)

圖1為四旋翼無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)圖,F1、F2、F3、F4表示旋翼升力;慣性坐標(biāo)系I=(ix,iy,iz)原點(diǎn)固定于地面,iz軸垂直于地面指向天空;機(jī)體坐標(biāo)系B=(Bx,By,Bz)以四旋翼無(wú)人機(jī)質(zhì)心為原點(diǎn),以支架為坐標(biāo)軸;x(t),y(t),z(t),φ(t),θ(t),ψ(t)表示四旋翼無(wú)人機(jī)的6個(gè)自由度.

圖1 四旋翼無(wú)人機(jī)示意圖Fig.1 Four rotor UAV structure diagram

假設(shè)四旋翼無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)對(duì)稱,根據(jù)文獻(xiàn)[4-6],四旋翼無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型為:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中,m為四旋翼無(wú)人機(jī)的質(zhì)量,Ki(1,2,3,4,5,6)表示空氣阻力系數(shù),Jφ、Jθ、Jψ表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,g為重力系數(shù),c為力與力矩比例系數(shù),l表示四旋翼無(wú)人機(jī)質(zhì)量中心到旋翼軸心的距離,旋翼升力建模如公式(7-8):

(7)

(8)

式中ui為第i個(gè)電機(jī)的PWM輸入;K為正常數(shù);vi為電機(jī)狀態(tài)量;ω表示帶寬.

控制輸入uz、uφ、uθ、uψ如下:

下面給出本文需要用到的假設(shè)及引理.

假設(shè)1.外部擾動(dòng)‖dx‖≤ζ1,‖dy‖≤ζ2,‖dz‖≤ζ3,‖dφ‖≤ζ4,‖dθ‖≤ζ5,‖dψ‖≤ζ6,這里ζ1、ζ2、ζ3、ζ4、ζ5、ζ6為未知正常數(shù).

引理1.假設(shè)X和Y為合適維數(shù)的實(shí)矩陣,對(duì)于任意給定的正常數(shù)α,有下列不等式成立:

XTY+YTX≤α-1XTX+αYTX

引理2.對(duì)任意給定的分塊對(duì)稱矩陣：

其中X和Z為對(duì)稱矩陣,則下述情況等價(jià):

1.G<0

2.X<0,Z-YTX-1Y<0

3.Z<0,X-YZ-1YT<0

3 魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)

這一部分的主要內(nèi)容為建立四旋翼無(wú)人機(jī)X通道、Y通道、Z通道的線性誤差模型和設(shè)計(jì)魯棒H控制器.

3.1 誤差模型

(9)

其中:

Δ表示線性化不確定性.

為了實(shí)現(xiàn)X通道的跟蹤控制,令xd表示期望位置x,θd表示期望俯仰角;選擇參考模型如公式(10):

(10)

假設(shè)2.存在矩陣K12,K13使得Axr和Bxr滿足Axr=A1+B11k13,Bxr=B11K12.

(11)

X2=A2X2+B21(U2+Fθ)+B22W22

(12)

其中：

xy=A3xy+B31U3+B32W3

(13)

其中:

為了實(shí)現(xiàn)Y通道的跟蹤控制,令yD表示期望位置y,φD表示期望滾轉(zhuǎn)角;選擇參考模型如公式(14)：

xyr=Ayrxyr+Byrry(t)

(14)

假設(shè)3.存在矩陣K32,K33使得Ayr和Byr滿足Ayr=A3+B31K33,Byr=B31K32.

X3=A3X3+B31(U3-K33xyr-K32ry)+B32W3

(15)

X4=A4X4+B41(U4+fφ)+B42W4

(16)

其中：

xz=A5xz+B51U5+B52W5

(17)

其中:

為了實(shí)現(xiàn)Z通道的跟蹤控制,令zD表示期望位置z,ψD表示期望偏航角,選擇參考模型如公式(18):

(18)

假設(shè)4.存在矩陣K52,K53使得Azr和Bzr滿足Azr=A5+B51K53,Bzr=B51K52.

(19)

(20)

其中:

3.2 魯棒反饋控制器設(shè)計(jì)

對(duì)X通道、Y通道和Z通道誤差模型設(shè)計(jì)如公式(21-26)的魯棒狀態(tài)反饋控制器:

U1=K11X1+K12rx+K13xxr

(21)

U2=K21X2-fθ

(22)

U3=K31X3+K32ry+K33xyr

(23)

U4=K41X4-fφ

(24)

U5=K51X5+K52rz+K53xzr

(25)

U6=K61X6-fψ

(26)

其中,Ki1(i=1,…,6)、Kj2(j=1,3,5)、Kk3(k=2,3,6)是控制增益矩陣.

誤差模型(11、12)、(15、16)和(19、20)在控制器(21-26)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為:

Xi=(Ai+Bi1Ki1)Xi+Bi2Wi

(27)

可以得到如下定理:

定理1.對(duì)于給定正常數(shù)γj(j=1,3,5),γk(j=2,4,6),如果存在實(shí)對(duì)稱正定矩陣Qi、正常數(shù)εj,εk和矩陣Mi使得下面的LMI成立:

(28)

(29)

那么,閉環(huán)系統(tǒng)公式(27)漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足H性能指標(biāo)γi,有其中

證明:假設(shè)Wi≡0,選取李雅普諾夫函數(shù):

(30)

上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),并將公式(27)代入可得:

(31)

在閉環(huán)系統(tǒng)(27)漸進(jìn)穩(wěn)定且擾動(dòng)Wi?0的情況下,對(duì)于給定正常數(shù)γi,考慮H性能指標(biāo)如公式(32):

(32)

因?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)(27)漸進(jìn)穩(wěn)定且系統(tǒng)初始條件為零,可得:

(33)

式中：

如果Πi2<0,那么Ji<0,則閉環(huán)系統(tǒng)(27)滿足H性能指標(biāo)γi.

(34)

閉環(huán)系統(tǒng)(27)中不確定參數(shù)Ki(i=1,…,6)、Jφ、Jθ、Jψ、Δ使得矩陣Ai、Bk1(k=2,4,6)中存在不確定性,表示為Ai=Ai0+ΔAi、Bk1=Bk10+ΔBk1.根據(jù)文獻(xiàn)[14],ΔAj和ΔBk1可表示為:

ΔAj=DjFj(t)Ej1(j=1,3,5)

(35)

(36)

將公式(35),公式(36)代入公式(34)得:

(37)

(38)

其中：

根據(jù)引理3,公式(37),公式(38)等價(jià)于：

(39)

(40)

定理1證明完畢.

4 仿真結(jié)果

Bxr=[0 0 15 0]T

Byr=[0 0 15 0]T

Bzr=[0 0 15 0]T

根據(jù)文獻(xiàn)[14]選擇

D2=[0 1]T;E21=[0 0.035];

E22=[3.3];D3=D1;E31=E11;

D4=D2;E41=E21;E42=E22;

D5=D1;E51=E11;D6=[0 1]T;

E61=[0 0.12];E62=[0.012].

采用Matlab的LMI工具箱求解定理1中的LMI式(28)和式(29),取γi=1得到:本文所設(shè)計(jì)的控制增益矩陣:

K11=[-3.1776 -1.9347 -0.1470 -1.7115];

K12=[1];

K13=[-0.2667 -0.2000 0.6667 -0.4667];

K21=[-0.6606 -1.1824];

K31=[3.1776 1.9347 -0.1470 1.7115];

K32=[1];

K33=[0.2000 0.1333 0 0.0667];

K41=[-0.6606 -1.1824];

K51=[-8.0985 -5.8026 -0.0162 -4.7980];

K52=[1];

K53=[-0.2667 -0.2667 -0.7667 -0.0333];

K61=[-3.0855 -4.2142].

Case1,選取rx(t)=ry(t)=sin(0.1t),rz(t)=t可得圖2所示的期望軌跡圖.

與內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制進(jìn)行仿真對(duì)比,控制器增益如公式(40-41)所示,相應(yīng)的位置跟蹤誤差和角度跟蹤誤差曲線如圖3-圖4所示.

(41)

(42)

圖3 case1下的位置跟蹤誤差
Fig.3 Position tracking error under case1

從圖3可知,采用內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器的最大X向跟蹤誤差為0.048m,而采用本文方法的最大跟蹤誤差為0.013m;在Y方向,采用內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器的最大跟蹤誤差為0.053m,而本文方法的最大跟蹤誤差為0.018m;采用內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器的最大z向跟蹤誤差為0.36m,而采用本文方法的最大跟蹤誤差為0.01m.可知本文提出的控制方法位置跟蹤誤差更小.從圖6可以看出,采用本文方法的角度跟蹤誤差小于內(nèi)外環(huán)狀態(tài)反饋控制器.因此,本文所提出的控制方法比內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器的控制效果更好.

圖4 case1下的角度跟蹤誤差Fig.4 Angle tracking error under case1

圖5 case2下的期望軌跡圖Fig.5 Expectation trajectory under case2

圖6 case2下的位置跟蹤誤差Fig.6 Position tracking error under case2

圖7 case2下的角度跟蹤誤差Fig.7 Angle tracking error under case2

Case2,為了驗(yàn)證本文方法的魯棒性,在50s-90s之間加入擾動(dòng):dx=dy=dz=0.2sint,dφ=dθ=dψ=0.12sint,選取rx(t)=ry(t)=rz(t)=t,可得圖5所示的期望軌跡圖.在此條件下,內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器和本文控制方法仿真的跟蹤誤差如圖6-圖7所示.

從圖6-圖7可以看出,外部擾動(dòng)的作用時(shí),采用本文方法的位置誤差和角度跟蹤誤差均明顯小于內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器.所以本文方法設(shè)計(jì)的控制器抑制外部擾動(dòng)的能力更強(qiáng).

5 結(jié) 論

本文研究了具有參數(shù)不確定性的四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng),建立了X通道、Y通道和Z通道線性誤差系統(tǒng),在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了魯棒H∞跟蹤控制器跟蹤期望軌跡,并與內(nèi)外環(huán)魯棒反饋控制器進(jìn)行對(duì)比仿真,仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的優(yōu)越性和魯棒性.